角平分线辅助线专题练习资料.docx

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角平分线辅助线专题练习资料

角平分线专题

1、轴对称性：

内容：

角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。

思路和方法：

边角等造全等，也就是在角的两边上取相等的线段构造全等三角形

基本结构：

如图，

2、角平分线的性质定理：

注意两点

（1）距离相等

（2）一对全等三角形

3、定义：

带来角相等。

4、补充性质：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:

AC=BD:

DC

针对性例题：

例题1：

如图，AB=2AC,∠BAD=∠DAC,DA=DB

求证：

DC⊥AC

例题2：

如图，在△ABC中，∠A等于60°，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB

求证：

DH=EH

例题3：

如图1，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，

求证：

AD=DC．：

思路一：

利用“角平分线的对称性”来构造

因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有

角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形．

证法1：

如图1，在BC上取BE=AB，连结DE，∵BD平分

∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，又BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），

∴∠A=∠DBE，AD=DE，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC，DE=DC，

则AD=DC．

证法2：

如图2，过A作BD的垂线分别交BC、BD于E、F，

连结DE，由BD平分∠ABC，易得△ABF≌△EBF，则AB=BE，

BD平分∠ABC，BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），

∴AD=ED，∠BAD=∠DEB，又∠BAD+∠C=1800，

∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC，则DE=DC，∴AD=DC．

说明：

证法1，2，都可以看作将△ABD沿角平分线BD折向BC而构成

全等三角形的．

证法3：

如图3，延长BA至E，使BE=BC，连结DE，

∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE，又BD=BD，∴△CBD≌△EBD（SAS），

∴∠C=∠E，CD=DE，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800，

∴∠E=∠DAE，DE=DA，则AD=DC．

说明：

证法3是△CBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的．

思路二：

利用“角平分线的性质”来构造

由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以

过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形．

证法4：

如图4，从D分别作BC、BA的垂线，垂足为E、F，∵BD平分

∠ABC，∴DE=DF，又∠BAD+∠C=1800，∠BAD+∠FAD=1800，

∴∠FAD=∠C，∴△FAD≌△ECD（AAS），则AD=DC．

例题4已知：

如图5，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.

求证：

AC+CD=AB

证明：

在AB上截取AE=AC，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，AD=AD，

∴△CAD≌△EAD，∴∠DEA=90°，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，

∴∠B=∠BDE=45°

∴DE=BE，∴AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，即AC+CD=AB.

例题5．已知：

如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条

直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，

当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？

写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点.

解：

当∠A=30°时，点D恰为AB的中点.∵∠A=30°，∠C=90°（已知），∴∠CBA=60°（直角三角形两锐角互余）.又△BEC≌△BED（已知），∴∠CBE=∠DBE=30°，且∠EDB=∠C=90°（全等三角形对应角相等），∴∠DBE=∠A（等量代换）.∵BE=AE（等角对等边），又∠EDB=90°，

即ED⊥AB，∴D是AB的中点（三线合一）.

角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线，构造三角形

例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：

证明：

延长BE交AC于点F。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，

所以AD为∠BAC的对称轴，

又因为BE⊥AD于F，

所以点B和点F关于AD对称，

所以BE=FE=BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。

因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，

∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C，

所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C，

所以∠FBC=∠C，所以FB=FC，

所以BE=FC=（AC－AF）=（AC－AB），

所以。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。

求证：

∠BAP＋∠BCP=180°。

证明：

经过点P作PE⊥AB于点E。

因为PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2，

所以PE=PD。

在Rt△PBE和Rt△PBC中

所以Rt△PBE≌Rt△PBC（HL），

所以BE=BD。

因为AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE，

所以AE=CD。

因为PE⊥AB，PD⊥BC，

所以∠PEB=∠PDB=90°.

