高考数学总复习教师用书第7章 第3讲 等比数列及其前n项和.docx

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高考数学总复习教师用书第7章第3讲等比数列及其前n项和

第3讲　等比数列及其前n项和

最新考纲　1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.

知识梳理

1.等比数列的概念

（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示.

数学语言表达式：

＝q（n≥2，q为非零常数），或＝q（n∈N*，q为非零常数）.

（2）如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：

an＝amqn－m.

（2）等比数列的前n项和公式：

当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝am·an.

（2）等比数列{an}的单调性：

当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；

当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；

当q＝1时，数列{an}是常数列.

（3）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

（4）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数.（　　）

（2）公比q是任意一个常数，它可以是任意实数.（　　）

（3）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.（　　）

（4）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.（　　）

（5）数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.（　　）

解析　

（1）在等比数列中，an≠0.

（2）在等比数列中，q≠0.

（3）若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.

（4）当a＝1时，Sn＝na.

（5）若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×　（5）×

2.（2017·太原模拟）在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝（　　）

A.2B.4C.D.2

解析　在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝，所以q2＝＝，所以q＝，a1＝＝4.

答案　B

3.（2017·湖北省七市考试）公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为（　　）

A.8B.9C.10D.11

解析　由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，

∴m＝10，故选C.

答案　C

4.（2015·全国Ⅰ卷）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.

解析　由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6.

答案　6

5.（2015·广东卷）若a，b，c三个正数成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b的值为________.

解析　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.

即b2＝（5＋2）（5－2）＝1，又b>0，∴b＝1.

答案　1

6.（2016·浙江卷）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.

解析　由解得a1＝1，a2＝3，

当n≥2时，由已知可得：

an＋1＝2Sn＋1，①

an＝2Sn－1＋1，②

①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，

∴{an}是以a1＝1为首项，公比q＝3的等比数列.

∴S5＝＝121.

答案　1　121

考点一　等比数列基本量的运算

【例1】

（1）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于（　　）

A.B.C.D.

（2）（2016·全国Ⅰ卷）设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.

解析　

（1）显然公比q≠1，由题意得

解得或（舍去），

∴S5＝＝＝.

（2）设等比数列{an}的公比为q，∴

⇒解得

∴a1a2…an＝aq1＋2＋…＋（n－1）

＝2－＋.

记t＝－＋＝－（n2－7n），

结合n∈N*，可知n＝3或4时，t有最大值6.

又y＝2t为增函数.

所以a1a2…an的最大值为64.

答案　

（1）B　

（2）64

规律方法　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.

【训练1】

（1）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________.

（2）（2016·合肥模拟）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列，则an＝________.

解析　

（1）由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，

即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2.

（2）由已知得：

解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，所以q＝2，所以a1＝1.

故数列{an}的通项为an＝2n－1.

答案　

（1）－2　

（2）2n－1

考点二　等比数列的性质及应用

【例2】

（1）（2015·全国Ⅱ卷）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4（a4－1），则a2等于（　　）

A.2B.1C.D.

（2）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝（　　）

A.2B.C.D.3

解析　

（1）由{an}为等比数列，得a3a5＝a，所以a＝4（a4－1），解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.选C.

（2）法一　由等比数列的性质及题意，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.

法二　因为{an}为等比数列，由＝3，设S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以＝＝.

答案　

（1）C　

（2）B

规律方法　

（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.

（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.

【训练2】

（1）（2017·丽水调研）在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝________.

（2）已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为________.

解析　

（1）由等比数列性质，得a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝（a3＋a5）2＝（－1＋＋1）2＝

（2）2＝8.

（2）∵－1，x，y，z，－3成等比数列，

∴y2＝xz＝（－1）×（－3）＝3，且x2＝－y>0，即y<0，

∴y＝－，xz＝3，

∴xyz＝－3.

答案　

（1）8　

（2）－3

考点三　等比数列的判定与证明

【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1（n≥2），且an＋Sn＝n.

（1）设cn＝an－1，求证：

{cn}是等比数列；

（2）求数列{bn}的通项公式.

（1）证明　∵an＋Sn＝n，①

∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②

②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，

∴2an＋1＝an＋1，∴2（an＋1－1）＝an－1，

∴＝，∴{an－1}是等比数列.

又a1＋a1＝1，∴a1＝，

又cn＝an－1，首项c1＝a1－1，∴c1＝－，公比q＝.

∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列.

（2）解　由

（1）可知cn＝·＝－，

∴an＝cn＋1＝1－.

∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－

＝－＝.

又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝.

规律方法　证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

【训练3】（2016·全国Ⅲ卷）已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5＝，求λ.

（1）证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1（λ－1）＝λan，

由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，

所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝.

（2）解　由

（1）得Sn＝1－.

由S5＝得1－＝，

即＝.解得λ＝－1.

[思想方法]

1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a1和q.

2.已知等比数列{an}

（1）数列{c·an}（c≠0），{|an|}，{a}，也是等比数列.

（2）a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.

[易错防范]

1.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

2.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么（　　）

A.{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列

B.{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列

C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列

D.{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列

解析　两个等比数列的积仍是一个等比数列.

答案　C

2.在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为（　　）

A.2B.C.2或D.－2或

解析　设数列{an}的公比为q，由＝＝＝＝＝，得q＝2或q＝.故选C.

答案　C

3.（必修5P67A1

（2）改编）一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂（　　）

A.5598