高考第二轮复习数学解析几何问题的题型与方法.docx

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高考第二轮复习数学解析几何问题的题型与方法

解析几何问题的题型与方法

一．复习目标：

1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.

2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.

3．理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.

4．掌握圆的标准方程：

（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：

，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.

5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：

范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.

二．考试要求：

（一）直线和圆的方程

1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。

3．了解二元一次不等式表示平面区域。

4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。

5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。

6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。

（二）圆锥曲线方程

1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。

2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

4．了解圆锥曲线的初步应用。

三．教学过程：

（Ⅰ）基础知识详析

高考解析几何试题一般共有4题（2个选择题,1个填空题,1个解答题），共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。

其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。

选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。

解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。

（一）直线的方程

1.点斜式：

；2.截距式：

；

3.两点式：

；4.截距式：

；

5.一般式：

，其中A、B不同时为0.

（二）两条直线的位置关系

两条直线，有三种位置关系：

平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.

设直线：

=+，直线：

=+，则

∥的充要条件是=，且=；⊥的充要条件是=-1.

（三）线性规划问题

1．线性规划问题涉及如下概念：

⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.

⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.

⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.

⑷满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.

⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.

⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.

2．线性规划问题有以下基本定理：

⑴一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形.

⑵凸多边形的顶点个数是有限的.

⑶对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.

3.线性规划问题一般用图解法.

（四）圆的有关问题

1.圆的标准方程

（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.

特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.

2.圆的一般方程

（＞0）称为圆的一般方程，

其圆心坐标为（，），半径为.

当=0时，方程表示一个点（，）；

当＜0时，方程不表示任何图形.

3.圆的参数方程

圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

（θ为参数）

（θ为参数）

（五）椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义：

椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.

2.椭圆的标准方程：

（＞＞0），（＞＞0）.

3.椭圆的标准方程判别方法：

判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：

如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：

⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.

（六）椭圆的简单几何性质

1.椭圆的几何性质：

设椭圆方程为（＞＞0）.

⑴范围：

-a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.

⑵对称性：

分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

⑶顶点：

有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.

线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷离心率：

椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.

2.椭圆的第二定义

⑴定义：

平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.

⑵准线：

根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.

3.椭圆的焦半径：

由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.

椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.

（七）椭圆的参数方程

椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.

说明⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：

；

⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.

（八）双曲线及其标准方程

1.双曲线的定义：

平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.

若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

2.双曲线的标准方程：

和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：

如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：

⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.

（九）双曲线的简单几何性质

1.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.

2.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：

，其中k是一个不为零的常数.

3.双曲线的第二定义：

平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.

在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.

（十）抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：

平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。

需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。

2．抛物线的方程有四种类型：

、、、.

对于以上四种方程：

应注意掌握它们的规律：

曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。

3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例

（1）范围：

x≥0；

（2）对称轴：

对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

（3）顶点：

O（0，0），注：

抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：

e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

（5）准线方程；

（6）焦半径公式：

抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

（7）焦点弦长公式：

对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。

设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x+x+p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

（8）直线与抛物线的关系：

直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：

x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。

（十一）轨迹方程

⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.

（十二）注意事项

1．⑴直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.

⑵直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.