离散数学屈婉玲版第四章部分答案文档格式.docx
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4,1>
4,3>
;
②<
2,1>
3,4>
B、C:
③1,2,3,4;
④1,2,4;
⑤1,4⑥1,3,4。
D、E⑦1;
⑧3;
⑨6;
⑩7。
②
③
⑤
⑩
⑦
设R是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系,即
{<x,y>︳x,y∈Z+∧x+3y=12},
则
(1)R中有A个有序对。
(2)dom=B。
(3)R↑{2,3,4,6}=D。
(4){3}在R下的像是D。
(5)R。
R的集合表达式是E。
A:
①2;
②3;
③4.
B、C、D、E:
④{<3,3>};
⑤{<3,3>,<6,2>};
⑥{0,3,6,9,12};
⑦{3,6,9};
⑧{3};
⑨Ф;
⑩3。
A:
②。
分别是:
<3,3><6,2><9,1>
B:
⑦。
C:
⑤。
D:
⑧。
④。
设S={1,2,3},图4-13给出了S上的5个关系,则它们]只具有以下性质:
R1是A,R2是B,R3是C,R4是D,R5是E。
A,B,C,D,E:
①自反的,对称的,传递的;
②反自反的,反对称的;
③反自反的,反对称的,传递的;
④自反的;
⑤反对称的,传递的;
⑥什么性质也没有;
⑦对称的;
⑧反对称的;
⑨反自反的,对称的;
⑩自反的,对称的,反对称的,传递的
④
B:
⑧
⑨
D:
⑤
E:
⑩
4.5设Z+={x|x∈Z∧x>
0},∏1,∏2,∏3是Z﹢的3个划分。
∏1={{x}|x∈Z﹢},
∏2={S1,S2},S为素数集,S2=Z-S1,
∏3={Z+},
则
(1)3个划分中分块最多的是A,最少的是B.
(2)划分∏1对应的是Z+上的C,∏2对应的是Z+上的D,∏3对应的是Z+上的E
供选择的答案
A,B:
①∏1;
②∏2;
③∏3.
C,D,E:
④整除关系;
⑤全域关系;
⑥包含关系;
⑦小于等于关系;
⑧恒等关系;
⑨含有两个等价类的等价关系;
⑩以上关系都不是。
答案
A①
B③
C⑧
D⑨
E⑤
设S={1,2,…,10},≤是S上的整除关系,则<
S,≤>
的哈斯图是(A),其中最大元是(B),最小元是(C),最小上界是(D),最大下界是(E).
①一棵树;
②一条链;
③以上都不对.
④;
⑤1;
⑥10;
⑦6,7,8,9,10;
⑧6;
⑨0;
⑩不存在。
③(树中无环,所以答案不是①)
⑤
设
:
N→N,N为自然数集,且
则
(0)=
,
.
A、B、C、D、E:
①无意义;
②1;
③{1};
④0;
⑤{0};
⑥
∴⑦N;
⑧{1,3,5,…};
⑨{
,1};
⑩{2,4,6,…}.
解:
=0,∴A=④;
={0},∴B=⑤;
={1},∴C=③;
=N,∴E=⑦.
设R、Z、N分别表示实数、整数和自然数集,下面定义函数f1、f2、f3、f4。
试确定它们的性质。
f1:
R→R,f(x)=2x,
f2:
Z→N,f(x)=|x|.
f3:
N→N,f(x)=(x)mod3,x除以3的余数,
f4:
N→N×
N,f(n)=<
n,n+1>
。
则f1是A,f2是B,f3是C,f4是D,f4({5})=E。
A、B、C、D:
①、满射不单射;
②、单射不满射;
③、双射;
④、不单射也不满射;
⑤、以上性质都不对。
E:
⑥、6;
⑦、5;
⑧、<
5,6>
;
⑨、{<
};
⑩、以上答案都不对。
f1是②、单射不满射;
f2是①、满射不单射;
f3是④、不单射也不满射;
f4是②、单射不满射;
f4({5})=⑨、{<
}。
设f:
R→R,f(x)=x2,x≥3,
-2,x<
3;
g:
R→R,g(x)=x+2,
则f〇g(x)=A,g〇f(x)=B,g〇f:
R→R是C,f-1是D,g-1是E.
供选答案:
A\B:
(x+2)2,x≥3,②x2+2,x≥3,
(x+2)2,x≥1,x2+2,x≥3,
③④
1;
0,x<
⑤单射不满射;
⑥满射不单射;
⑦不单射也不满射;
⑧双射。
D、E:
⑨不是反函数;
⑩是反函数。
A=③B=④C=⑦D=⑨E=⑩
(1)设S={a,b,c},则集合T={a,b}的特征函数是(A),属于§
(S上S)的函数是(B)。
(2)在S上定义等价关系R=Is∪{<
a,b>
b,a>
},那么该等价关系对应的划分中有(C)个划分.作自然映射g:
S→S/R,那么g的表达式是(D).g(b)=(E).
A、B、D:
①{<
a,a>
b,b>
c,c>
②{<
a,b>
};
③{<
a,1>
b,1>
c,0>
④{<
a,{a}>
b,{b}>
c,{c}>
⑤{<
a,{a,b}>
b,{a,b}>
}.
⑥1;
⑦2;
⑧3.
⑨{a,b};
⑩{b}.
