新课改省份专用版高考数学一轮复习第五章平面向量复数第三节平面向量的数量积及其应用第2课时.docx

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新课改省份专用版高考数学一轮复习第五章平面向量复数第三节平面向量的数量积及其应用第2课时

平面向量数量积及其性质的应用

1．（2019·宝鸡金台区质检）在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则·＋·＝（　　）

A．0　　　　　　　　　　B.1

C.D．－

解析：

选B　以点C为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C（0,0），A（1,0），B（0,1），不妨设P，所以·＋·＝＋＝1.故选B.

2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于（　　）

A.B.

C.D．4

解析：

选C　依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.

3．（2019·江西三校联考）若|a|＝2，|b|＝4，且（a＋b）⊥a，则a与b的夹角为（　　）

A.B.

C.D．－

解析：

选A　∵（a＋b）⊥a，∴（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－4，cosa，b＝＝＝－，∴a，b＝，故选A.

4．（2019·深圳高级中学期中）已知向量m＝（λ＋1,1），n＝（λ＋2,2），若（m＋n）⊥（m－n），则λ＝（　　）

A．－4B.－3

C．－2D．－1

解析：

选B　∵（m＋n）⊥（m－n），∴（m＋n）·（m－n）＝m2－n2＝（λ＋1）2＋1－（λ＋2）2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.

1．平面向量数量积的2种运算方法

方法

运用提示

适用题型

定义法

当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ

适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题

坐标法

当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2

适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题

2.利用数量积求解长度问题的处理方法

（1）a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.

（2）|a±b|＝＝.

（3）若a＝（x，y），则|a|＝.

3．向量夹角问题的2个注意点

（1）切记向量夹角的范围是[0，π]．

（2）a与b夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线，a与b夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．

4．两向量垂直的应用

两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

平面向量数量积的应用问题

平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．

考法一　平面向量模的最值或范围问题　

[例1]　

（1）（2019·衡水中学调研）已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，（a－c）·（b－2c）＝0，则|b－c|的最小值为（　　）

A.B.

C.D．

（2）（2019·长春模拟）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a－c）·（b－c）＝0，则|c|的最大值是（　　）

A．1B.2

C.D．

[解析]　

（1）由|a|＝|b|＝a·b＝2，知a，b的夹角为，

可设a＝（2,0），b＝（1，），c＝（x，y），

∵（a－c）·（b－2c）＝0，

∴（2－x，－y）·（1－2x，－2y）＝0，

即2x2＋2y2－5x－y＋2＝0.

方程2x2＋2y2－5x－y＋2＝0表示圆心为，半径为的圆，|b－c|＝表示圆2x2＋2y2－5x－y＋2＝0上的点到点（1，）的距离，所以|b－c|的最小值为－＝.

（2）因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，

（a－c）·（b－c）＝－c·（a＋b）＋|c|2＝－|c||a＋b|·cosθ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，

所以|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ≤，

所以|c|的最大值是.

[答案]　

（1）A　

（2）C

[方法技巧]

求向量模的最值（范围）的2种方法

代数法

把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解

几何法

弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解

考法二　数量积的最值或范围问题　

[例2]　

（1）（2019·南昌调研）如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域（含边界）中运动，则·的取值范围是（　　）

A.B.

C．[－1,1]D．[－1,0]

（2）（2019·宝鸡模拟）在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N（不与A，C重合）为AC边上的两个动点，且满足||＝，则·的取值范围为（　　）

A.B.

C.D．

[解析]　

（1）∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，

∴BD＝.如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O，

则＝＋，·＝0，

∴·＝（＋）·＝·.

∴当点P与点B重合时，·取得最大值，

即·＝·＝××＝1；

当点P与点D重合时，·取得最小值，

即·＝－××＝－1.

∴·的取值范围是[－1,1]．

（2）以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B（0,0），直线AC的方程为x＋y＝2.