在△PAE和Rt△PCD中

所以△PAE≌Rt△PCD，

所以∠PCB=∠EAP。

因为∠BAP＋∠EAP=180°，

所以∠BAP＋∠BCP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段

例题、如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：

∠1=∠2

证明：

过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PF⊥BC于点F．

因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，

所以PE=PF。

同理可证PF=PG。

所以PG=PE，

又PE⊥AB，PG⊥AC，

所以PA是∠BAC的平分线，

所以∠1=∠2。

与三角形的角平分线有关的结论的探究

三角形的内角和等于1800，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。

应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论。

从结论的探究过程中，希望同学们能从中得到有益的启示：

在平时的数学学习中，要学会运用所学知识去探索新的结论，学会探究，从而不断地提高自己的数学发现与创新的能力，提高数学学习水平。

探究一：

在中，∠A，∠B的平分线交于点P，试探究

∠BPC与∠A的关系？

探究：

因为∠BPC在ΔBPC中，由三角形的内角和定理，有：

而由BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

知：

∠PBC=，∠PCB=

所以

而在在中，

所以

故有结论一：

在中，∠A，∠B的平分线交于点P，则有。

探究二：

在中，BP是∠ABC的平分线，CP是ΔABC的外角∠ACE的平分线，

试探究：

∠BPC与∠A的关系？

探究：

由CP是ΔABC的外角∠ACE的平分线，

所以有：

∠BPC=∠PCE－∠BPC

又BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACE的平线

所以：

∠PBC=，∠PCE=

所以∠BPC=－

故有结论二：

在中，BP是∠ABC的平分线，CP是ΔABC的外角∠ACE的平分线，

则有：

。

探究三：

在中，BP，CP分别是ΔABC的两个外角的平分线，

试探究：

∠BPC与∠A的关系？

探究：

因为∠BPC在ΔBPC中，由三角形的内角和定理，有：

由BP，CP分别是ΔABC的两个外角的平分线，有：

∠PBC=，∠PCB=

而∠ABC+∠CBE=1800，∠ACB+∠BCF=1800，

所以∠ABC+∠CBE+∠ACB+∠BCF=3600

所以∠EBC+∠FCB=3600－（∠ACB+∠ABC）

所以

故有结论三：

在中，BP，CP分别是ΔABC的两个外角的平分线，

则有。

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其逆定理水平测试

一、选择题

1.下列说法，错误的是（）

A.三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等

B.三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上

C.三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等

D.三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部

2.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定

3.如图所示，在中，，的中垂线交斜边于，，，则图中有多少个角等于（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

4.等腰△两腰，的垂直平分线交于点，下列各式不正确的是（　　　）

A．B．平分C．D．

5.已知△中，，的垂直平分线交于，△和△的周长分别是60cm和38cm，则△的腰长和底边的长分别是（　　）

A．24cm和12cm　B．16cm和22cmC．20cm和16cm　　　D．22cm和16cm

6.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（　　）

A．60°B．75°

C．90°D．95°

7.若△三条角平分线的交点到三顶点的距离相等，则该三角形一定为（　　）

A．等腰三角形，但不一定是等边三角形．　　B．直角三角形．

C．等腰直角三角形．　　　　　　　　　　　D．等边三角形．

8.如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：

①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

9.已知点在的平分线上，，cm，那么点到边，的距离分别是（　　）

A．5cm，cm　　B．4cm，5cmC．5cm，5cm　　D．5cm，10cm

10.如图，△ABC中，∠C=90º，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且DE=1.5cm，则AC等于（　　）

A．3cmB．7.5cmC．6cmD．4.5cm

二、填空题

1.已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的____________________；若点P在AB的____________________，则PA=PB．

2.如图，△中，是的垂直平分线交于，，，则　　　　　　．

3.如图，垂直平分线段于点的平分线交于点，连结，则的度数是．

4.如图所示，在中，，是的垂直平分线，，，则的长度为．

5.在锐角三角形中，，，两边的垂直平分线相交于点，则的度数是．

6.△中，，平分，交于，若，则到的距离是　　　　　．

7.△的三边长分别为3cm、4cm、5cm，若为△三内角平分线交点，则点到斜边的距离等于　　　　　　　　　．

8.如图，已知平分，平分，，且过点，若，，则的周长是．

9.如图，是的平分线，于，，，，则的长是．

10.如图，中，，，平分交于，于，且，则的周长是．

三、解答题

1.如图所示，直线，表示两条相互交叉的公路．点，表示两个蔬菜基地．现要建立一个蔬菜批发市场，要求它到两个基地的距离相等，并且到公路，的距离相等，请你作图说明此批发市场应建在什么地方？

2.如图△中，，，的垂直平分线交于，求证：

．

3.用三角尺画角平分线：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线．请解释