154.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：
直线BC1//平面AB1D；
（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.
（Ⅰ）证明：
CD//C1B1，又BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1//DB1.
又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）解：
过B作BE⊥AD于E，连结EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD，
∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，∵BD=BC=AB，∴E是AD的中点，
在Rt△B1BE中，∴∠B1EB=60°。
即二面角B1—AD—B的大小为60°…………10分
（Ⅲ）解法一：
过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，
∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=
即三棱锥C1—ABB1的体积为…………15分
解法二：
在三棱柱ABC—A1B1C1中，
即为三棱锥C1—ABB1的体积．
155.已知空间四边形ABCD的边长都是1，又BD=，当三棱锥A—BCD的体积最大时，求二面角B—AC—D的余弦值．
解析：
如图，取AC中点E，BD中点F，由题设条件知道
（1）BED即二面角B—AC—D的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）当AF面BCD时，VA—BCD达到最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
这时ED2=AD2-AE2=1-AE2=1-=1-
=1-，
又BE2=ED2，
∴cos．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
A
E
B F D
C
156.有一矩形纸片ABCD，AB=5，BC=2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角．
（1）求BD的距离；
（2）求证AC，BD交于一点且被这点平分．
解析：
将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．
（1）解：
因为AE，EF，EB两两垂直，
所以BD恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线，
．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）证明：
因为ADEF，EFBC，所以ADBC．
所以ACBD在同一平面内，
且四边形ABCD为平行四边形．
所以AC、BD交于一点且被这点平分
157.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，
∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
（Ⅰ）求证：
不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
证明：
（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.………………………………3分
又
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.………………8分
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴
由AB2=AE·AC得
故当时，平面BEF⊥平面ACD.………………………………………………12分
158.设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。
如图求直线PB和平面PAC所成角的大小
159.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知P，Q，R，S分别为棱A1D1，A1B1，AB，BB1的中点，求证：
平面PQS⊥平面B1RC.（12分）
证明：
连结BC1交B1C于O，则O为BC1的中点
连结RO，AC1，∵R是AB的中点∴RO∥AC1
∵P,Q分别为A1D1，A1B1的中点，易知A1C1⊥PQ
∴AC1⊥PQ（三垂线定理）
160.把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角B—AC—D，E、F分别为AD、BC的中点，O为正方形的中心，求折起后∠EOF的大小
证明：
过F作FM⊥AC于M，过E作EN⊥AC于N，则M，N分别为OC、AO的中点
解析：
161.如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点。
（1）求异面直线B1O与AM所成角的大小。
（2）求二面角B1—MA—C的正切值。
（14分）
解析：
方法二：
取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.
易证AM⊥A1N
∴AM⊥B1O（三垂线定理）
（2）连结MB1，AB1，MC，过O作OH⊥AM于H点，连结B1H，
∵B1O平面MAC，∴∠B1HO就是所求二面角B1—MA—C的平面角.
162.在正方体AC1中，E为BC中点
（1）求证：
BD1∥平面C1DE；
（2）在棱CC1上求一点P，使平面A1B1P⊥平面C1DE；
（3）求二面角B—C1D—E的余弦值。
（14分）
解析：
163.如图，立体图形V-ABCD中，底面是正方形ABCD，其他四个侧面都是全等的正三角形，画出二面角V-AB-C的平面角，并求它的度数．
解：
设底面边长为a，则侧面三角形的边长也为a．
取AB的中点E，DC中点F，连VE、EF．
∵ 侧面△VAB是正三角形，
∴ VE⊥AB．
又EF∥BC，BC⊥AB，∴ EF⊥AB．
∠VEF就是V-AB-C的平面角．
cos∠VEF＝．
164.已知二面角α-l-β是45°角，点P在半平面α内，点P到半平面β的距离是h，求点P到棱l的距离．
解：
经P作PB⊥β于B，
经P在平面α内作PA⊥l于A．
连AB，则AB⊥l．
∠PAB就是二面角的平面角，∠PAB＝45°．
那么在Rt△PAB中，PB＝h，PA＝h．
165.自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：
它们所成的角与这个二面角的平面角互补．
证明：
如图PQ⊥β，PQ⊥AB，
PR⊥α，PR⊥AB，
则AB⊥面PQR．
经PQR的平面交α、β于SR、SQ，
那么AB⊥SR，AB⊥SQ．
∠QSR就是二面角的平面角．
因四边形SRPQ中，∠PQS＝∠PRS＝90°，
因此∠P＋∠QSR＝180°．
166.一张菱形硬纸板ABCD的中心是点O，沿它的一条对角线AC对折，使BO⊥DO，这时二面角B-AC-D是多少度？
要使二面角B-AC-D为60°，点B和D间的距离应是线段BO的几倍？
解：
因ABCD是菱形，故AC⊥BD．
沿对角线AC折为空间图形后BO⊥AC，DO⊥AC．
∠BOD就是二面角B-AC-D的平面角．
因BO⊥OD，故∠BOD＝90°，
即二面角B-AC-D是90°．
要使二面角B-AC-D为60°．
因BO＝OD，故△BOD是等边三角形，
此时BD＝BO．
167.四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
解析：
：
注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径．
证法一：
利用定义法
经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE．
因底是正方形，故CD＝DA．
△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°，
则CE⊥PD．
故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角．
设AC与BD交于O，连EO，则EO⊥AC．
因OA＝×＝a，AE＜AD＜a．
cos∠AEC＝＝＜0．
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
证法二：
运用三垂线法
∵ PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB，
∴ AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD．
过B作BE⊥PA，则BE⊥面PAD．
在面PBC内作PGBC，连GD．
经C作CF⊥面PAD于F，
那么连结EF，有EFAD．
经F作FH⊥PD于H，连CH，
则∠FHC是所求二面角平面角的补角．
因CF⊥FH，故∠FHC是锐角．
则面PAD与面PCD所成二面角大于90°．
此结论证明过程中与棱锥高无关．
证法三：
利用垂面法找平面角．
在证法一所给图形中
连AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD，
∴ AC⊥PD．
经A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，连CE，
即PD⊥CE．
故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角．
以下同证法一．
168.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小．
解：
△EB1C在底面ABCD内的射影三角形为Rt△ABC．
因E点射影为A，B1点射影为B．
设正方体棱长为a，
则S△ABC＝a2．
又在△EB1C中，
B1E＝a，B1C＝a，EC＝a，
故cos∠B1EC＝．
∴ sin∠B1EC＝．
∴ S＝×a·a·＝a2．
设面ＥB1C和面ABCD所成的二面角为θ，
则cosθ＝＝．
那么所求二面角的大小为arccos．
评述：
此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱来解决，但这里通过射影而直接求角更方便．S′＝S△ABC，S＝．
169.一个平面将空间分成几部分？
二个平面将空间分成几部分？
三个平面将空间分成几部分？
解析：
2部分，３或４部分，４或６或７或８部分
170.如图：
已知直线l与平行直线a、b、c都相交，
求证:
l与a、b、c共面。
设L∩ａ＝A，
ｌ∩ｂ＝A，L∩ｃ＝C，∵ａ∥ｂ，∴ａ、ｂ可确定一个平面α，∵Ａ∈ａ，B∈ｂ，∴A∈α，B∈α，∴ABα，即Lα．∵ｂ∥ｃ，∴ｂ、ｃ可确定一个平面β，
同理ｌβ．∵α、β均过相交直线ｂ、ｌ，∴α、β重合，∴ａ、ｂ、ｃ、ｌ
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