设M（a,2－a），

则0

∴＝（a,2－a），＝（a＋1,1－a），

∴·＝a（a＋1）＋（2－a）（1－a）＝2a2－2a＋2，

∵0

又·<2，故·的取值范围为.

[答案]　

（1）C　

（2）C

[方法技巧]

数量积的最值或范围问题的2种求解方法

临界分析法

结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围

目标函数法

将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围

1.已知向量a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝3，|c|＝3，则对任意的正实数t，的最小值是（　　）

A．2B.2

C．4D．4

解析：

选D　因为向量a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝0，又c·a＝c·b＝3，所以2＝c2＋t2a2＋b2＋2（tc·a＋c·b＋a·b）＝t2＋＋6t＋＋18≥32，当且仅当t2＝，6t＝，即t＝1时等号成立，故的最小值为4.故选D.

2.在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________.

解析：

∵·＝2，∴·－2＝

·（－）＝·＝0，∴⊥，即BA⊥AC.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0,0），B（6,0），C（0,3），设P（x，y），则2＋2＋2＝x2＋y2＋（x－6）2＋y2＋x2＋（y－3）2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[（x－2）2＋（y－1）2＋10]，所以当x＝2，y＝1时，2＋2＋2取得最小值，此时·＝（2,1）·（－6,3）＝－9.

答案：

－9

平面向量与其他知识的综合问题

平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具．在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查．

考法一　平面向量与几何的综合问题　

[例1]　（2019·杭州期末）在四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，设·＝m，·＝n.若AB＝，EF＝1，CD＝，则（　　）

A．2m－n＝1B.2m－2n＝1

C．m－2n＝1D．2n－2m＝1

[解析]　由题可得，·＝（＋）·（＋）＝－2＋·－·＋·＝－2＋·（－）＋m＝－2＋·（＋＋－）＋m＝·＋m.又因为点E，F分别是边AD，BC的中点，所以＝＋＋，＝＋＋.两式相加得2＝＋，两边同时平方得4＝2＋3＋2·，所以·＝－.则·＝，所以·＝＋m，所以n＝＋m，即2n－2m＝1，故选D.

[答案]　D

[方法技巧]　平面向量与几何综合问题的求解方法

坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决

基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解

考法二　平面向量与三角函数的综合问题　

[例2]　（2019·陕西部分学校摸底）在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（cosA，sinA），n＝（－sinA，cosA），且|m＋n|＝2.

（1）求角A的大小；

（2）若b＝4，c＝a，求△ABC的面积．

[解]　

（1）∵m＋n＝（＋cosA－sinA，cosA＋sinA），

∴|m＋n|＝

＝.

∵|m＋n|＝2，∴sin＝0，

又0

即A＝.

（2）∵c＝a，A＝，

∴＝＝，

∴sinC＝1，又0

∴△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝×（4）2＝16.

[方法技巧]

平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路

（1）向量平行、垂直与三角函数综合

此类题型的解答一般是利用向量平行（共线）、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．

（2）向量的模与三角函数综合

此类题型主要是利用向量模的性质|a|2＝a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：

一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：

①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．　　

1.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．若·＝3，则·的值为（　　）

A．0B.

C．－4D．4

解析：

选C　＝2⇒||＝||＝.设与的夹角为α，·＝3⇒||cosα＝1⇒||＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B（0，3），F（，1），E.因此＝（，－2），·＝×－2×3＝2－6＝－4，故选C.

2.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设平面向量m＝（cosB，sinB），n＝（cosC，－sinC），m与n所成的夹角为120°.

（1）求A的值；

（2）若△ABC的面积S＝，sinC＝2sinB，求a的值．

解：

（1）由题知cos120°＝

＝

＝cos（B＋C）＝－cosA＝－，则cosA＝.

又0

（2）由正弦定理和sinC＝2sinB，得c＝2b.

则△ABC的面积S＝bcsinA＝b2×＝，则b2＝，

解得b＝，c＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，

得a2＝＋－2×××＝16，则a＝4.