高考数学总复习 第十章105 离散型随机变量的均值与方差正态分布教案 理 北师大版.docx
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高考数学总复习第十章105离散型随机变量的均值与方差正态分布教案理北师大版
2019-2020年高考数学总复习第十章10.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布教案理北师大版
考纲要求
1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
知识梳理
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
（1）均值：
称EX＝________为随机变量X的均值或______，它反映了离散型随机变量取值的______．
（2）方差：
称DX＝______为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的______，其算术平方根为随机变量X的______．
2．均值与方差的性质
（1）E（aX＋b）＝______；
（2）D（aX＋b）＝______（a，b为实数）．
3．两点分布和二项分布的均值和方差
若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝____，DX＝____.
若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B（n，p），则EX＝____，DX＝______.
若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝______，DX＝______.
4．正态分布
（1）正态曲线：
如果连续型随机变量X的概率密度函数为φμ，σ（x）＝，x∈（－∞，＋∞），其中μ，σ为参数，则称φμ，σ（x）的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态分布：
一般地，如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称随机变量X服从正态分布，用X～N（μ，σ2）表示．
（3）正态分布的性质：
①曲线位于____轴的上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于______对称；③曲线在X＝μ时达到峰值______；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______；⑤曲线与x轴之间的面积为____．
基础自测
1．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），则P（ξ＜3）＝（ ）．
A．B．C．D．
2．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为（ ）．
A．10%B．20%C．30%D．40%
3．随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若EX＝，则DX的值是__________．
4．某运动员投篮命中率p＝0.6.
（1）求一次投篮时命中次数ξ的均值；
（2）求重复5次投篮时，命中次数η的均值．
思维拓展
1．离散型随机变量的均值与分布列有什么区别？
提示：
虽然离散型随机变量的分布列和均值都是从整体上刻画随机变量的，但二者有所不同．分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．
2．样本的方差与随机变量的方差有何不同？
提示：
样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量；而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量．
3．方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？
提示：
方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位．
4．参数μ，σ在正态分布中的实际意义是什么？
提示：
参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
一、离散型随机变量的均值
【例1－1】已知随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
（1）求EX；
（2）若Y＝2X－3，求EY.
【例1－2】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．
方法提炼1．求数学期望（均值）的关键是求出其分布列．若已知离散型分布列，可直接套用公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求其均值．随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算．
2．若X是随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量且EY＝aEX＋b.
请做[针对训练]2
二、离散型随机变量的方差
【例2－1】袋中有20个大小相同的球，其中标号为0号的有10个，标号为n号的有n个（n＝1,2,3,4）．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
（1）求X的分布列、期望和方差；
（2）若η＝aX＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．
【例2－2】有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为X，Y（单位：
s），其分布列如下：
X
－1
0
1
P
0.1
0.8
0.1
Y
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
试比较这两种品牌手表的质量．
方法提炼均值仅体现了随机变量取值的平均水平．如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化，方差大，说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．
请做[针对训练]3
三、二项分布的均值与方差
【例3－1】某人投弹命中目标的概率p＝0.8.
（1）求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
（2）求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．
【例3－2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ＝3，标准差为.
（1）求n，p的值并写出ξ的分布列；
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
方法提炼1．若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p（1－p）；
2．若X～B（n，p），则EX＝np，DX＝np（1－p）．
请做[针对训练]4
四、正态分布及其应用
【例4－1】已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤0）＝（ ）．
A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84
【例4－2】已知三个正态分布密度函数φi（x）＝（x∈R，i＝1,2,3）的图像如图所示，则（ ）．
A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
方法提炼1．若连续型随机变量ξ服从正态分布，即ξ～N（μ，σ2），则Eξ＝μ，Dξ＝σ2，这儿μ，σ的意义是期望和标准差．μ在正态分布曲线中确定曲线的位置，而σ确定曲线的形状．如果给出两条正态分布曲线，我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判别相应的μ和σ的大小关系．
2．正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．正态曲线与x轴之间面积为1.
请做[针对训练]1
考情分析
离散型随机变量的分布列、期望与方差是高考数学中的热点、重点内容之一，题型以解答题为主，有时也以选择题或填空题的形式出现，难度适中．确定离散型随机变量的取值，找准其适用的概率模型，求出随机变量的分布列是正确求得其期望与方差的关键．
对正态分布曲线的性质考查最多的是其对称性，即正态分布曲线关于x＝μ对称，也可以推广到P（ξ＜μ－μ0）＝P（ξ＞μ＋μ0）．
针对训练
1．设两个正态分布N（μ1，σ）（σ1＞0）和N（μ2，σ）（σ2＞0）的密度函数图像如图所示，则有（ ）．
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
2．（xx上海高考，理9）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
x
1
2
3
P（ξ＝x）
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！
”处无法完全看清，且两个“？
”处字迹模糊，但能肯定这两个“？
”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝______.
3．袋中有同样的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：
（1）随机变量ξ的概率分布；
（2）随机变量ξ的数学期望与方差．
4．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为.
（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．
（1）x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 数学期望 平均水平
（2） 平均偏离程度 标准差
2．
（1）aEX＋b
（2）a2DX
3．p p（1－p） np np（1－p） n ·
4．（3）x x＝μ 集中 分散 1
基础自测
1．D 解析：
ξ服从正态分布N（3，σ2），曲线关于x＝3对称，P（ξ＜3）＝.
2．D 解析：
由题意可知，120分以上的人数也占10%，故90分至120分之间的考生人数所占百分比约为＝40%.
3． 解析：
∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，又∵a＋b＋c＝1，
EX＝－1×a＋1×c＝c－a＝.
所以a＝，b＝，c＝，∴DX＝×＋×＋×＝.
4．解：
（1）投篮一次，命中次数ξ的分布列为
ξ
0
1
P
0.4
0.6
则Eξ＝p＝0.6.
（2）由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B（5,0.6）．则Eη＝np＝5×0.6＝3.
考点探究突破
【例1－1】解：
（1）由离散型随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
∴EX＝（－2）×＋（－1）×＋0×＋1×＋2×＝－.
（2）方法一：
由公式E（aX＋b）＝aEX＋b，得EY＝E（2X－3）＝2EX－3＝2×－3＝－.
方法二：
由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y
－7
－5
－3
－1
1
P
∴EY＝（－7）×＋（－5）×＋（－3）×＋（－1）×＋1×＝－.
【例1－2】解：
从10件产品中任取3件共有C种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，其中k＝0,1,2,3.
∴P（X＝k）＝，k＝0,1,2,3.
∴随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【例2－1】解：
（1）X的分布列是
X
0
1
2
3
4
P
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
DX＝（0－1.5）2×＋（1－1.5）2×＋（2－1.5）2×＋（3－1.5）2×＋（4－1.5）2×＝2.75.
（2）由Dη＝a2DX，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又Eη＝aEX＋b，
当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或
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