73单元刚度矩阵的建立docx.docx
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7・3单元刚度矩阵的建立
从前面介绍可以看出，有限元法的核心是建立单元刚度矩阵，有了单元刚度矩阵，加以适当组合，可以得到平衡方程组，这以后剩下的就是一些代数运算了.
我们首先介绍虚位移原理及其在单元分析中的应用•在各种能量原理中，虚位移原理应用最为方便，因而
得到广泛应用•
7.3.1虚位移原理
所谓虚位移可以是任何无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件，例如对于悬臂梁來说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于冬.
图7-25
今考虑如图7・25所示的物体，它受到外力耳尽•…等的作用•记例二〔尽耳•為…质在这
些外力作用下，物体的应力为
现假设物体发生了虚位移，在外力作用处与各个外力相应方向的虚位移为记
由虚位移所产生的虚应变为
在产生虚位移时，外力已作用于物体，而且在虚位移过程中，外力保持不变，因此，外力在虚位移上所做的虚功是
徃物体的单位体积内，应力徃虚应变上的虚应变能是
幻耐十巧峪十哥籽;十务殆十殆疽二（Ay（0}
整个物体的虚应变能是
虚位移原理表明，如果在虚位移发生2询，物体处于平衡状态•那末在虚位移发生时，外力所做虚功等于物体的虚应变能，即
7.3.2单元位移
在图7-26中表示了求解平面应力的三角形单元，求解空间应力的四而体单元•用©［表示结点丁的
位移，例如，对于平而应力问题
«>
对于空间应力问题
何2片j
其屮吟耳“分别是结点？
沿凡“方向的位移分量•用WT表示单元亍全部结点位移所构成的向量：
的二阿心…f
单元内任■点（5专的位移可表示如下：
何二〔阴（矿珂如巧，域.T勺
式中汕等为形函数，具有如下特性:
在结点了：
1）="（单位阵）
在其他结点:
域g乃円厂碣山』■•%＞二・••二0（矩阵）
蜀为坐标的函数，其具体形式将在以后各章中给出.
图7-26
7.3.3单元应变与应力
当单元内任一点的位移已知时，通过适当的微分运算可求出单元内任一点的应变，一般可表示如下:
例如对于平而应力问题
»1*1
9k
根据广义胡克定理，单元应力可表达示如下：
其中ID]为弹f生矩阵，将应变表达式代入上式得
M=[O]{J>（0=[鋼（矿
式中御是应力矩阵.
7.3.4结点力与单元刚度矩阵
为了能用结构力学方法求解连续介质的应力，以作用于单元结点上的等效集中力代替分布于单元边界上的应力，并称为结点力。
用（晞}表示？
点的结点力•结点力的个数和方向必须与结点位移倚）保持一致，对于平而应力问题
对于空间应力问题
U\
W}=>
其中S几略分别是沿W方向作用于点丁的结点力•用（刀•表示单元丘全部结点力所组成的向量
今用虚功原理推导结点力的衣达式。
假设在单元左中发出了虚位移&},相应的结点虚位移为“，则有单元内发生的虚应变为
结点力所做的虚功等于每个结点力分量与相应的结点位移分量的乘积Z和：
莎二越；卑可峪4■辭十…
用矩阵表示，即为
®r=a«T）r（n*
在整个单元内，应力在虚应变（窿’上的虚应变能是
sJJJGS加g
把&）=（A1（<5尸代入上式，得到
»=JJJeKoJtta血r
根据虚功原理血二少故
（（jy）rw=3rrJJJ时ggtfr
上式对于任何虚位移都必须成立•由于虚位移可以是任意的，所以矩阵（氐5}・八也是任意的•上式两边与它相乘的矩阵应当相等，于是得到
{时二jjj〔歼阳”
将应力表达式代入得
er=jjj〔即
｛好二JJJ〔研〔刃叱X
于是
（FT=[QW
上式建立了结点力与结点位移之间的尖系•矩阵ixr称为单元刚度矩阵，它的元索农示当该单元匸发生一定的结点位移时，所对应的结点力•单元刚度矩阵【“I•决定于该单元的形状、大小、方向和弹性常数，而与单元的位置无矢，即不随单元或坐标轴的平移而改变.
7.3.5结点载荷
为了能用结构力学方法求解连续介质的应力，所冇分布载荷都必须代换以等效的结点载荷•今用（仍衣示结点了的等效结点载荷•例如，对丁■平而应力问题
对于空间应力问题
W）=>lt
mJ
其中&几石分别是沿观M方向作用于T点的集中载荷.
用（厅表示单元亍全部结点载荷所组成的向量
（鬥。
〔弘切&…丫
F面用虚位移原理推导各种结点载荷算式・
1•分布体积力
设单位体积内承受的体积力为
当单元中发生虚位移。
〔时，体积力⑷所做的功为
"yr
这应当等于等效结点载荷所做的功，即
由上式可得体积力的等效结点载荷如卜•：
上式右边的重积分应当在单元乡的整个体积内进行.
2•分布面力
设单元左是猱近边界的单元，在其边界s上作用着分布的血力3
卜I
w=A4
Al
单元发生虚位移&）二〔闊個y时，面力s所做的功为
=@厅麻［讨@比
它必须等丁■等效结点荷载所做的功，由此得到
上式右边的面积分是在分布荷载所作用的表面S上进行的.
上述各公式在本书以后各章经常要川到，在实际工作中也是常川的，为便丁查阅，汇总如下:
w=
（3-3）
（3-2）
何二［DIM赳=/引〃
（3-4）
（3-5）
（3-6）
（3-7）
（3-8）
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