平行四边形解答问题.docx
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平行四边形解答问题
2018年八年级数学下册平行四边形解答题专项复习
在△ABC中,AD=BF,点D,E,F分别是AC
BC,BA延长线上的点,四边形ADEF为平行四边形.
求证:
AB=AC
如图,□ABCD的对角线相交于点O,EF过点O分别与AD,BC相交于点E,F.
(1)求证:
△AOE≌△COF;
(2)若AB=4,BC=7,OE=3,试求四边形EFCD的周长.
如图,△ABC中,AB=AC,E、F分别是BC、AC的中点,以AC为斜边作Rt△ADC.
(1)求证:
FE=FD;
(2)若∠CAD=∠CAB=24°,求∠EDF的度数.
如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G为垂足.
(1)求证:
DC=BE;
(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度数.
如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:
四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是BC的中点,AC平分∠BCD,且AC⊥AB,接DE,交AC于F.
(1)求证:
AD=CE;
(2)若∠B=60°,试确定四边形ABED是什么特殊四边形?
请说明理由.
如图,在正方形ABCD中,BC=2,E是对角线BD上的一点,且BE=AB.求△EBC的面积.
如图,点E、F为线段BD的两个三等分点,四边形AECF是菱形.
(1)试判断四边形ABCD的形状,并加以证明;
(2)若菱形AECF的周长为20,BD为24,试求四边形ABCD的面积.
如图,已知在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB⊥AC,AB=1,BC=
.
⑴求平行四边形ABCD的面积S□ABCD;
⑵求对角线BD的长。
如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:
四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
图①是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图②),依此规律继续拼下去,求第n个图形的周长.
如图,已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连结AE分别交BC、BD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.求证:
AB=2OF.
如图,将□ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:
四边形BCED′是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC.求证:
AB2=AE2+BE2.
在□ABCD中,E为BC的中点,过点E作EF⊥AB于点F,延长DC,交FE的延长线于点G,连结DF,已知∠FDG=45°
(1)求证:
GD=GF.
(2)已知BC=10,
.求CD的长.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接CD,BE.
(1)求证:
CE=AD;
(2)当点D是AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?
说明你的理由;
(3)当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?
(不需要证明)
参考答案
(1)证明:
∵AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.又∵∠AOE=∠COF,OA=OC,
在△AOE和△COF中,
,∴△AOE≌△COF.
(2)∵△AOE≌△COF∴AE=FC,OF=OE
又∵在ABCD中,BC=A
DCD=AB∴FC
+DE=AE+ED=AD=BC=7
∴S四边形EFCD=EF+FC+CD+ED=6+7+4=17
(1)证明:
∵E、F分别是BC、AC的中点,∴FE=0.5AB,
∵F是AC的中点,∠ADC=90°,∴FD=0.5AC,∵AB=AC,∴FE=FD;
(2)解:
∵E、F分别是BC、AC的中点,∴FE∥AB,∴∠EFC=∠BAC=24°,
∵F是AC的中点,∠ADC=90°,∴FD=AF.∴∠ADF=∠DAF=24°,∴∠DFC=48°,∴∠EFD=72°,
∵FE=FD,∴∠FED=∠EDF=54°.
解:
(1)如图,∵G是CE的中点,DG⊥CE,∴DG是CE的垂直平分线,∴DE=DC,
∵AD是高,CE是中线,∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线,∴DE=BE=
AB,∴DC=BE;
(2)∵DE=DC,∴∠DEC=∠BCE,∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE,
∵DE=BE,∴∠B=∠EDB,∴∠B=2∠BCE,∴∠AEC=3∠BCE=66°,则∠BCE=22°.
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠A=90°,∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,
∵在△DMO和△BNO中,
,∴△DMO≌△BNO(AAS),∴OM=ON,
∵OB=OD,∴四边形BMDN是平行四边形,∵MN⊥BD,∴平行四边形BMDN是菱形.
(2)解:
∵四边形BMDN是菱形,∴MB=MD,
设MD长为x,则MB=DM=x,在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2
即x2=(8﹣x)2+42,解得:
x=5,所以MD长为5.
解:
连接,∵AC平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA,
∵AD∥BC,∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,∵AB⊥AC,E是BC的中点,
∴AE=CE=BE=0.5BC,∴DE⊥AC,AF=CF,∴∠AFD=∠CFE=90°,∴△AFD≌△CFE,∴AD=CE,
(2)当∠B=60°,时,四边形ABED是菱形,
∵AB⊥AC,DE⊥AC,∴AB∥DE,∴四边形AECF是平行四边形,
∵AE=BE,∠B=60°,∴△ABE是等边三角形,∴AB=BE∴平行四边形AECF是菱形.
解:
作EF⊥BC于F,如图所示:
则∠EFB=90°,
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=2,∠DAB=∠ABC=90°,
∴∠ABD=∠DBC=0.5∠ABC=45°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴EF=BF,
∵BE=AB,∴BE=BC=2,∴EF=BF=
BE=
,
∴△EBC的面积=0.5BC•EF=0.5×2×
=
.
解:
(1)四边形ABCD为菱形.
理由如下:
如图,连接AC交BD于点O,
∵四边形AECF是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC,EO=OF,
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点,∴BE=FD,∴BO=OD,
∵AO=OC,∴四边形ABCD为平行四边形,
∵AC⊥BD,∴四边形ABCD为菱形;
(2)∵四边形AECF为菱形,且周长为20,∴AE=5,
∵BD=24,∴EF=8,OE=
EF=
×8=4,
由勾股定理得,AO=
=
=3,∴AC=2AO=2×3=6,
∴S四边形ABCD=
BD•AC=
×24×6=72.
解:
(1)∵D、G分别是AB、AC的中点,∴DG∥BC,DG=
BC,
∵E、F分别是OB、OC的中点,∴EF∥BC,EF=
BC,
∴DE=EF,DG∥EF,∴四边形DEFG是平行四边形;
(2)∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°,
∵M为EF的中点,OM=3,∴EF=2OM=6.
由
(1)有四边形DEFG是平行四边形,∴DG=EF=6.
解:
下面是各图形的周长:
题图①周长为4=22;
题图②周长为8=23;
题图③周长为16=24;……
所以第n个图形的周长为2n+1.
连结BE,CE//且=AB
□ABEC
BF=FC.□ABCD
AO=OC,∴AB=2OF.
证明:
(1)∵将□ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,
∴∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E.
∵DE∥AD′,∴∠DEA=∠EAD′.
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA.
∴∠DAD′=∠DED′.∴四边形DAD′E是平行四边形.∴DE=AD′.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB平行且等于DC.
∴CE平行且等于D′B.∴四边形BCED′是平行四边形.
(2)
∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA.∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°.∴∠AEB=90°.∴AB2=AE2+BE2.
(1)证明:
∵直线m∥AB,∴EC∥AD.
又∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又∵DE⊥BC,∴DE∥AC.
∵EC∥AD,DE∥AC,∴四边形ADEC是平行四边形.∴CE=AD.
(2)当点D是AB中点时,四边形BECD是菱形.
证明:
∵D是AB中点,DE∥AC(已证),∴F为BC中点,∴BF=CF.
∵直线m∥AB,∴∠ECF=∠DBF.∵∠BFD=∠CFE,∴△BFD≌△CFE.∴DF=EF.
∵DE⊥BC,∴BC和DE垂直且互相平分.∴四边形BECD是菱形.
(3)当∠A的大小是45°时,四边形BECD是正方形.
理由是:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC,
∵D为BA中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
∵四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形,
即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.