1
L、
L、
r2sin£
er
c日
砂
Ar
rA0
rsinEAcp
—A=
两个重要性质：
①矢量场旋度的散度恒为零，
7、斯托克斯公式：
TT
's
qA”dAdS
C'S
第二章静电场和恒定电场
T
E、电
1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。
描述静电场的基本变量是电场强度
TT12
位移矢量D和电位W。
电场强度与电位的关系为：
E=—可申。
s走8.854x10d2F/m
2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。
其电场强度和电位的计算公式如下：
（1）点电荷分布
5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即
V^--（有源区域），可2④=0（无源区域）
£
6、介质分界面上的边界条件
（1）分界面上Dn的边界条件
D1n-D2^=Ps或n（D1-D2）=Ps
（Ps为分界面上的自由电荷面密度），当分界面上没有
自由电荷时，则有：
D1n=D2n即n心1=n^2，它给出了D的法向分量在
介质分界面两侧的关系：
（2）导体系统的总能量为：
We二丄送q/Pk。
2k
场中任意
（3）能量密度静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。
1TT123
一点的能量密度为:
e=—DE=—eE2J/m3
22
12
在任何情况下，总静电能可由We=—（EE2dT来计算。
8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。
描述恒定电场特性的基本变量为电场强度
E和电流密度J，且J=crE。
b为媒质的电导率。
（1）恒定电场的基本方程
电流连续性方程：
j积分形式：
=
微分形式：
7J=-空?
或7J+空=0
.&a
恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。
场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的
增减，即色=0和竺=0。
因此，电流连续性方程变为：
JdS=0和▽J=0，再加上
a戲」s
qgdr=0和VxE=0，这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。
（2）恒定电场的边界条件
（1）J1n=J2n或話=0,
（2）Et=孟或战（Et—孟）=0
TT
应用欧姆定律可得：
cr1E1^cr2E2n和丛。
C12
1
此外，恒定电场的焦耳损耗功率密度为P=CtE2，储能密度为©e=-EE2。
r-r
2、恒定磁场的基本方程
（1）真空中恒定磁场的基本方程为：
A、磁通连续性方程：
］积分形式：
如"S=0，B、真空中安培环路定理：
L微分形式：
可B=0
I积分形式：
寸『心『=卩01
微分形式：
7XB=P0J
（2）磁介质中恒定磁场的基本方程为：
A、磁通连续性方程仍然满足：
］积分形式：
［B'dS=0
1—9
I微分形式：
可B=0
B、磁介质中安培环路定理：
］积分形式：
ojHd〔=1
微分形式：
7
C、磁性媒质的本构方程：
3=卩0出H=其中M为磁化强度矢量）。
卩0
恒定磁场是一种漩涡场，因此一般不能用一个标量函数的梯度来描述。
3、磁介质的磁化
磁介质在磁场中被磁化，其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。
程度用磁化强度M表示。
磁介质的磁化
（1）磁介质中的束缚体电流密度为：
J^
=VXM；
jl=Mxd其中，n为表面的单位法向量矢量）矢量A为矢量磁位。
在库仑规范条件（7A=0）下，场与源的关系方程为：
72'?
=-4了（有源区）72A=0（无源区）对于分布型的矢量磁位计算公式：
（1）线电流：
^=上山『
4兀
5、恒定磁场的边界条件
（1）分界面上Bn的边界条件在两种磁介质的分界面上，取一个跨过分界面两侧的小扁状闭合柱面（高hTO为无穷小量），如右图所示，应用磁通连续性方程可得：
TTTTTT
匹dS=B厂ndS-B2dS=0
于是有：
n（B2-B1）=0或B1n=B2n
（2）分界面上Ht（切向分量）的边界条件：
战（h1_h2），如果分界面上无源表面电流
（即Js=0），则衣（h1
（2）磁介质表面上的束缚面电流密度为：
4、恒定磁场的矢量磁位为：
B=€咒A，
T
（2）面电流：
^dS
4兀S
-Ht）=0即或H
tan3_片
tan日2薦
用矢量磁位表示的边界条件为：
乙A2』（gA1）t_4（gA2）t
»1
磁力线折射定律
6、电感的计算
1
（1）外自感：
L=鱼=比羽也，
（2）互感:
0I4兀^0R
（3）内自感：
单位长度的圆截面导线的内自感为：
M12=M21
自感为L=比）。
8兀
7、磁场的能量和能量密度
（1）磁场的总能量
磁介质中，载流回路系统的总磁场能量为:
（3）磁场能量密度
A、任意磁介质中:
TT
:
国dhdl2
l的一段圆截面导线的内
叫ninj
4兀
L（长度为
871
WmMkjljik
2j土kzt
m=1H，此时磁场总能量可以由Wm
*1
=丄［B・HdT计算出;
2飞
在各向同性，线性磁介质中：
⑷m
=lHB=h^H，此时磁场总能量可以由
22
Wm
第五章
时变电磁场
1、
法拉第电磁感应定律
（1）感应电动势为:
de
s=
dt
（2）法拉第电磁感应定律
乳S
盘
TTcB微分形式：
▽xE=-
a
而且这种感应电场是一种旋涡场，即感应电场不再是保
积分形式：
qE'dl=虫-
它说明时变的磁场将激励电场，
T
守场，感应电场E在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通的负变化率。
2、麦克斯韦位移电流假说
按照麦克斯韦提出的位移电流假说，
密度，称为位移电流密度，即
T
Jd
电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流
T
三旦。
位移电流一样可以激励磁场，从而可以得出
dt
时变场中的安培环路定律
积分形式：
.dS
!
