新课标全国卷高考理科数学试题及答案.doc

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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　）

A.（-3，1）  B.（-1，3）  C.（1，+∞） D.（-∞，-3）

2.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（　　）

A.{1}               B.{1，2}

C.{0，1，2，3}          D.{-1，0，1，2，3}

3.已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m=（　　）

A.-8     B.-6     C.6      D.8

4.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（　　）

A.-      B.-      C.      D.2

5.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）

A.24     B.18     C.12     D.9

6.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A.20π    B.24π    C.28π    D.32π

7.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（　　）

A.x=-（k∈Z） B.x=+（k∈Z） C.x=-（k∈Z） D.x=+（k∈Z）

8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（　　）

A.7      B.12     C.17     D.34

9.若cos（-α）=，则sin2α=（　　）

A. B. C.- D.-

10.从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（　　）

A. B. C. D.

11.已知F1，F2是双曲线E：

-=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）

A.      B.      C.      D.2

12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）=（　　）

A.0      B.m     C.2m     D.4m

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=______．

14.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题是______（填序号）

15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：

“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：

“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______．

16.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=______．

三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）

17.Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．

（Ⅰ）求b1，b11，b101；

（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．

18.某保险的基本保费为a（单位：

元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数

0

1

2

3

4

≥5

保费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数

0

1

2

3

4

≥5

概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点M，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．

（Ⅰ）证明：

D′H⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角B-D′A-C的正弦值．

20.已知椭圆E：

+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

21.（Ⅰ）讨论函数f（x）=ex的单调性，并证明当x＞0时，（x-2）ex+x+2＞0；

（Ⅱ）证明：

当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

22.如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

（Ⅰ）证明：

B，C，G，F四点共圆；

（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

23.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．

24.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：

当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）

答案和解析

【答案】

1.A    2.C    3.D    4.A    5.B    6.C    7.B    8.C    9.D    10.C    11.A    12.B    

13.

14.②③④

15.1和3

16.1-ln2

17.解：

（Ⅰ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．

可得a4=4，则公差d=1．

an=n，

bn=[lgn]，则b1=[lg1]=0，

b11=[lg11]=1，

b101=[lg101]=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．

b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．

数列{bn}的前1000项和为：

9×0+90×1+900×2+3=1893．

18.解：

（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：

元），

上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，

∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：

一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：

p1=1-0.30-0.15=0.55．

（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，

由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，

由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，

则其保费比基本保费高出60%的概率：

p2=P（B|A）===．

（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：

=1.23，

∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．

19.（Ⅰ）证明：

∵ABCD是菱形，

∴AD=DC，又AE=CF=，

∴，则EF∥AC，

又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，

∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，

∵AC=6，

∴AO=3，

又AB=5，AO⊥OB，

∴OB=4，

∴OH=，则DH=D′H=3，

∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，

又OH∩EF=H，

∴D′H⊥平面ABCD；

（Ⅱ）解：

以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

∵AB=5，AC=6，

∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，-3，0），，，

设平面ABD′的一个法向量为，

由，得，取x=3，得y=-4，z=5．

∴．

同理可求得平面AD′C的一个法向量，

设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，

则|cosθ|=．

∴二面角B-D′A-C的正弦值为sinθ=．

20.解：

（Ⅰ）t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（-2，0），

直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，

解得x=-2或x=-，则|AM|=•|2-|=•，

由AN⊥AM，可得|AN|=•=•，

由|AM|=|AN|，k＞0，可得•=•，

整理可得（k-1）（4k2-k+4）=0，由4k2-k+4=0无实根，可得k=1，

即有△AMN的面积为|AM|2=（•）2=；

（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，

可得（3+tk2）x2+2tk2x+t2k2-3t=0，

解得x=-或x=-，

即有|AM|=•|-|=•，

|AN|═•=•，

由2|AM|=|AN|，可得2•=•，

整理得t=，

由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，

可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．

21.解：

（1）证明：

f（x）=

f'（x）=ex（）=

∵当x∈（-∞，-2）∪（-2，+∞）时，f'（x）＞0

∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增

∴x＞0时，＞f（0）=-1

即（x-2）ex+x+2＞0

（2）g'（x）== 

a∈[0，1]

由

（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（-1，+∞），只有一解使得，t∈[0，2]

当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；

当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；

h（a）===

记k（t）=，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，

故k（t）单调递增，

所以h（a）=k（t）∈（，]．

22.（Ⅰ）证明：

∵DF⊥CE，

∴Rt△DFC∽Rt△EDC，

∴=，

∵DE=DG，CD=BC，

∴=，

又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，

∴△GDF∽△BCF，

∴∠CFB=∠DFG，

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，

∴∠GFB+∠GCB=180°，

∴B，C，G，F四点共圆．

（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，

∴在