一类带接种疫苗的SEIR传染病模型的定性分析.docx
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一类带接种疫苗的SEIR传染病模型的定性分析
一类带接种疫苗的SEIR传染病模型的定性分析
摘要
众所周知，传染病严重影响人类的健康，并在一定程度上会阻碍社会经济的发展。
因此，寻求疾病的最优预防与控制策略是当今社会重要的研究课题。
而传染病动力学则是对传染病进行定量研究的一门重要学科。
早在1927年，Kermack与McKendrick利用动力学的方法建立了SIR仓室模型。
当考虑易感者（S）在感染病菌后不会立即发病，例如：
HIV病毒，这样即可建立SEIR模型。
本文主要研究了一类带有接种疫苗的SEIR传染病模型的定性分析。
首先，通过研究模型本身的等价系统，给出了基本再生数的显式表达式；其次，应用常微分方程的平衡点局部稳定性及全局稳定性的判断依据，讨论了无病平衡点以及地方病平衡点的存在性和稳定性。
关键词：
SEIR传染病模型，基本再生数.无病平衡点，地方病平衡点
引言
传染病是由细菌、貞•菌或病毒等病原体或蠕虫等寄生虫感染人或者其他生物后所产生的能在种群中相互传播的疾病。
历史上一次又一次的大规模传染病盛行给人类生存和国民生计带来了巨大的灾难。
长期以来，人类都在与传染病进行不屈不挠的斗争。
20世纪以来，人类在征服传染病的路上取得了辉煌的成就。
肆虐千年的天花病毒被消火了：
麻风、脊髓灰质炎消失的日子也不远了；百日咳、白喉等疾病已经在许多国家得到了遏制；众多抗生素的问世，也使得一度令人闻风丧胆的瘟疫不能再危害社会。
然而世界卫生组织发表的报告中表明，传染病依旧是危害人类健康的第一杀手。
以95年的数据为例，全世界5200万死亡人口中，丧命于传染病的有1700万，将近三分之一。
近20年来，AIDS、霍乱、疯牛病、SARS和甲型Hl\l流感等恶性突发疾病给人类社会带来了巨大危害，其至一些老的传染病如鼠疫等也死灰复燃，这种悄况已经引起了全球的高度重视，如何对这类传染病发展做出科学预测，并实施有效手段的问题已经得到业界工作者的普遍关注。
数学作为一门基础学科，到如今已经渗透到了科学研究领域的各个方面。
近些年来，数学模型已经被广泛的运用到了对生态系统的研究中来。
生物学中有众多有趣的模型，这些模型在数学中大多可以被归纳为微分方程组或方程，其中传染病动力学模型与我们的生活息息相关。
对传染病传播特性的的研究，特别具有里程碑式意义的工作是1927年Kermack和Mckendrick提出的仓室建模方法，该法一直沿用至今，并发展成为一种专门的理论：
传染病动力学。
传染病动力学是大众研究传染病的非常重要的方法，传染病动力学模型依据种群生长的特点、疾病产生及在种群内传播的规律，并且考虑周圉环境的变化等因素，建立起能反映传染病动力学特征的数学模型，而通过对模型动力学性态的定性、定量和数值模拟，来显示疾病的发展过程，揭示疾病的流行规律同时还可以预测其发展趋势，以便找到对其预防和控制的最优方案，为人类制定防治决策提供有效的理论和数量方面的依据。
近30年来，国际上传染病动力学的研究进展已经十分迅速了。
从已有的研究结果看，主要集中在常微分方程形式的SI,SIR,SEIR,MSEIR等模型。
SIR（易感者，感染者，恢复类）是常见的传染病模型。
可是，许许多多的传染病在发病前都会在宿主体内潜伏一段时间。
比如，麻疹病毒的潜伏期是8-13天，狂犬病毒的潜伏期少则儿天多则达数年。
因此我们顾忌到传染病毒的潜伏期,就需要考虑一个更适合贴切的传染病模型，这个模型引进了一个新的传染病群体，即潜伏者E（t）,即该传染病模型为SEIR（易感者，潜伏者，感染者，恢复类）模型，这个模型具有十分重要的实际意义。
