专题4导数及其应用.docx

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专题4导数及其应用

专题4：

导数及其应用

班级姓名

一、前测训练

1．

（1）曲线在点（1，0）的切线方程为．

（2）曲线y＝x3－3x2＋2x过点（0，0）的切线方程为．

答案：

（1）．

（2）y＝2x或y＝－x．

2．

（1）函数f（x）＝2x2－lnx的减区间为．

（2）函数上是增函数，则实数a的取值范围为．

答案：

（1）（0,）．

（2）a≤．

3．求下列函数极值（或最值）：

（1）f（x）＝xlnx

（2）f（x）＝sinx－x，x∈[－，]

答案：

（1）当x＝时，f（x）取极小值－．

（2）当x＝－时，f（x）取最小值－．当x＝时，f（x）取最大值－．

4．已知函数f（x）＝ax2－lnx－1（a∈R），求f（x）在[1，e]上的最小值．

答案：

当a≤时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（e）＝ae2－2．

当＜a＜时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（）＝（ln2a－1）．

当a≥时，f（x）在[1，e]上的最小值为f

（1）＝a－1．

5．若不等式ax2＞lnx＋1对任意x∈（0，＋∞）恒成立，求实数a的取值范围．

答案：

a＞

6．已知f（x）＝ax2，g（x）＝lnx＋1，若y＝f（x）与y＝g（x）的图象有两个交点，求实数a的取值范围．

答案：

（0,）

二、方法联想

1．切线方程

涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则另设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．

注意

（1）“在”与“过”的区别：

“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．

（2）用导数求解切线问题：

①切点处的导数等于切线斜率；②切点既在切线上；③切点也在曲线上．

变式1

函数上一点处的切线方程为，求的值

答案：

a＝2，b＝1

（已知切线方程求参数）

变式2

题目：

在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，

切点分别为和,则的值是

答案．

解析：

由题设函数y＝x2在A（x1，y1）处的切线方程为：

y＝2x1x－x12，

函数y＝x3在B（x2，y2）处的切线方程为y＝3x22x－2x23．

所以，解之得：

x1＝，x2＝．

所以＝．

（已知两曲线的公共切线，求切点）

变式3

曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为.

答案：

1

（求两曲线的公切线条数）

变式4

已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围

答案：

解：

设切点坐标，切线斜率为，则有

切线方程为：

因为切线过，所以将代入直线方程可得：

所以问题等价于方程，令

即直线与有三个不同交点

令解得所以在单调递减，在单调递增

所以若有三个交点，则

所以当时，过点存在3条直线与曲线相切

（已知公切线条数，研究参数的范围）

2．函数单调性

（1）如果在某个区间上f′（x）＞0，那么f（x）为该区间上的增函数；

如果在某个区间上f′（x）＜0，那么f（x）为该区间上的减函数．

（2）如果f（x）在某个区间为增函数，那么在该区间f′（x）≥0；（f′（x）不恒为0）

如果f（x）在某个区间为减函数，那么在该区间f′（x）≤0．（f′（x）不恒为0）

注意求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“∪”，用“，”或“和”．

变式1、已知f（x）＝2ax－－（2＋a）lnx（a≥0）．当a＞0时，讨论f（x）的单调性．

答案：

f′（x）＝2a＋－（2＋a）＝＝.

①当0＜a＜2时，f（x）在和上是增函数，在上是减函数；

②当a＝2时，f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

③当a＞2时，f（x）在和上是增函数，在上是减函数．

（已知导数等于0的两个根，求单调性）

变式2、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围_______________

答案：

（不单调，求参数的范围）

变式3、定义在上的函数满足：

则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为．

（确定函数单调性）

3．函数极值（或最值）

求解步骤：

①求函数的定义域；

②求f′（x）＝0在区间内的根；

③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．

④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．

变式1、已知函数f（x）的导函数f′（x）＝a（x＋1）（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是_____．

答案：

（－1,0）

解答：

因为f（x）在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′（x）的一个零点，且在x＝a的左边f′（x）＞0，右边f′（x）＜0，所以导函数f′（x）的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是（－1,0）．

（已知极大（小）值点，求参数范围）

变式2、已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋2（a>0）的极大值点和极小值点都在区间（－1,1）内，则实数a的取值范围是______．

答案　（，2）

解答：

由题意可知f′（x）＝0的两个不同解都在区间（－1，1）内．因为f′（x）＝3x2＋2ax＋1，

所以根据导函数图象可又a>0，解得

（已知极值点范围求参数范围）

变式3、已知函数，对任意的,都有恒成立,则实数a的最小值是______．

答案：

1

（要注意到）

4．极值（或最值）的分类讨论

（1）分类讨论根据f′（x）＝0解（判断为极值点）的存在性和解与区间的位置关系分为：

“无、左、中、右”，对四种分类标准进行取舍（或合并）；

（2）注意数形结合．

变式1、设函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax＋－3（a∈R）．求函数φ（x）＝f（x）＋g（x）的单调增区间。

