港澳台联考数学真题含答案.doc

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绝密★启用前

2011年中华人民共和国普通高等学校

联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试

数学

一、选择题：

本大题共12小题；每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知，那么角是（）

（A）第一或第二象限角 （B）第三或第四象限角

（C）第一或第三象限角 （D）第二或第四象限角

（2）设是棱长为1的正方体，则四面体的体积是（）

（A） （B） （C） （D）

（3）在△中，角的分别为，若，则＝（）

（A） （B） （C）或 （D）或

（4）若复数的虚部不为零，且，则（）

（A） （B） （C） （D）≥

（5）若，，，则（）

（A） （B） （C） （D）

（6）在四面体中，，其余各棱长均为1，则二面角的余弦值为（）

（A） （B） （C） （D）

（7）设数列的前项和，则（）

（A） （B） （C）（D）

（8）圆的直角坐标方程为，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）

（A） （B）

（C） （D）

（9）函数的反函数为（）

（A） （B）

（C） （D）

（10）设,为双曲线的两个焦点，为上一点，若△是等腰直角三角形，则的离心率为（）

（A） （B）（C） （D）

（11）若函数　在处可导，则（）

（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

（12）点是△内三点，满足设则（）

（A） （B） （C） （D）

二、填空题：

本大题共6小题；每小题5分.

（13）若关于的方程有重根，则____________________．

（14）已知两条直线，两个平面，给出四个命题：

　　　①若∥,，则 ②若∥,，则∥

　　　③若∥,，则 ④若,∥，则

　　　其中正确命题的序号是____________________．

（15）设等比数列的各项都为正数，前项和为．若，则其公比为____________________．

（16）在空间直角坐标系中，经过点且与直线垂直的平面方程为____________________．

（17）若多项式满足，则被除所得的余式为_______________．

（18）设有4张不同的卡片，若有放回地抽取4次，每次随机抽取一张，则恰好有两张卡片未被抽到的概率为____________________．

三、解答题：

本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（19）设函数．

（Ⅰ）把写成分段函数，并求的最小值；

（Ⅱ）解不等式．

（20）设△为锐角三角形．证明

（Ⅰ）；（Ⅱ）≤

（21）设抛物线与直线交于两点，为抛物线在这两点的切线的交点．

（Ⅰ）当时，求点的坐标；

（Ⅱ）当变化时，求点的轨迹．

（22）数列的前项和为，满足．

（1）写出｛an｝的前三项

（2）设bn=Sn+n+1，证明｛bn｝是等比数列

（3）求｛an｝的通项公式

2011年港澳台联考数学真题答案

一、选择题：

1—5：

DBACD6—10：

ADCDC11—12：

AB

二、填空题：

13．14．①③15．16．17．18．

三、解答题

19．解：

（Ⅰ）当时，；

当时，；

当时，；

所以，故的最小值为．

（Ⅱ）当时，，这与矛盾；

当时，，此时解为；

当时，，此时解为．

综上所述，的解为．

20．解：

（Ⅰ），

，

因为，都是锐角，所以，均大于0，所以，

所以．

（Ⅱ）因为，所以．

为证明，不妨设，

由于，所以，

注意到，，

因此，．

21．解：

设与抛物线的两交点坐标分别为，，且．

（Ⅰ）当时，直线：

代入抛物线方程，得，则，，

过A，B的抛物线的两条切线方程为：

，，联立解得，所以．

（Ⅱ）将与C的方程联立，解得，，将中两切线联立，解得，所以点P的轨迹方程为：

．

22．解：

（Ⅰ）由，，可得，．

（Ⅱ）由得，即，即，所以是（Ⅲ）由（Ⅱ）得，．

当时，，当时，不适合上式．

所以．

第3题解析：

方法1：

估值法，，，可以估计C正确

方法2：

三次方程若只有一个实数解，则必有两个共轭复根，设三个根依次为z1，z2，z3，不妨设z3为实数，则由韦达定理，，则，

构造函数，易知在R上单调递增，由，可知在存在零点，且零点唯一，故，

，所以