在传染病的实际传播过程中，不同类型的疾病通常有不同的传播特点，部分疾病的传播和年龄有着莫大的关系，而有些疾病对不同年龄的人的传染程度不同；有些疾病的传播与预防疾病的描施，比如接种疫苗有着很大关系。
在我国，通过接种疫苗，许多传染病如麻疹、破伤风、口日咳等的预防和治疗已经取得了不错的成绩。
当然，事实说明部分接种疫苗的人群在接种疫苗之后有可能会再次感染该疾病。
文中建立和研究了带有接种疫苗的SEIR传染病模型，并且考虑到了接种疫苗之后有可能被再次感染的情况，运用常微分方程中稳定性理论的知识和思想，在一定的条件假设下，对这一类传染病模型的动力学性质进行了粗浅的分析。
求出了基本再生数的表达式，证明了时，系统存在唯一的无病平衡点并讨论了其稳定性；及时，无病平衡态不稳定，此时存在地方病平衡点，并研究分析了其稳定性。
将其投入到实际中，希望能对疾病的预防消除起到一定作用。
本文安排如下，第一节在一定的假设条件下，建立了带有接种疫苗的SEIR传染病模型，并且简要的介绍了数学建模的理论知识；第二节分析并证明了模型的初值问题和一些基本性质；第三节求出了再生数的表达式，得到了无病平衡点和地方病平衡点的存在条件，并且在一定条件下分析了其稳定性。
第一章模型的建立
假设是在时刻种群内易感者数量，是在时刻种群内已经接种疫苗的人数，是在时刻的时候群体内的疾病潜伏者人数，是在时刻种群内感染者的人数，康复者为错误!
未找到引用源。
，则在时刻种群的总量可表示为
进一步，本文所研究模型的建立基丁•以下假设：
（1）易感染者口然增加量包括新生儿和移入人口为，11一旦易感染者与潜伏者或感染
者存在有效接触，即有可能染上疾病，儿率是错误!
未找到引用源“错误!
未找到引用源。
是易感染者与感染者接触患病的儿率，错误!
未找到引用源。
是易感染者与潜伏者接触后可能染病的儿率与错误!
未找到引用源。
的比值：
易感染者接种疫苗的速度是错误!
未找到引用源。
；种群的口然死亡率为，因此，易感者满足
（2）假设疫苗的成功率并不是百分之百，接种疫苗的人群还有可能患病，几率是未找到引用
潦.•错误味找到引用源。
（错误!
未找到引用源。
）是接种人群成功的概率，故此时
（3）在与感染者与潜伏者接触时，人群中的潜伏者数量增多，而潜伏者数量还受自然死亡
率及传染病影响，假设错误!
未找到引用源。
为潜伏者成为感染者的速度，故此时
（4）感染者来源于病变的潜伏者，同时受限于疾病和自然死亡以及治愈率，假设该病死亡率为d,治愈率为错误!
未找到引用源。
，则有
（5）设错误!
未找到引用源。
为该病治愈率，则康复者满足
上文各量之间转换关系用图表呈现为图1
从而，有如下传染病模型
=0a£）s_（i_
z（x
在（1・1）中，前四个等式并未涉及康复者人数,因此，只需讨论如下传染病模
\dS
di
dV
孑=声_（1_<7）0（"也戸_0卩
一=0Q+sE）S-（1-b）0Q+sE}E—bE_k£di
Q=&E-（d+b®
Ldt
（1.2）
第二章初值问题
2.1解的正性及有界性
从实际情况出发，可假设错误!
未找到引用源。
，错误!
未找到引用源。
.错误!
未找到引用源。
，错误味找到引用源。
•错误!
未找到引用源。
。
令错诫未找到引用臥定理1对于一切错误!
未找到引用源。
，模型（1.2）的解错误!
未找到引用源。
也是非负的。
同时，
lim$upN（r）<—
t->ocU
证明：
假设错误!
未找到引用源。
，显然错误!
未找到引用源。
。
由
（1.2）的第一个方程可知
d帆上）呻｛£比）血+@+初tj]
dt
=aexp
故
从而有
同理可证，当术找刑I用—结论得证。
2.2不变区域
将（1.2）中所有的方程加在一起，则得到
（2.1）
山于错误!
未找到引用源…因此故此
特别地,由（1.2）的第一个等式可知
（2.2）
由（1.2）的第二个等式可知
错误!