微分形式：
7:
+丝
Ia
3、麦克斯韦方程组
LTTTcD
（1）7xh=J+——
TcB
（2）积分形式I
｛
（2）7xe=-2
Ct
（3）VB=0
i（4）gD=p
（3）非限定形式的麦克斯韦方程组
在线性和各向同性的介质中，有媒质的本构关系：
D=gE=s02rE,B=AH=p0yrH,J1=crE，由此可得非限定形式的麦克斯韦方程组:
T
_TTcE
（1）7xh=J+s竺
«
（2）gE=-卩空
a
（3）74h=0
（4）可弋E=P
（4）麦克斯韦方程组的实质
A、第一方程：
时变电磁场中的安培环路定律。
物理意义：
磁场是由电流和时变的电场
激励的。
B、第二方程：
法拉第电磁感应定律。
物理意义：
说明了时变的磁场激励电场的这一事实。
C、第三方程：
时变电场的磁通连续性方程。
物理意义：
说明了磁场是一个旋涡场。
D、第四方程：
高斯定律。
物理意义：
时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的
思考题：
麦克斯韦方程中■为什么没有写进电流连续性方程?
"
答：
因为它可以由微分形式的方程组中①、④式两式导出。
把①式两边同时取散度得
7（*■）=▽（碎国7（齐西=0
d由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得d，再把④式代入上式,
即得京了+竺=0，这便是电流连续性方程。
4、分界面上的边界条件
（1）法向分量的边界条件
、TTTTTT
D的边界条件nx（Di-D2）=Ps，若分界面上Ps=0，贝ynx（Di-D2）=0
B、B的边界条件nx（Bi-B2）=0
（2）切向分量的边界条件
TTT
A、E的边界条件nx（E1-E2）=0
'彳—恳）=J!
，若分界面上=0，贝y战（『1-H2）=0
G■:
=处）表面的边界条件
TT
Ht=Js
T
TTTT
B、H的边界条件
（3）理想导体（
"TTT
（1）nXH=JsU
（2）nI（3）n”B=0二Bn=0
ITTPs亠
!
（4）n，EE
£0
〔Sc
T
则由上式中的①决定。
式中n是导体表面法线方向的单位矢量。
上述边界条件说明：
在理想导体与空气的分界面上，如果导体表面上分布有电荷，则在导体表面上有电场的法向分量，则由上式中的④式决定，导体表面上电场的切向分量总为零；导体表面上磁场的法向分量总为零，如果导体表面上分布有电流，则在导体表面上有磁场的切向分量，
5、波动方程
.-2■j^2E
无源区域内，E、
『的波动方程分别为：
■72H-^£-2=0、可2E—缶雪=0
此两式为三维空间中的矢量齐次波动方程。
由此可以看出：
时变电磁场在无源空间中是以波动的方式
在运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为Up—「产。
1
6、坡印廷定理和坡印廷矢量
ttt^I2122
数学表达式：
—[ExHtIS=：
£也右吒）d"年EdT
1212
由于％=■[—SEdT为体积T内的总电场储能，Wn=1—4Hdt为体积T内的总磁场乜2丫2
2
储能，P=为体积T内的总焦耳损耗功率。
于是上式可以改写成：
严TTC
—0[EXH=十Wn）中P，式中的s为限定体积T的闭合面。
SQ
物理意义：
对空间中任意闭合面S限定的体积T，S矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率，它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。
欧拉公式：
ejx=cosx+jsinX
1、正弦电磁场
（1）正弦电场、磁场强度的复数表示方法（以电场强度为例）
在直角坐标系中，正弦电磁场的电场分量可以写成：
E（x,y,z,t）=axExm（x,y,z）-cos^t+Wx（x,y,z）】+
ayEym（x,y,z）tos"+Wy（x,y,z）】+azEzm（x,y,z）cos^t+Wz（x,y,z）】运用欧拉公式将其表示
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