答案：

因为φ（x）＝f（x）＋g（x）＝lnx＋ax＋－3（x＞0），

所以φ'（x）＝＋a－＝＝（x＞0）．

……………………6分

①当a＝0时，由φ'（x）＞0，解得x＞0；

②当a＞1时，由φ'（x）＞0，解得x＞；

③当0＜a＜1时，由φ'（x）＞0，解得x＞0；

④当a＝1时，由φ'（x）＞0，解得x＞0；

⑤当a＜0时，由φ'（x）＞0，解得0＜x＜．

所以，当a＜0时，函数φ（x）的单调增区间为（0，）；

当0≤a≤1时，函数φ（x）的单调增区间为（0，＋∞）；

当a＞1时，函数φ（x）的单调增区间为（，＋∞）．

（已知导数等于0的根，求原函数单调区间）

5．不等式恒成立问题

（1）若不等式的左右都是相同的变量x，如：

对x∈D，f（x）≤g（x）恒成立．

方法1分离变量看最值法（优先）．

方法2变换角度看函数．

方法3构造两个函数的图象判断位置关系（限于解填空题）．

技巧可以通过先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围．

（2）若不等式的左右都是不相同的变量，如：

对x1∈D1，x2∈D2，f（x1）≤g（x2）恒成立，

则f（x）max≤g（x）min．

说明：

若是不等式有解问题，则求最值与恒成立的问题正好相反．

变式1、已知函数.若对一切,恒成立,则的取值范围是.

答案：

（分离变量行不通,,函数单调性）

变式2、已知函数f（x）＝对任意的x∈（0,2），都有f（x）＜成立，求k的取值范围.

答案：

对任意都成立，

所以，即对任意都成立，从而.

又不等式整理可得，令，

所以，得，

当时，，函数在上单调递增，

同理，函数在上单调递减，所以，

综上所述，实数的取值范围是.

（已知f（x）＜g（x）恒成立，首选参变分离）

变式3、已知函数f（x）＝，若对于t∈R，f（t）≤kt恒成立，则实数k的取值范围是_

答案：

（已知f（x）≤g（x）恒成立，构造两个函数的图象判断位置关系）

变式4、设过曲线f（x）＝－ex－x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝ax＋2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为___________

答案:

－1≤a≤2

解析:

由题意得：

使得，即函数的值域为函数的值域的子集，从而，即

（已知使得f（x1）＝g（x2），利用f（x）的值域为函数g（x）的值域的子集）

6．方程有解（或解的个数）问题

方法1分离变量看最值（优先）．

方法2变换角度看函数．

方法3构造两个函数的图象判断位置关系（限于解填空题）．

说明：

考虑数形结合．

导函数的零点和正负难判断

技巧1猜方程的根（如0，±1，±e等），再通过再求导证明根是否唯一（如证恒增或恒减）．

技巧2提取公因式，判断方程的根．

技巧3判断是否恒正（负）或判断是否存在根.方法有构造两个函数、不等关系、再求导等．

变式1、已知函数有两个零点.,则的取值范围是.

答案：

（导函数零点分类讨论）

变式2、设函数f（x）＝（x＋1）lnx，g（x）＝，是否存在自然数k，使得方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根？

如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由.

【答案】

【解析】设

当时，.

又

所以存在，使.

因为所以当时，，当时，，

所以当时，单调递增.

所以时，方程在内存在唯一的根.

（判断方程是否有根及根的个数）

三、例题分析

例1设函数f（x）＝x3－x2＋6x－a．

（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；

（2）若方程f（x）＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

答案：

（1）m的最大值为－．

（2）a＜2或a＞．

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．不等式恒成立问题的处理方法1：

分离常数法；方法2：

转化为二次不等式恒成立问题．

2．方程有解（解的个数）问题、图象交点问题、函数零点问题之间可以相互转化．

3．结合函数的单调性，研究函数的极大值、极小值，通过画出函数的简图解决问题．

例2已知函数f（x）＝（1＋）ex，其中a＞0．

（1）求函数f（x）的零点；

（2）讨论y＝f（x）在区间（－∞，0）上的单调性；

（3）在区间（－∞，－]上，f（x）是否存在最小值？

若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

答案：

（1）函数f（x）的零点为－a．

（2）区间（－∞，）是f（x）单调增区间；区间（，0）是f（x）单调减区间．

（3）在区间（－∞，－]上f（x）存在最小值f（－）．

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．函数零点的概念．

2．结合二次函数图象解一元二次不等式．求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集．

3．根据函数的零点和极值点，以及它们的大小关系画出函数f（x）的简图，关注到x＜－a时，f（x）＞0．

例3．已知函数f（x）＝x2－（2a＋1）x＋alnx．

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调增区间；

（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；

（3）设g（x）＝（1－a）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．

答案：

（1）函数f（x）的单调增区间为（0，）和（1，＋∞）．

（2）当a≤1时，[f（x）]min＝－2a；当1＜a＜e时，[f（x）]min＝a（lna－a－1）；

当a≥e时，[f（x）]min＝e2－（2a＋1）e＋a．

（3）实数a的取值范围为a∈（－∞，]．

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间．求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集．

2．求函数在闭区间上的最值，先求出函数的极值点，研究函数在这个闭区间上的简图，比较极值点和区间端点分别对应的函数值大小．

3．由于本题极值点是一个字母，要讨论这个极值点与所给闭区