未找到引用源。
（2.3）
III（2.1）可知，若错误!
未找到引用源…则错误!
未找到引用源…
定义可行域其中R；={（SW,£,/）IS>O,V>O,E>OJ>0}
在此定义下，有如下结论：
定理2对于（1.2）,如果初始值在错误!
未找到引用源。
中时，则可行域错误!
未找到引用源。
是不变的。
第三章基本再生数及无病平衡点
易知系统（1.2）存在无病平衡点错误！
未找到引用源。
，其屮
，错误!
未找到引用源。
，错误!
未找到引用源。
令错误!
未找到引用源。
，则（1.2）可写为
—=^（x）-X（x）
其中
PG+畔4-（1-O）p（7+£E）V
0
0
0
定义
错误!
未找到引用源。
v=（灯+bo）\-k1b+d+d）
v-={T
l（幻+b）@+d）
则（1.2）的基本再生数为
_L?
0+Ci-ffX]f,+-a）VoJ/?
v丁（灯十b）（b+d十6）
错误!
未找到引用源。
（3.1）
对于传染病模型的基本再生数是刻画疾病是否传播的重要域值。
山于错误味找到引用源。
的每一部分都是非负的，易知特别地，可证明如下结论：
定理3当错误!
未找到引用源。
时，系统（1.2）的无病平衡点错误!
未找到引用源。
是局部渐近稳定的，“1错误!
未找到引用源。
，E°是不稳定的。
证明：
已知错误味找到引用源。
且错误味找到引用源。
，则由（1.2）的最后两个方程可得
为了得到&<1时的稳定性，只需评论系统
（2.4）
的解在t趋向于无穷时的极限行为。
当错误味找到引用源。
时，易证，系统（2.4）的解当t趋向于无穷的时候，都收敛至0。
因此当t足够大，任取错误！
未找到引用源。
存在山>0,对所有的宀心,有错误味找到引用源。
。
则由（1.2）的笫一个方程立即得到
于是有
另外，由（1・2）的第二个方程可得
从而
山错误!
未找到引用源。
的任意性可得到
于是，当错误!
未找到引用源。
时，可得到
因此、勺错误味找到引用源。
时，错误!
未找到引用源。
在可行域错误!
未找到引
用源。
是局部渐近稳定的，反之则不稳定，得证。
第四章地方病平衡点的存在性及稳定性
注意到，当时，系统（1.2）存在地方病平衡点
令错误!
未找到引用源。
，则地方病平衡点满足
错误!
未找到引用源。
（2.5）
其中
则方程（2.5）的正实根即为（1.2）的地方病平衡点，容易看出
1•当错误!
未找到引用源。
，模型（1.2）存在唯一地方病平衡点；
2・X错误味找到引用源。
，且错误味找到引用源。
或者错误味找到引用源。
时，则模型存在一个地方病平衡点；
3•半错误味找到引用源。
，错误!
未找到引用源。
，则模型存在两个地方病平衡点；
4•当错误!
未找到引用源。
且错误!
未找到引用源。
时，模型没有地方病平衡点
但是，事实上，当错误!
未找到引用源。
时，模型没有地方病平衡点。
定理4当错误!
未找到引用源。
是，系统（1.2）不存在地方病平衡点。
证明：
假设错误!
未找到引用源。
，则有如下关系式
两式相比可以得到
cr（b+初、b+（b+ocp）o
化简可得到
b2+bo（p（b+0）<0
该不等式与参数为正相矛盾，因此，错误!
未找到引用源。
时模型没有地方病平衡点。
当错误!
未找到引用源。
时，可以大致确定二次函数图像，没有正根，故这种情况也不会有地方病平衡点，得证。
第五
章总结
本文主要研究了一类带接种疫苗的SEIR传染病模型，首先给出了模型基本再生数的显式表达式，然后应用常微分方程的平衡点局部稳定性及全局稳定性的判断依据，讨论了无病平衡点以及地方病平衡点的存在性和稳定性。
当基本再生数小于1时，存在无病平衡点，且当其小于1时，无病平衡点局部渐进稳定，意味着疾病将逐渐消除。
而当基本再生数大于1时，无病平衡态不稳定且存在唯一的局部渐近稳定的地方病平衡点，表明此时疾病将持续存在。
这个结论将有助于控制疾病的扩散和消除。
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