深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案与评分标准.docx
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深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案与评分标准
20XX年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：
本大题每小题5分，满分50分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
D
A
B
B
C
C
A
D
二、填空题：
本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分），满分20分．
11．.12．.13．．14．．15．.
三、解答题：
本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，，（），且.
（1）求点的坐标；
（2）若角的顶点都为坐标原点且始边都与轴的非负半轴重合，终边分别经过点，求的值.
解：
（1）
………………….2分
解得，
所以，………………….6分
（2）由
（1）可知，
，……………………………….10分
……………………………….12分
【说明】本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力．
17．（本小题满分12分）
一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
学生
数学（分）
物理（分）
（1）要从名学生中选人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于分的概率；
（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程．
解：
（1）从名学生中任取名学生的所有情况为:
、、、、、、、、、共种情况.………3分
其中至少有一人物理成绩高于分的情况有：
、、、、、、共种情况，
故上述抽取的人中选人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于分的概率.…………………………………………5分
（2）散点图如右所示.……………………………………………6分
可求得：
==，
==，……………………………………………8分
==40，
=0.75，
，……………………………………………11分
故关于的线性回归方程是：
.……………………………………………12分
【说明】本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．
18．（本小题满分14分）
如图甲，的直径，圆上两点在直径的两侧，使，．沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点．根据图乙解答下列各题：
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：
；
（3）在上是否存在一点，使得平面？
若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
解:
（1）为圆周上一点，且为直径，
∵为中点，，
.
∵两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为，
∴平面，平面.
∴就是点到平面的距离，
在中，，
.………………………………………4分
（2）在中，
为正三角形，
又为的中点，，
∵两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为，
平面.
∴.………………………………………9分
（3）存在，为的中点.证明如下：
连接，
∴，
∵为⊙的直径，
∴
∴，
平面，平面，
∴平面.
在中，分别为的中点，
，
平面，平面，
∴平面平面，
又平面，平面.………………………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．
19．（本题满分14分）
设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且是
和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：
．
解：
（1）由已知，得………………………………………3分
解得．
设数列的公比为，则
，
∴．
由，可知，
∴，
解得．
由题意，得．…………………………………………………5分
∴．
故数列的通项为．…………………………………………………7分
（2）∵，…………11分
∴
.……………………………………………14分
【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力．
20．（本题满分14分）
已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，椭圆的长轴为，设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，点满足，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，．求证：
为锐角．
20．解：
（1）设椭圆C的方程为，由题意可得,
又，∴.…………………………………………2分
∵椭圆C经过，代入椭圆方程有，
解得.…………………………………………5分
∴，
故椭圆C的方程为.…………………………………………6分
（2）设，…………………………………………7分
∵，
∵，
∴，
∴直线的方程为．…………………………………………9分
令，得．
∵，，
∴．
∴，．
∴
∵，
∴
∴…………………………………………12分
∵，
∴．
又、、不在同一条直线，
∴为锐角.…………………………………………………14分
【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．
21．（本小题满分14分）
已知函数，是自然对数的底数．
（1）试判断函数在区间上的单调性；
（2）当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；
（3）若存在，使得，试求的取值范围．
解：
（1）…………………………1分
由于，故当时，，所以，…………2分
故函数在上单调递增.…………………………………………3分
（2），，
，……………………………………4分
当时，，，故是上的增函数；
同理，是上的减函数.…………………………………5分
，当，，
故当时，函数的零点在内，满足条件；
，当，，
故当时，函数的零点在内，满足条件.
综上所述或.………………………………………7分
（3），
因为存在，使得，所以当时，…………………………8分
，
①当时，由，可知，，∴；
②当时，由，可知，，∴；
③当时，.
∴在上递减，在上递增，…………………………………11分
∴当时，，
而，
设，因为（当时取等号），
∴在上单调递增，而，
∴当时，，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，即，
设，则
.
∴函数在上为增函数，
∴.
即的取值范围是……………………………………14分
【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.
命题：
李志敏、程武军、许世清审题：
魏显峰
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