小学奥数几何五大模型相似模型.docx

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小学奥数几何五大模型相似模型

模型四相似三角形模型

（一）金字塔模型

（二）沙漏模型

①；

②。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：

三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。

【例1】如图，已知在平行四边形中，，，，那么的长度是多少？

【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于，所以，所以．

【例2】如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为厘米，被分为等份。

如果小玻璃管口正好对着量具上等份处（平行），那么小玻璃管口径是多大？

【解析】有一个金字塔模型，所以，，所以厘米。

【例3】如图，平行，若，那么________。

【解析】根据金字塔模型，，

设份，则份，份，所以。

【例4】如图，中，，，互相平行，，

则。

【解析】设份，根据面积比等于相似比的平方，

所以，，因此份，份，

进而有份，份，所以

【巩固】如图，平行，且，，，求的长。

【解析】由金字塔模型得，所以

【巩固】如图，中，，，，，互相平行，，

则。

【解析】设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．

所以有

【总结】继续拓展，我们得到一个规律：

平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。

【例5】已知中，平行，若，且比大，求。

【解析】根据金字塔模型，，设份，则份，份，比大份，恰好是，所以

【例6】如图：

平行，，，求的长度

【解析】在沙漏模型中，因为，所以，在金字塔模型中有：

，因为，，所以

【巩固】如图，已知平行，，那么________。

【解析】由沙漏模型得，再由金字塔模型得．

【例7】如图，中，，，与平行，的面积是1平方厘米。

那么的面积是平方厘米。

【解析】因为，，与平行，

根据相似模型可知，，平方厘米，

则平方厘米，

又因为，所以（平方厘米）．

【例8】在图中的正方形中，，，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？

【解析】连接，易知∥，根据相似三角形性质，可知，且，所以的面积等于的面积；由可得，所以，即的面积是面积的3倍。

【例9】如图，线段与垂直，已知，，那么图中阴影部分面积是多少？

【解析】解法一：

这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．

作辅助线，则图形关于对称，有，，且．

设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面积为8份．

因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为．

解法二：

连接、．由于，，所以∥，根据相似三角形性质，可知，

根据梯形蝴蝶定理，，

所以，即；

又，所以．

【例10】（年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，则四边形的面积________．

【解析】因为为平行四边形，所以，所以为平行四边形．

，那么，所以．

又，所以，根据沙漏模型，

，所以．

【例11】已知三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影部分的面积．

【解析】已知，且∥，利用相似三角形性质可知，所以，且．

又因为是的中点，所以是三角形的中位线，那么，，所以，可得，所以，那么．

【例12】已知正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，，求正方形的边长．

【解析】方法一：

本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有，，设正方形的边长为，所以有，即，解得，所以正方形的边长为．

方法二：

或根据一个金字塔列方程即，解得

【例13】如图，三角形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？

【解析】观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有，，设正方形的边长为毫米，，即，解得，即正方形的边长为毫米．

【巩固】如图，在中，有长方形，、在上，、分别在、上，是边的高，交于，，厘米，厘米，求长方形的长和宽．

【解析】观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以，，所以有，设，则，所以有，解得，，因此长方形的长和宽分别是厘米，厘米．

【例14】图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？

【解析】根据题中条件，可以直接判断出与平行，从而三角形与三角形相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．

做垂直于，交于．

因为∥，所以三角形与三角形相似，且相似比为，

所以，又因为，所以，

所以三角形的面积为．

【例15】如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？

【解析】根据相似三角形的对应边成比例有：

；，

则，，

【例16】（2008年101中学考题）图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是．

【解析】设大、小正方形的边长分别为厘米、厘米（），则，所以．若，则，不合题意，所以只能为6或7．检验可知只有、满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，，而，得（厘米），所以阴影部分的面积为：

（平方厘米）．

【例17】如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？

【解析】连接,面积为的三角形占了矩形面积的，所以,所以,所以,由三角形相似可得阴影部分面积为．

【例18】已知长方形的面积为厘米，是的中点，、是边上的三等分点，求阴影的面积是多少厘米？

【解析】因为是的中点，、是边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成份的话，那么份、份，大家能在图形中找到沙漏和：

有，所以，相当于把分成（）份，同理也可以在图中在次找到沙漏：

和也是沙漏，，由此可以推出：

相当于把分成（）份，那么我们就可以把分成份（和的最小公倍数）其中占份，占份，占份，连接则可知的面积为，在为底的三角形中占份，则面积为：

（平方厘米）.