⑦
⑨
设S={1,2,……,6},下面各式定义的R都是在S上的关系,分别列出
R的元素。
R={<
x,y>
|x,y∈s∧x|y}.
解:
由题意可知R是整除关系,
所以答案如下:
R={<
1,3>
1,5>
1,6>
2,2>
2,4>
2,6>
3,3>
3,6>
<
4,4>
5,5>
6,6>
(2)R={<
x,y>
|x,y∈S∧x是y的倍数}.
解:
由题意可知:
3,1>
4,2>
5,1>
6,1>
6,2>
6,3>
}.
(3)R={<
x,y>
|x,y∈S∧(x-y)2=∈S}.
R={<
2,3>
3,2>
3,5>
4,5>
4,6>
5,3>
5,4>
6,4>
6,5>
(4)R={<
|x,y∈S∧x/y是素数}
由题意可知:
<
S={a,b,c,d},R1、R2为S上的关系,
R1={<
a,a>
,<
a,b>
b,d>
}
R2={<
a,d>
b,c>
c,b>
}
求R1。
R2、R2。
R1、R12和R23.
解:
设R1的关系矩阵为M1,R2的关系矩阵为M2,
则
此题答案正确,只是写法不对,应改为:
4.14R的关系图如图4-14所示,试给出r(R)、s(R)、t(R)的关系图。
ABCDE图4-14
r(R):
abcde
s(R):
t(R):
abcde
画出下列集合关于整除关系的哈斯图。
(1){1,2,3,4,6,8,12,24}。
(2){1,2,……,9}
并指出它的极小元、最小元、极大元、最大元。
(1)
24
8
12
4
6
2
3
1
极小元、最小元:
1
极大元、最大元:
24
(2)
2
59
73
1
极小元、最小元:
极大元:
5,6,7,8,9
最大元:
无
设f,g,h∈N,且有
0n为偶数
f(n)=n+1,g(n)=2n,h(n)=
1n为奇数
求fof,gof,fog,hog,goh,和fogoh。
解
由题意可知所求的复合函数都是从N到N的函数,且满足
fof(n)=f(f(n))=f(n+1)=(n+1)+1=n+2
gof(n)=g(f(n))=g(n+1)=2(n+1)=2n+2
fog(n)=f(g(n))=f(2n)=2n+1
hog(n)=h(g(n))=h(2n)=0
goh(n)=g(h(n))=
0n为偶数
2n为奇数
1n为偶数
fogoh=f(g(h(n)))=
3n为奇数
设f:
R×
R→R×
R,f(<
x,y>
)=<
x+y,x-y>
求f的反函数。
设:
而
所以
解得
所以
设f,gNN,,N为自然数集,且
x+1,x=0,1,2,3x/2,x为偶数,
f(x)=0,x=4,g(x)=
x,x5,3,x为奇数.
求gf并讨论它的性质(是否为单射或满射)。
设A={0,1,2},求gf(A)。
(x+1)/2,x=1,3,
gf(x)=0,x=4,
x/2,x为偶数且x6,
3,x=0,2及大于等于5的奇数。
gf不是单射,因为gf(6)=gf(5)=3.
gf是满射,因为gf能取到自然数集的任何数。
(2)gf(0)=g
(1)=3.
gf
(1)=g
(2)=1.
gf
(2)=g(3)=3.
所以gf(A)={3,1}
设A={0,1,2},B={0,1},
求P(A)和BA
构造一个从P(A)到BA的双射函数。
(1)P(A)={,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}
BA={f1,f2,……f8}
其中f1={<
0,0>
1,0>
2,0>
f2={<
f3={<
f4={<
f5={<
>
f6={<
0,1>
f7={<
f8={<
(2)设该双射函数为F
F={<
f1>
{0},f2>
{1},f3>
{2},f4>
{0,1},f5>
{0,2},f6>
{1,2},f7>
{0,1,2},f8>
做的不错,只是题目抄错了。
正确答案是
设A={a,b},B={0,1},
(1)P(A)={,{a},{b},{a,b}}
BA={f1,f2,……f4}
a,0>
b,0>
(2)设该双射函数为F
{a},f2>
{b},f3>
{a,b},f4>
N/R1={{x}|xN},N/R2={{所有的奇数},{所有的偶数}},N/R3={[0],[1],[2]}
([0]={x|x=3kkN},[1]={x|x=3k+1kN},[2]={x|x=3k+2kN},)
对下列函数f、g及集合A、B,计算fg、fg(A)和fg(B),并说明fg是否为单射或满射
(1)f:
R→R,f(x)=
-
N→N,g(x)=
A={2,4,6,8,10},B={0,1}.
(2)f:
Z→R,f(x)=
Z→Z,g(x)=
A=N,B={2K|k∈N}.
(1)
fg(x)=f(g(x))=f(
)=
=
-xdom(fg)=N
由于f(g(0))=0,f(g
(1))=0,所以fg不是单射.
显然对实数,不存在自然数x,使得f(g(x))=,所以fg也不是满射。
fg(A)={2,12,30,56,90}
fg(B)={0}
(2)
fg(x)=f(g(x))=
dom(fg)=Z
由于f(g(-1))=0,f(g
(1))=e,所以fg不是单射.
显然对实数
不存在自然数x,使得f(g(x))=
所以fg也不是满射。
fg(A)={
|
fg(B)={