高考数学大一轮复习第九章平面解析几何92两条直线的位置关系学案理北师大版.docx
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高考数学大一轮复习第九章平面解析几何92两条直线的位置关系学案理北师大版
2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系学案理北师大版
最新考纲
考情考向分析
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主,有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主,要求相对较低,但内容很重要,特别是距离公式,是高考考查的重点.
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行:
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.
(ⅱ)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
②两条直线垂直:
(ⅰ)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
|P1P2|=.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离
d=.
(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=.
知识拓展
1.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).
2.两直线平行或重合的充要条件
直线l1:
A1x+B1y+C1=0与直线l2:
A2x+B2y+C2=0平行或重合的充要条件是A1B2-A2B1=0.
3.两直线垂直的充要条件
直线l1:
A1x+B1y+C1=0与直线l2:
A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.
4.过直线l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
5.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )
(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定为-1.( × )
(3)已知直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( √ )
(4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( × )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(6)若点A,B关于直线l:
y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.( √ )
题组二 教材改编
2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:
x-y+3=0的距离为1,则a等于( )
A.B.2-C.-1D.+1
答案 C
解析 由题意得=1.
解得a=-1+或a=-1-.∵a>0,∴a=-1+.
3.已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m=.
答案 1
解析 由题意知=1,所以m-4=-2-m,
所以m=1.
题组三 易错自纠
4.(xx·郑州调研)直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于( )
A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3
答案 C
解析 直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,故m=2或-3.故选C.
5.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是.
答案
解析 先将2x+2y+1=0化为x+y+=0,
则两平行线间的距离为d==.
6.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=.
答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.
题型一 两条直线的位置关系
典例(xx·青岛模拟)已知两条直线l1:
ax-by+4=0和l2:
(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解
(1)由已知可得l2的斜率存在,且k2=1-a.
若k2=0,则1-a=0,a=1.
∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.
又∵l1过点(-3,-1),
∴-3a+4=0,即a=(矛盾),
∴此种情况不存在,
∴k2≠0,即k1,k2都存在且不为0.
∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,
∴k1k2=-1,即(1-a)=-1.(*)
又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.(**)
由(*)(**)联立,解得a=2,b=2.
(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在,
k1=k2,即=1-a,①
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2,
∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b,②
联立①②,解得或
∴a=2,b=-2或a=,b=2.
思维升华
(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
跟踪训练已知直线l1:
ax+2y+6=0和直线l2:
x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)试判断l1与l2是否平行;
(2)当l1⊥l2时,求a的值.
解
(1)方法一 当a=1时,l1:
x+2y+6=0,
l2:
x=0,l1不平行于l2;
当a=0时,l1:
y=-3,
l2:
x-y-1=0,l1不平行于l2;
当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:
y=-x-3,
l2:
y=x-(a+1),
l1∥l2⇔解得a=-1,
综上可知,当a=-1时,l1∥l2.
方法二 由A1B2-A2B1=0,
得a(a-1)-1×2=0,
由A1C2-A2C1≠0,
得a(a2-1)-1×6≠0,
∴l1∥l2⇔
⇔可得a=-1,
故当a=-1时,l1∥l2.
(2)方法一 当a=1时,l1:
x+2y+6=0,l2:
x=0,
l1与l2不垂直,故a=1不成立;
当a=0时,l1:
y=-3,l2:
x-y-1=0,l1不垂直于l2,
故a=0不成立;
当a≠1且a≠0时,
l1:
y=-x-3,l2:
y=x-(a+1),
由·=-1,得a=.
方法二 由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,
可得a=.
题型二 两直线的交点与距离问题
1.已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是.
答案
解析 方法一 由方程组
解得
(若2k+1=0,即k=-,则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限,
∴
解得-<k<.
方法二 如图,已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).
而直线方程y=kx+2k+1可变形为y-1=k(x+2),表示这是一条过定点P(-2,1),斜率为k的动直线.
∵两直线的交点在第一象限,
∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点),
∴动直线的斜率k需满足kPA<k<kPB.
∵kPA=-,kPB=.
∴-<k<.
2.若直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为.
答案 x+3y-5=0或x=-1
解析 方法一 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由题意知=,
即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-.
∴直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.
方法二 当AB∥l时,有k=kAB=-,
直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
当l过AB的中点时,AB的中点为(-1,4).
∴直线l的方程为x=-1.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
思维升华
(1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意:
①点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
典例过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:
2x+y-8=0和l2:
x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.
答案 x+4y-4=0
解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.
命题点2 点关于直线对称
典例如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A.3B.6C.2D.2
答案 C
解析 直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|==2.
命题点3 直线关于直线的对称问题
典例已知直线l:
2x-3y+1=0,求直线m:
3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.
解 在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.
设对称点M′(a,b),则
解得
∴M′.
设直线m与直线l的交点为N,则
由
得N(4,3).
又∵直线m′经过点N(4,3),
∴由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0.
思维升华解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
跟踪训练已知直线l:
3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;
(3)直线l关于(1,2)的对称直线.
解
(1)设P(x,y)关于直线l:
3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′),∵kPP′·kl=-1,即×3=-1.①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
∴3×-+3=0.②
由①②得
把x=4,y=5代入③④得x