人教版物理选修高考专用版第十一章 机械振动 2 含答案Word文档下载推荐.docx

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（3）T和f的关系：

T＝

.

4．相位

描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．

二、简谐运动的表达式

简谐运动的一般表达式为x＝Asin_（ωt＋φ）．

1．x表示振动物体相对于平衡位置的位移；

t表示时间．

2．A表示简谐运动的振幅．

3．ω叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动振动的快慢，ω＝

＝2πf（与周期T和频率f的关系）．

4．ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做初相位（或初相）．

5．相位差

若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin（ωt＋φ1），x2＝A2sin（ωt＋φ2），则相位差为Δφ＝（ωt＋φ2）－（ωt＋φ1）＝φ2－φ1.

1．判断下列说法的正误．

（1）在机械振动的过程中，振幅是不断变化的．（　×

　）

（2）振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量．（　×

（3）振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间．（　×

（4）按x＝5sin8πtcm的规律振动的弹簧振子的振动周期为

s．（　√　）

2．有一个弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时（t＝0）开始离开平衡位置向正方向运动，则它的振动方程是x＝__________________m.

答案　0.008sin4πt

如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称．

（1）振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？

（2）先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？

振子完成一次全振动通过的位移相同吗？

路程相同吗？

答案　

（1）不是．经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均与初始时刻相同．

（2）周期相同，振动的周期决定于振动系统本身，与振幅无关．位移相同，均为零．路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关．

1．振幅和位移的区别

（1）振幅等于最大位移的数值．

（2）对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的．

（3）位移是矢量，振幅是标量．

2．路程与振幅的关系

（1）振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．

（2）振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．

（3）振动物体在

个周期内的路程不一定等于一个振幅．

3．一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关．

例1

　（多选）如图2所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20cm，振子由A第一次运动到B的时间是2s，则（　　）

图2

A．从O→B→O振子做了一次全振动

B．振动周期为4s，振幅是10cm

C．从B开始经过6s，振子通过的路程是60cm

D．从O开始经过3s，振子处在平衡位置

答案　BC

解析　振子从O→B→O只完成半个全振动，A选项错误；

从A→B振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2s，所以振动周期是4s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10cm，B选项正确；

t＝6s＝1

T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60cm，C选项正确；

从O开始经过3s，振子处在位置A或B，D选项错误．

例2

　（多选）（20xx·

×

市高二第一学期期末）如图3所示为一质点的振动图象，曲线满足正弦变化规律，则下列说法中正确的是（　　）

图3

A．该振动为简谐振动

B．该振动的振幅为10cm

C．质点在前0.12s内通过的路程为20cm

D．0.04s末，质点的振动方向沿x轴负方向

答案　AD

解析　题图图象表示质点的位移随时间周期性变化的规律，是简谐振动，故A正确；

由题图可知该振动的振幅为5cm，故B错误；

由题图可知质点振动的周期为0.08s,0.12s＝1

T，质点通过的路程为6A＝30cm，故C错误；

根据振动规律可知，0.04s末质点的振动方向沿x轴负方向，故D正确．

二、简谐运动表达式的理解

2．从表达式x＝Asinωt体会简谐运动的周期性．当Δφ＝ωt2－ωt1＝2nπ时，Δt＝

＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动．

3．从表达式x＝Asinωt体会特殊点的值．当ωt等于2nπ＋

时，sinωt＝1，即x＝A；

当ωt等于2nπ＋

时，sinωt＝－1，即x＝－A；

当ωt等于nπ时，sinωt＝0，即x＝0.

例3

　（多选）一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则（　　）

A．弹簧振子的振幅为0.2m

B．弹簧振子的周期为1.25s

C．在t＝0.2s时，振子的运动速度为零

D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin5πt，则B振动的频率比A高．

答案　CD

解析　由振动方程x＝0.1sin2.5πt，可读出振幅为0.1m，圆频率ω＝2.5πrad/s，故周期T＝

＝

s＝0.8s，故A、B错误；

在t＝0.2s时，x＝0.1m，即振子的位移最大，速度为零，故C正确；

频率f＝

，故B的频率是A频率的2倍，D项正确．

[学科素养]　例3考查了对简谐运动表达式的理解．应用简谐运动的表达式解决相关问题时，首先应明确振幅A，周期T、频率f的对应关系，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系．在解题过程中，回顾了物理概念和规律，锻炼了学生从物理学视角对客观事物的本质属性、内在规律及相互关系认识的能力，体现了“物理观念”与“科学思维”学科素养．

三、简谐运动的周期性和对称性

如图4所示：

图4

（1）时间的对称

①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.

②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.

