北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题.docx
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北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章直角三角形的边角关系
【知识要点】
一、锐角三角函数：
正切：
在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;
正弦：
在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;
余弦：
在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;
余切：
在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;
注：
（1）sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,∠A是锐角（注意数形结合,构造直角三角形）.
（2）sinA,cosA,tanA,是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；
（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
（4）sinA,cosA,tanA,的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
1、三角函数和角的关系
tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
sinA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，sinA的值越大。
cosA的值越小，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，cosA的值越大。
2、三角函数之间的关系
（1）互为余角的函数之间的关系
0º
30º
45º
60º
90º
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
—
cotα
—
1
0
若∠A为锐角，则
①；
②；
（2）同角的三角函数的关系
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，
（1）当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值、余切值随着角度的增大（或减小）
而减小（或增大）。
（2）0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
1）平方关系：
sinA2＋cosA2＝1
2）倒数关系：
tanA·cotA＝1
3）商的关系：
tanA＝，cotA＝
二、解直角三角形：
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有
（1）三边之间的关系：
a2+b2=c2；
（2）两锐角的关系：
∠A＋∠B=90°；◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
（3）边与角之间的关系：
（4）面积公式:
（hc为C边上的高）;
（5）直角三角形的内切圆半径
（6）直角三角形的外接圆半径
三、解直角三角形的应用：
1、当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角
当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角
2、如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角（或叫做坡比）。
用字母i表示，即
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°（东南方向）、南偏西为60°，北偏西60°。
【基础训练】
锐角三角函数定义
一、填空题
1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则△B'AC′∽______，从而，又可得
①______，即在Rt△ABC中（∠C＝90°），当∠A确定时，它的______与______的比是一个______值；
②______，即在Rt△ABC中（∠C＝90°），当∠A确定时，它的______与______的比也是一个______；
③______，即在Rt△ABC中（∠C＝90°），当∠A确定时，它的______与______的比还是一个______．
第1题图
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
第2题图
①＝______，＝______；
②＝______，＝______；
③＝______，＝______．
3．因为对于锐角α的每一个确定的值，sinα、cosα、tanα分别都有____________与它______，所以sinα、cosα、tanα都是____________．又称为α的____________．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
二、解答题
8．已知：
如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：
sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．
9．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．
综合、运用、诊断
10．已知：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．求：
sinB、cosB、tanB．
11．已知：
如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，
（1）求AB边上的高CD；
（2）求△ABC的面积S；
（3）求tanB．
12．已知：
如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．
拓展、探究、思考
13．已知：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按要求填空：
（1）
∴______；
（2）
∴b＝______，c＝______；
（3）
∴a＝______，b＝______；
（4）∴______，______；
（5）∴______，______；
（6）∵3，∴______，______．
正切：
1、在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）
A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定
2、已知∠A,∠B为锐角
（1）若∠A=∠B,则tanAtanB;
（2）若tanA=tanB,则∠A∠B.
3、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
正弦和余弦：
1．已知△中，，3cosB=2，AC=，则AB=．
2.在Rt中，，如果，，那么的值是（）
A.B.C.D.
3.在中，，分别是的对边，若，则
4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3米，，则梯子的长度为米．
5.如果是等腰直角三角形的一个锐角，则的值是（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
三角函数值的计算
一、填空题
1．填表．
锐角α
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
二、解答题
2．求下列各式的值．
（1）
（2）tan30°－sin60°·sin30°
（3）cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°（4）
3．求适合下列条件的锐角α．
（1）
（2）（3）（4）
综合、运用、诊断
4．已知：
如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，求此菱形的周长．
5．已知：
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：
sin∠ACB的值．
6．已知：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：
（1）∠D及∠DBC；
（2）tanD及tan∠DBC；
（3）请用类似的方法，求tan22.5°．
7．已知：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，
求：
（1）∠BAD；
（2）sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．
8．已知：
如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，，求：
sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．
拓展、探究、思考
9．已知：
如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证：
（1）0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
（2）1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
（3）锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
（4）锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
10．已知：
如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
（1）求证：
tan∠AOF＞tan∠AOE；
（2）锐角的正切值随角度的增大而______．
11．已知：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：
（1）sin2A＋cos2A＝1
（2）
解直角三角形
（一）
一、填空题
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下（如图所示）：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，
①三边之间的等量关系：
__________________________________．
②两锐角之间的关系：
__________________________________．
③边与角之间的关系：
______；_______；第1题图
_____；______．
④直角三角形中成比例的线段（如图所示）．
第④小题图
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
CD2＝_________；AC2＝_________；
BC2＝_________；AC·BC＝_________．
⑤直角三角形的主要线段（如图所示）．
第⑤小题图
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．
若r是Rt△ABC（∠C＝90°）的内切圆半径，则r＝_________＝_________．
⑥直角三角形的面积公式．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
S△ABC＝_________．（答案不唯一）
2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________（其中至少_________），这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边（两条_________或斜边和_________）及已知一边和一个锐角（_________和一个锐角或_________和一个锐角）
3．填写下表：
已
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