高三数学对称问题.docx

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高三数学对称问题

7.6对称问题

一、明确复习目标

1．掌握求已知曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法.

2．掌握判断曲线（或曲线间）对称的方法.

二．建构知识网络

1.点（x,y）关于点（a,b）的对称点的坐标为（2a-x,2b-y）

事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

2.点关于直线的对称点

即对称轴为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，方法：

设点（x0,y0）关于直线Ax+By+c=0的对称点（x’,y’），则

3.曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。

（1）曲线f（x,y）=0关于点A（a,b）的对称曲线的方程是f（2a-x,2b-y）=0

（2）曲线f（x,y）=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：

设所求曲线上任一点P（x,y）关于直线Ax+By+c=0对称点P0（x0,y0），在已知曲线f（x,y）=0上，由两点关于直线对称的解法，求得x0,y0，代入f（x0,y0）=0，即得对称曲线方程。

4、常用的对称关系

点（a,b）关于x轴的对称点（a,-b），关于y轴的对称点为（-a,b），关于原点的对称点（-a,-b）

关于直线y=x的对称点为（b,a），关于直线y=-x的对称点（-b,-a），关于直线y=x+m的对称点为（b-m,a+m）,关于直线y=-x+m的对称点（m-b,m-a）.

三、双基题目练练手

1.（2004全国II）已知圆C与圆（x－1）2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为（）

A.（x＋1）2＋y2＝1　　　B.x2＋y2＝1　　　

C.x2＋（y＋1）2＝1　　　D.x2＋（y－1）2＝1

2.方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线（）

A.关于x轴对称但不关于y轴对称B.关于y轴对称但不关于x轴对称

C.关于原点对称D.以上都不对

3.（2004全国II）函数y＝－ex的图象（）

A.与y＝ex的图象关于y轴对称　　　　B.与y＝ex的图象关于坐标原点对称

C.与y＝e－x的图象关于y轴对称　　　D.与y＝e－x的图象关于坐标原点对称

4．曲线x2＋4y2＝4关于点M（3，5）对称的曲线方程为____________.

5.光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程。

6.直线交x、y轴于A、B两点，试在直线上求一点P，使最小，则P点的坐标是_________

简答:

1-3.CCD；4.（x－6）2+4（y－10）2=4；

5.解：

A（-3，4）关于x轴的对称点（-3，-4）在经x轴反射的光线上；A1（-3，-4）关于y轴的对称点（3，-4）在经过射入y轴的反射的光线上，∴=

∴所求直线方程为，即

6.（0,0）

四、经典例题做一做

【例1】求直线a：

2x+y－4=0关于直线l：

3x+4y－1=0对称的直线b的方程.

分析：

由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：

（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；

（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：

一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.

解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上.

解：

由

2x+y－4=0，

3x+4y－1=0，

方法一：

设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－.

则=.

解得k=－.代入点斜式得直线b的方程为

y－（－2）=－（x－3），

即2x+11y+16=0.

方法二：

在直线a：

2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），

由

3×+4×－1=0，

=，

解得B（，－）.

由两点式得直线b的方程为

=，即2x+11y+16=0.

方法三：

设直线b上的动点P（x，y）关于l：

3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有

3×+4×－1=0，

=.

解得x0=，y0=.

Q（x0，y0）在直线a：

2x+y－4=0上，

则2×+－4=0，

化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.

方法四：

设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：

3x+4y－1=0对称，则有

=，

=.

消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.

◆提炼方法：

1.方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：

斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程;

2.方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数.

【例2】.已知ΔABC中点A（3,-1）,AB边上的中线为:

6x+10y-59=0,∠B的平分线为:

x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.

解:

设B（a,b）,在∠B的平分线上,则a-4b+10=0①

又AB的中点在CM上,有:

　　　②

解①,②得B（0,5）.设∠B平分线交AC于点T.

∵,

由

∴BC的方程为2x+9y-65=0.

