量子力学习题答案.docx
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量子力学习题答案
2.1
如图所示
由概率流密度公式
左右
0x
设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论
入射
一）的情形
此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为
反射系数
透射系数
其中
其解分别为
左边只有透射波无反射波，所以
同理可得两个方程
为零
（1）粒子从左向右运动
右边只有透射波无反射波，所以为零
由波函数的连续性
得
得
解得
解
反射系数
透射系数
二）的情形
透射系数
令,不变
此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为
（2）粒子从右向左运动
左边只有透射波无反射波，所以
为零
其解分别为
由在右边波函数的有界性得
为零
同理可得方程
由于全部透射过去，所以
1）粒子从左向右运动
反射系数
得
透射系数
2.2
得
解得
如图所示
入射
在
有隧穿效应，粒子穿过垒厚为
的方势垒的透射
系数为
反射系数
总透射系数
2.3
以势阱底为零势能参考点，如图所示
0a
显然
时只有中间有值
在中间区域所满足的定态薛定谔方程为
显然
时只有中间有值
在中间区域所满足的定态薛定谔方程为
其解是
由波函数连续性条件得
其解是
由波函数连续性条件得
相应的
因为正负号不影响其幅度特性可直接写成
当，为任意整数，
则
当，为任意整数，
则
综合得
∴
当时，，
其中
其解为
由在右边波函数的有界性得为零
再由连续性条件，即由
归一化后
当时，，
波函数
归一化后
除以得
2.4
如图所示∞
左中右
0a
显然
在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为
再由公式,注意到
令
2.5
则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为
n=3
n=2
则上式可化成
其中，不同n对应不同曲
线,
图中只画出了在的取值范围之内的部分
只有当有解
n=0
只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，
对每个E，确定
归一化条件得
3.1
即
3.2
则
则
令
则
3.4
式中
第三章
能量本征值方程为
能级简并度为
由能量本征值方程
分离变量法，令
则有
其解为
同理
令则
由周期性得
归一化条件
角动量算符
由能量本征值方程
在极坐标系下
令
当
此时满足的方程为
时
再由公式,注意到
令
时
只考虑时令
其中，不同n对应不同曲
线,
图中只画出了在的取值范围之内的部分
其解分别为
由波函数有界性
得
由波函数连续性
得
只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，
对每个E，确定
则
归一化条件得
1可求
得
3.5
由测不准关系
代入，验证该式是成立的
第四章
4.1
在动量表象中
则
代入
得
同理
方差算符
得
则
归一化后的
4.5
本征方程的矩阵形式
上式存在非零解的条件是
解得
第六章
6.3
解：
S?
n
Sn
在S?
z
0
21
表象，S?
n的矩阵元为
10cos
02i
cos
2cosicos
其相应的久期方程为
cos
2
（cosicos）
2
即22
即cos
4
icos1
020cosicoscos
（cosicos）
2
cos
2
222
4（cos2cos2）0
（利用
所以S?
n的本征值为
cos2cos2
01cos
cos21）
a
1（Sn）
b
2
设对应于Sn的本征函数的矩阵表示为
n2
coscosicos
a
a
2
cosicoscos
b
2
b
则
a（cosicos）bcosb
cosicosbcos1coiscos
当
再由
得
由归一化条件，得
11
1
22
（a,b）
a
a
2
b
b2
cosicos
1cos
22
a
1cos
同样
21（Sn）2
1cos1cosicos0
02（1cos）1
cosicos
1coscosicos
212
2（1cos）12
同理可求得对应于Sn的本征函数为
2
方程有非零解的条件为
det
=0，
1（Sn）
2
1cos
2
cosicos
即，的本征值、本征函数有两个
当时，代入得
2（1cos）
6.1
由波函数归一化条件得
有
设在的表象下的本征函数为
本征值为，在的表象下的本征函数为
，本征值
由在的表象下的矩阵得
6.3节的证明题
在中心场问题中（即氢原子中电子的状态）
（1）当无自旋动量距与轨道动量矩的耦合（即存在符的相乘项）
电子的哈密顿量为
算符与算
求其本征值时转化为球坐标系下的方程
方程有非零解的条件为det
=0，
则方程左边可分解为三维表象下的三个方程，
，的本征值、本征函数有两个
当时，代入得
由波函数归一化条件得
同理
三个表象下各自的波函数相乘即是的本征函数。
表象下是阶连带拉盖尔多项式，记作算符的本征值
表象下的方程显示的对的作用关系即是算符
是球谐函数，是与的共同本征函数
表象下是
其本征函数为
由在的表象下的矩阵得
通过，确定可得表象下的本征函数
主量子数
角量子数
轨道量子数
自旋量子数
（2）当存在自旋动量距与轨道动量矩的耦合
电子的哈密顿量为
同样求其本征值时转化为球坐标系下的方程
表象下也是阶连带拉盖尔多项式
表象下的方程显示的对的作用关系即是总动量矩
算符
，是属于不同自由度的，分别为其分量
类似于在轨道角动量矩的性质
，具有共同本征函数
下面先求的本征函数
在表象下
由求得（以下只要记住就行）
则的本征函数为，
时
○1
的本征函数为球谐函数
的本征函数为
至此该情况下的本征函数为
显然的简并度为
属于本征值的本征函数可表示为
主量子数
角量子数
磁量子数
定态形式：
内量子数
量子力学全书重点
1.量子力学三大作用：
奠基作用、渗透作
用、设计作用
2.量子力学中粒子的特点
单一粒子具有波粒二象性多粒子体系具有全同性
3.量子力学的三大原理：
态叠加原理：
若波函数，是描述粒子的一些可能态，则这些波函数线性叠加得到的也是描
述粒子的可能态
测不准原理：
对于任意两个不可对易的力学量算符，设其满足，则有
对于时间与能量
全同性原理：
全同系的状态不因交换两个粒子而改变，其运动状态只能用对称或反对称的波函数来描述
4.量子力学的三大概率分布概率跃迁概率散射概率
5.量子力学的三大景象
薛定谔景象随时间变化，不变
海森伯景象取时刻，含时
互作用景象（狄拉克景象）
6.量子力学的三大方程
薛定谔方程：
含时形式：
海森伯方程
泡利方程
7.波函数
物理含义：
描述微观物体的运动状态，是描述的粒
子在体积元内出现的概率
性质：
连续性，有界性，单值性，归一性厄米算符
线性条件：
厄米条件：
本征函数:
正交归一性、完备性具有完备的共同本征函数：
两算符必须对易力学量的完备集合
1.力学量的数目至少等于系统的自由度
2.这一组力学量必须两两对易
3.这一组力学量必须相互独立
8.常见力学量算符
9.力学量的表象与矩阵力学P122
10.自旋
电子自旋的两个假设
1.每个电子都有自旋动量距，在空间任意
方向上只能取两个值
2.自旋磁距
11.
12.
13.
自旋波函数P1766.30式
双粒子系下波函数的形式P205，P206
散射截面
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