蒙特卡罗法.docx

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蒙特卡罗法

第4章有限差分法

4.1有限差分法基础

4.1.1有限差分法的基本概念

4.1.2欧拉近似

1.基本欧拉近似法

图4.1欧拉近似法示意图

2.用于偏导数的情况

4.1.3梯形法则和龙格·库塔法

1.梯形法则

图4.2曲边梯形的面积用矩形面积近似

图4.3梯形近似示意图

2.龙格·库塔法（RungeKutta）

4.2二维泊松方程和拉普拉斯方程的有限差分法

4.2.1建立差分格式

图4.4差分网格的结点坐标

1.一阶偏导数

2.二阶偏导数的差分表达式

4.2.2不同介质分界面上连接条件的离散方法和差分格式

1.有不同介质的平面分界的情形

图4.5分界面处建立的坐标系

2.边界不平行于网格，但是边界无拐点的情形

图4.6第一种方法处理对角线边界

图4.7第二种方法处理对角线边界

3.边界平行于网格，但有拐点的情形

图4.8有拐点的平行边界

4.网格成对角线边界时的角形区域边界

5.与结点不重合的边界

图4.9与网格成对角线的角形区域边界

图4.10与结点不重合的边界

6.曲线边界的情形

图4.11曲线边界

图4.12第二类边界条件

4.2.3其他形式的网格及边界条件

1.正三角形六点式

2.六边形三点式

3.正方形九点式

图4.13正三角形网格

图4.14六边形三点式

图4.15正方形九点式

4.直角坐标系拉普拉斯方程的媒质边界的差分格式

4.3超松弛迭代法以及有限差分法的误差

4.3.1有限差分法求解的一般过程

1.流程

图4.16有限差分求解的流程

图4.17有限差分求解的框图

2.编程框图

3.举例

图4.18例题的分区编号

4.3.2超松弛迭代法

1.松弛算法

2.点松弛

图4.19点松弛原理图

图4.20邻点与原点的松弛关系

图4.21第一步的数值关系

图4.22点松弛多次后的数值关系

3.增加松弛速度的方法

图4.23点松弛、行松弛和块松弛

图4.2415结点块松弛的数值关系

4.逐次超松弛法

图4.25收敛因子影响收敛性的变化关系

4.3.3有限差分法的收敛性和稳定性

4.4轴对称场的差分格式与蒙特卡罗法应用

4.4.1轴对称场的差分格式

4.4.2蒙特卡罗法应用

图4.26轴对称场的差分格式

图4.27应用蒙特卡罗法时将封闭区域离散化

4.5抛物型和双曲型偏微分方程的有限差分法

4.5.1抛物型偏微分方程的有限差分法

图4.28解抛物型和双曲型偏微分方程的离散化网格

1.最简单的显式差分格式

2.最简单的隐式格式

3.六点对称格式

4.一般线性抛物型微分方程

5.差分格式的稳定性和收敛性

图4.29差分格式的稳定性和收敛性举例

4.5.2双曲型偏微分方程的有限差分法

1.显式格式

2.隐式格式