法2:

（1）求B的坐标;

（2）求A关于∠B的平分线对称的点A′,写出A′的方程即为所求（BC）.

【例3】已知点M（3，5），在直线：

和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小。

解：

可求得点M关于的对称点为（5，1），

点M关于y轴的对称点为（-3，5），则

的周长就是，连，

则直线与y轴及直线的交点P、Q即为所求。

直线的方程为，直线

与y轴的交点坐标为，由方程组

得交点，∴点、即为所求。

◆特别提示：

注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。

【例4】已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1

解：

设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1－x，

∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，

∴tanθ==x.

又tanθ===x，

∴CP2==－1.

而tanθ====x，

∴DP3=x（3－）=3x－1.

又tanθ====x，

∴AP4==－3.

依题设1

∴4<<5，>>.

∴>tanθ>.

【研讨.欣赏】已知抛物线y=ax2－1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.

解法一：

设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程

ax2－x－（1+b）=0.①

判别式Δ=1+4a（1+b）＞0.②

由①得x0==，y0=x0+b=+b.

∵M∈l，∴0=x0+y0=++b，

即b=－，代入②解得a＞.

解法二：

设同解法一，由题意得

将①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得

由二元均值不等式易得

2（x12+x22）＞（x1+x2）2（x1≠x2）.

将⑤⑥代入上式得

2（－+）＞（）2，解得a＞.

解法三：

同解法二，由①－②，得

y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.

∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）==1.

∴x0==.∵M（x0，y0）∈l，

∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，从而PQ的中点M的坐标为（，－）.

∵M在抛物线内部，

∴a（）2－（－）－1＜0.

解得a＞.（舍去a＜0，为什么?

）

五．提炼总结以为师

1.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.

2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。

3.求对称曲线的常用思想方法：

代入转移法

4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等

同步练习7.6对称问题

【选择题】

1.已知直线l1:

x+my+5=0和直线l2:

x+ny+P=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是（）

A、B、p=-5C、m=-n且p=-5D、且p=-5

2.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为（）

A（a，b）B（b，a）C（－a，－b）D（－b，－a）

3.方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆（）

A、关于x轴对称B、关于y轴对称

C、关于直线x-y=0对称D、关于直线x+y=0对称

【填空题】

4.直线关于定点对称的直线方程是______

5.直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是____________.

6．如果直线ax─y+3=0与直线3x─y─b=0关于直线x─y+1=0对称，则a=,b=

答案提示：

1－3.CBD；4.；

5.解：

易知A（4，－1）、B（3，4）在直线l：

2x－y－4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.答案：

（5，6）

6.答案：

1/3,5说明：

掌握k=±1时，求对称点的方法

【解答题】

7.一条光线经过P（2,3）点，射在直线：

x+y+1=0上，反射后穿过点Q（1,1）

（1）求入射光线所在的直线方程

（2）求这条光线从P到Q的长度。

解：

（1）设Q（1,1）关于：

x+y+1=0的对称点，易证

入射光线所在直线方程，即5x-4y+2=0

（2）是的垂直平分线，因而即为所求

8.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：

y+1=0，l2：

x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.

解：

设点A（－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A′（x1，y1），则x1=－1，y1=2×（－1）－（－4）=2，即A′（－1，2）.

在直线BC上，再设点A（－1，－4）关于l2：

x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），则有

×（－1）=－1，

++1=0.

解得

x2=3，

y2=0，

即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程.

9.已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：

x+2y－2=0，在直线l上求一点P.

（1）使|PA|+|PB|最小；

（2）使|PA|－|PB|最大.

解：

（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.

则有

+2·－2=0，

·（－）=－1.

解得

x1=－，

y1=－.

由两点式求得直线A1B的方程为y=（x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，－）.

由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.

（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0.

直线AB与l的交点可求得为P（8，－3），它使|PA|－|PB|最大.

10若抛物线y=2x2上的两点A（