人教版八年级上册数学专题+全等三角形中辅助线的添加.docx

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人教版八年级上册数学专题+全等三角形中辅助线的添加

全等三角形中辅助线的添加

一.教学内容：

全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。

二．知识要点：

1、添加辅助线的方法和语言表述

（1）作线段：

连接……；

（2）作平行线：

过点……作……∥……；

（3）作垂线（作高）：

过点……作……⊥……，垂足为……；

（4）作中线：

取……中点……，连接……；

（5）延长并截取线段：

延长……使……等于……；

（6）截取等长线段：

在……上截取……，使……等于……；

（7）作角平分线：

作……平分……；作角……等于已知角……；

（8）作一个角等于已知角：

作角……等于……。

2、全等三角形中的基本图形的构造与运用

常用的辅助线的添加方法：

（1）倍长中线（或类中线）法：

若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

（2）截长补短法：

若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

①截长：

在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：

将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：

两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。

（4）角平分线、中垂线法：

以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。

（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：

用旋转构造三角形全等。

（6）构造特殊三角形：

主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形（用平移、对称和弦图也可以构造）和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。

三、基本模型：

（1）△ABC中AD是BC边中线

方式1：

延长AD到E，使DE=AD，方式2：

间接倍长，作CF⊥AD于F，方式3：

延长MD到N，

连接BE作BE⊥AD的延长线于E，连接BE使DN=MD，连接CD

（2）

由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出

BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD

（3）角分线，分两边，对称全等要记全

角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）

（4）

①旋转：

方法：

延长其中一个补角的线段

（延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF）

结论：

①MN=BM+DN

②

③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM

②翻折：

思路:

分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折，

但一定要证明M、P、N三点共线.（∠B+∠D=且AB=AD）

（5）手拉手模型

①△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：

（1）△ABF≌△AEC；

（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA平分∠EOF

拓展：

条件：

△ABC和△CDE均为等边三角形

结论：

（1）、AD=BE

（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三角形

（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC

（8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三角形证明）

②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形

结论：

（1）、BE=CD

（2）BE⊥CD③ABEF和ACHD均为正方形

结论：

（1）、BD⊥CF

（2）、BD=CF

变形一：

ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，

求证：

①T为FD的中点.②

方法一：

方法二：

方法三：

变形二：

ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：

AN⊥BC

④当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：

∠1=∠2=

四、典型例题：

考点一：

倍长中线（或类中线）法：

核心母题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

练习：

1、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

3、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：

CD=2CE。

4、已知：

如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：

AF=BC+FC．

5、如图，D是AB的中点，∠ACB=90°,求证：

2CD=AB.

6、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：

BD=CE。

7、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：

AF=EF。

8、已知：

如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.

求证：

AE平分。

9、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：

AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（0<<90）后，如图②所示，

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由．

10、已知：

△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．

（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；

（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断

（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

变式1：

已知：

在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；

（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么

（1）中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

变式:

2：

已知：

△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.

（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为；

（2）如图②，点D不在AB上，

（1）中的结论还成立吗？

如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.

变式3：

四边形是正方形，是等腰直角三角形，，，连接，为

的中点，连接，，。

（1）如图24-1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；

（2）将图24-1中的绕点顺时针旋转至图24-2所示位置，请问

（1）中所得的结论是否仍然成立？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）将图24-1中的绕点顺时针旋转（），若，，当，，三

点共线时，求的长及∠ABF的度数。

考点二：

截长补短法：

核心母题如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：

AB=AD+BC．

练习：

1、①如图，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?

请证明你的结论；

（2）将图中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，

（1）中的结论还成立吗?

作出判断并说明理由；

②、已知：

如图，是等边三角形，，求证：

.

③、已知四边形中，，°，为四边形的对角线上一点，且，求证：

2、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：

AB+BP=BQ+AQ。

3、如图，在中，，AD，CE分别为的平分线，求证：

AC=AE+CD

4、如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°

求证：

BD+DC=AB

5、已知：

如图在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－∠BDC，求证：

AB=BD＋DC。

考点三：

一线三等角问题（“K”字图）

核心母题已知：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一点，∠ADE=45°，AD=DE，求证：

BD=EC.

练习：

1、已知：

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：

AE平分∠BAD．

2、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

3、如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E。

（1）当直线绕点C旋转到图

（1）的位置时，求证：

DE=AD+BE；

（2）当直线绕点C旋转到图

（2）的位置时，求证：

DE=AD—BE；

（3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：

DE，AD，BE有怎样的等量关系？

请写出等量关系，并加以证明。

4、如图所示，AE⊥AB，BC⊥CD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？

6、小雨遇到这样一个问题：

如图1，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积．

小雨是这样思考的：

要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：

在直线l1任取一点A，作AD⊥l2于点D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，过点E作EB⊥AE交l3于点B，连接AB，作∠BAC=90°，交直线l2于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．

请你回答：

图2中等腰直角三角形ABC的面积等于．

参考小雨同学的方法，解决下列问题：

如图3，直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）．

7、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P（5,5）处，两条直角边与坐标轴分别交于点A和点B.

（1）当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究OA+0B的值或取值范围；

（2）点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上时，试探究OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。

9、已知：

在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．

（1）如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由．

（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a