江苏高考数学立体几何真题汇编.doc
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2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编
（2008年第16题）
在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点，
求证：
（1）直线EF∥平面ACD
（2）平面EFC⊥平面BCD
A
B
C
D
E
F
证明：
（1）⇒直线EF∥平面ACD
（2）⇒直线BD⊥平面EFC
又BD⊂平面BCD，
所以平面EFC⊥平面BCD
（2009年第16题）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，
A1D⊥B1C.
求证：
（1）EF∥平面ABC
A
B
C
D
E
F
C₁
B₁
A₁
（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C
证明：
（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，
因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC
（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，
又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C⊂平面BB1C1C
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，
故平面A1FD⊥平面BB1C1C
（2010年第16题）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，
P
A
B
C
D
∠BCD＝90°．
（1）求证：
PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
D
P
A
B
C
F
E
证明：
（1）因为PD⊥平面ABCD，
BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．
解：
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由
（1）知：
BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．
（方法二）等体积法：
连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°．
从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．
由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝S△ABC×PD＝．
因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD＝DC＝1，所以PC＝＝．
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝．
由VA——PBC＝VP——ABC，S△PBC×h＝V＝，得h＝，
故点A到平面PBC的距离等于．
（2011年第16题）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，
E、F分别是AP、AD的中点
求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
证明：
（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，
又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD
（2）连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△PAD为正三角形
∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BF⊥平面PAD
又∵BF⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAD
（2012年第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
证明：
（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC
又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD
又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E
∴平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1
∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1
∴CC1⊥A1F
又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1
∴A1F⊥平面BCC1B1，
由
（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD
又∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，
∴A1F∥平面ADE
（2013年第16题）
如图，在三棱锥S－ABC中，平面平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AB＝AS，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E,G分别是棱SA,SC的中点．
求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．
S
G
A
B
C
E
F
证：
（1）∵SA＝AB且AF⊥SB，
∴F为SB的中点．
又∵E，G分别为SA，SC的中点，
∴EF∥AB，EG∥AC．
又∵AB∩AC＝A，AB面SBC，AC⊂面ABC，
∴平面EFG∥平面ABC．
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF⊂平面ASB，AF⊥SB．
∴AF⊥平面SBC．
又∵BC⊂平面SBC，
∴AF⊥BC．
又∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB．
又∵SA⊂平面SAB，
∴BC⊥SA．
（2014年第16题）
如图，在三棱锥P－ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点．
已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．
求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
证明：
（1）∵D,E为PC,AC中点
∴DE∥PA
∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF
∴PA∥平面DEF
（2）∵D,E为PC,AC中点
∴DE＝＝3
∵E,F为AC,AB中点
∴EF＝＝4
∴DE2＋EF2＝DF2∴∠DEF＝90°，∴DE⊥EF
∵DE∥PA，PA⊥AC
∴DE⊥AC
∵AC∩EF＝E
∴DE⊥平面ABC
∵DE⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABC．
（2015年第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，
B1C∩BC1＝E
求证：
（1）DE∥平面AA1CC1
（2）BC1⊥AB1
A
B
C1
D
E
A1
B1
C
证明：
（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C
（2）因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC
因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1，
又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1，
又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C
因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC，
又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1
（2016年第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．
求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
C1
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．
B1
A1
F
C
E
B
A
D
证明：
（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC
在△ABC中，因为D、E分别为AB，BC的中点，
∴DE∥AC，于是DE∥A1C1
又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
∴直线DE∥平面A1C1F
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，
∵A1C1⊂平面A1B1C1，
∴A1A⊥A1C1
又∵A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1
∵B1D⊂平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1D
又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，
∴B1D⊥平面A1C1F
∵B1D⊂平面B1DE
∴平面B1DE⊥平面A1C1F
（2017年第15题）
如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC
A
B
C
D
E
F
证明：
（1）在平面内，∵AB⊥AD，EF⊥AD
∴EF∥AB
又∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC
∴EF∥平面ABC
（2）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD
BC⊂平面BCD，BC⊥BD
∴BC⊥平面ABD
∵AD⊂平面ABD
∴BC⊥AD
又∵AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC
∴AD⊥平面ABC
又∵AC⊂平面ABC，
∴AD⊥AC
（2018年第15题）
在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.
求证：
（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC
证明：
（1）平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1
⇒AB∥平面A1B1C
（2）⇒四边形A1B1BA为菱形⇒AB1⊥A1B
⇒AB1⊥BC
⇒AB1⊥平面A1BC
⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC
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