综上,不等式f(x)≤8的解集为.[5分]
(2)因为f(x)=|x|+2|x-a|=
可见f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
所以当x=a时,f(x)取最小值a,所以a的取值范围是[6,+∞).[10分]
评分细则
(1)f(x)去绝对值得分段函数给2分;三种情况下的解集错一种扣1分,没有最后结论扣1分;
(2)求出f(x)的单调性给至8分.
阅卷老师提醒
(1)含有绝对值式子的函数,实质上就是一个分段函数,根据解析式中每个绝对值取零时的自变量的值将定义域分成几段,分段去掉绝对值符号即可.
(2)分段讨论时要注意不重不漏,讨论后要有最后总结性结论.
五、小题冲关
1.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为________.
答案
解析 原不等式等价于|2x+1|>2|x-1|⇔(2x+1)2>4(x-1)2⇔x>.
2.设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则=________.
答案
解析 通过等式找出a+b+c与x+y+z的关系.
由题意可得x2+y2+z2=2ax+2by+2cz,①
①与a2+b2+c2=10相加可得
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=10,
所以不妨令,
则x+y+z=2(a+b+c),即=.
3.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则++的最大值为________.
答案
解析 (++)2=(1×+1×+1×)2
≤(12+12+12)(a+b+c)=3.
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
∴(++)2≤3.故++的最大值为.
4.不等式≥1的实数解为__________.
答案 .
解析 ∵≥1,∴|x+1|≥|x+2|.
∴x2+2x+1≥x2+4x+4,∴2x+3≤0.
∴x≤-且x≠-2.
5.若不等式x+|x-1|≤a有解,则实数a的取值范围是______.
答案 [1,+∞)
解析 设f(x)=x+|x-1|,则f(x)=
f(x)的最小值为1.所以当a≥1时,f(x)≤a有解.
6.对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,记实数M的最大值
是m,则m的值为________.
答案 2
解析 不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,
即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,
只要左边恒小于或等于右边的最小值.
因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,即|a|≥|b|时,≥2成立,也就是的最小值是2.
六、专题限时规范训练
一、填空题
1.不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集为________.
答案 {x|x≥1}
解析 原不等式可化为:
或或
∴x∈∅或1≤x<2或x≥2.∴不等式的解集为{x|x≥1}.
2.设x>0,y>0,M=,N=+,则M、N的大小关系为__________.
答案 M解析 N=+>+==M.
3.对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________.
答案 5
解析 ∵|x-1|≤1,∴-1≤x-1≤1,∴0≤x≤2.