【例19】是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米．

【解析】方法一：

注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．

设、分别为、的中点，连接、、．

可得，

对角线被、、平均分成四段，又∥，所以，，

所以（平方厘米），（平方厘米）．

同理可得平方厘米，平方厘米．

所以（平方厘米），

于是，阴影部分的面积为（平方厘米）．

方法二：

寻找图中的沙漏，，，因此为的三等分点，（平方厘米），（平方厘米），同理（平方厘米），所以（平方厘米）．

【例20】如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，是的中点，则三角形的面积是平方厘米．

【解析】本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．

取的中点，连接，设交于．

则三角形被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边，可知三角形的面积等于（平方厘米），所以（厘米），那么（厘米）．

因为是三角形的中位线，所以（厘米），所以三角形的面积为（平方厘米）．

【例21】如图，长方形中，为的中点，与、分别交于、，垂直于，交于，已知，，求．

【解析】由于∥，利用相似三角形性质可以得到，

又因为为中点，那么有，

所以，利用相似三角形性质可以得到，

而，所以．

【例22】右图中正方形的面积为1，、分别为、的中点，．求阴影部分的面积．

【解析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．

阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作垂直于，垂直于．

根据相似三角形性质，，又因为，所以，即，所以．

【例23】梯形的面积为12，，为的中点，的延长线与交于，四边形的面积是．

【解析】延长、相交于．

由于为的中点，根据相似三角形性质，，，再根据相似三角形性质，，，而，

所以，．

又，，所以．

【例24】如图，三角形的面积为60平方厘米，、、分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为与的面积之差，又可以转化为与的面积之差．

（法1）如图，连接．

由于、、分别为各边的中点，那么为平行四边形，且面积为三角形面积的一半，即30平方厘米；那么的面积为平行四边形面积的一半，为15平方厘米．

根据几何五大模型中的相似模型，由于为三角形的中位线，长度为的一半，则，所以；

，所以．

那么的面积占面积的，所以阴影部分面积为（平方厘米）．

（法2）如图，连接．

根据燕尾定理，，，

所以平方厘米，

而平方厘米，所以平方厘米，

那么阴影部分面积为（平方厘米）．

【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：

⑴利用面积公式：

底高；

⑵利用整体减去部分；

⑶利用比例和模型．

【例25】如图,是直角梯形，，那么梯形的面积是多少?

【解析】延长交于点，分别计算的面积，再求和．

∴；

又∵

∴,

∴

【例26】边长为厘米和厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？

【解析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为，小正方形为，分别交于两点，

，

∴，，

∵

∴

【例27】如右图，长方形中，，，求的长．

【解析】因为∥，根据相似三角形性质知，

又因为∥，，

所以，即，所以．

【例28】（第届迎春杯试题）如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求

【解析】方法一：

连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以．

方法二：

连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以．

【例29】如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点，交于，求的面积．

【解析】解法一：

由题意可得，、是、的中点，得，而，

所以，

并得、是的三等分点，所以，所以

，

所以，；

又因为，所以．

解法二：

延长交于，如右图，

可得，，

从而可以确定的点的位置，

，

，（鸟头定理），

可得

【例30】（清华附中入学试题）正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是平方厘米．

【解析】欲求四边形的面积须求出和的面积．

由题意可得到：

，所以可得：

将、延长交于点，可得：

，

而，得，

而，所以

．

本题也可以用蝴蝶定理来做，连接，确定的位置（也就是），同样也能解出．

【例31】如图，已知,点分别在上，且，则是多少？

【解析】的面积已知，若知道的面积占的几分之几就可以计算出的面积．连接．

∵

∴

∴与平行，

∴

∴

∵，

∴

∴

【例32】如图，长方形中，、分别为、边上的