（2）速度的对称

①物体连续两次经过同一点（如D点）的速度大小相等，方向相反．

②物体经过关于O点对称的两点（如C与D）时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．

（3）位移的对称

①物体经过同一点（如C点）时，位移相同．

②物体经过关于O点对称的两点（如C与D）时，位移大小相等、方向相反．

例4

　（多选）一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（　　）

A．振子的位移为x和－x的两个时刻，振子的速度一定大小相等、方向相反

B．振子的速度为v和－v的两个时刻，振子的位移一定大小相等、方向可能相同

C．若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子振动的速度一定相等

D．若Δt＝

，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等

解析　振子的位移为x和－x的两个时刻，振子的速度一定大小相等，方向可能相同，如图中a、d两点，故A错误；

振子的速度为v和－v的两个时刻，它们位移可能是相同的，如图中的d、e两点，故选项B正确；

相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相同，选项C正确；

相隔

的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，也可能两时刻均在平衡位置，选项D错误．

针对训练　如图5所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1s，过b点后再经t′＝1s质点第一次反向通过b点．若在这两秒内质点所通过的路程是8cm，该质点的振动周期为________，振幅为________．

图5

答案　4s　4cm

解析　简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置．根据简谐运动的对称性可知，质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tba＝tab＝1s，质点从a点经最左端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经最右端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1s.

综上所述，质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4s.

由简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s＝2

＋2

＝2（

）＝2×

8cm＝16cm，所以质点的振幅为A＝

＝4cm.

1．（描述简谐运动的物理量）（多选）下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是（　　）

A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处

B．周期和频率的乘积是一个常数

C．振幅增大，周期必然增大，而频率减小

D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关

答案　BD

解析　振幅是标量，选项A错误；

周期与频率互为倒数，即Tf＝1，选项B正确；

简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本身决定，所以选项C错误，D正确．

2.（描述简谐运动的物理量）（多选）（20xx·

宁波诺丁汉大学附中高二第一学期期中）一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图6所示，由图可知（　　）

图6

A．质点振动的频率是4Hz

B．质点振动的振幅是2cm

C．t＝3s时，质点的速度最大

D．t＝3s时，质点的振幅为零

解析　由题图可以直接看出振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，选项A错误，B正确．t＝3s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确．振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝3s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，所以选项D错误．

3．（简谐运动的周期性和对称性）一个在水平面内做简谐运动的弹簧振子，从第一次以不等于零的速度经过非平衡位置的某点a时开始计时，下列说法中正确的是（　　）

A．到它第二次经过a点时，所需时间为半个周期

B．到它第二次经过a点时，所需时间为一个周期

C．到它第三次经过a点时，所需时间为一个周期

D．到它第三次经过a点时，所需时间为两个周期

答案　C

4．（简谐运动的综合考查）一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.4sin2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s.则（　　）

B．弹簧振子的频率为0.8Hz

D．在任意0.2s时间内，振子的位移均为0.1m

一、选择题

考点一　描述简谐运动的物理量

1.如图1所示，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在B、C间做无摩擦的往复运动．若小球从C点第一次运动到O点历时0.1s，则小球振动的周期为（　　）

A．0.1sB．0.2sC．0.3sD．0.4s

答案　D

解析　小球从C点第一次运动到O点的时间为0.1s，对应的时间为一个周期的

，故小球振动的周期为0.4s，D正确．

2.如图2所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1cm，然后释放振子，经过0.2s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为（　　）

A．0.2sB．0.4sC．0.1sD．0.3s

答案　A

解析　简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的

，故A正确．

3.（20xx·

嘉兴一中高二第二学期期中）如图3所示为某质点做简谐运动的振动图象．则关于该质点的振动情况，下列说法正确的是（　　）

A．周期T＝0.1s

B．振幅A＝0.4m

C．0.1s末质点运动速度为0

D．0.2s末质点回到平衡位置

4．（多选）（20xx·

温州高二检测改编）一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt时间内振子运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是（包括一定正确的）（　　）

A．Δt＝2T，s＝8AB．Δt＝

，s＜2A

C．Δt＝

，s＝AD．Δt＝

，s＞A

答案　ACD

5.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图4所示，由图可知（　　）

A．质点振动的频率是4Hz，振幅是2cm

B．质点经过1s通过的路程总是2cm

C．0～3s内，质点通过的路程为6cm

解析　由题图可以直接看出振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，所以A错误；

质点在1s即

个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B错误；

因为t＝0时质点在最大位移处，0～3s为

T，质点通过的路程为3A＝6cm，所以C正确；

振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝3s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，所以D错误．

考点二　简谐运动的表达式

6．（多选）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin

t，则质点（　　）

A．第1s末与第3s末的位移相同

B．第1s末与第3s末的速度相同

C．第3s末与第5s末的位移方向相同

D．第3s末与第5s末的速度方向相同

解析　根据x＝Asin

t可求得该质点振动周期为T＝8s，则该质点振动图象如图所示，图象切线的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1s末和第3s末的位移相同，但切线的斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；

第3s末和第5s末的位移方向相反，但两点切线的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．

7.（多选）如图5所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin（2.5πt）m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；

t＝0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10m/s2.以下判断正确的是（　　）

A．h＝1.7m

B．简谐运动的周期是0.8s

C．0.6s内物块运动的路程是0.2m

D．t＝0.4s时，物块与小球运动方向相反

答案　AB

解析　t＝0.6s时，物块的位移为x＝0.1sin（2.5π×

0.6）m＝－0.1m，则对小球h＋|x|＝

gt2，解得h＝1.7m，选项A正确；

简谐运动的周期是T＝

s＝0.8s，选项B正确；

0.6s内物块运动的路程是3A＝0.3m，选项C错误；

t＝0.4s＝

，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误．

考点三　简谐运动的周期性与对称性

8．一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3s第一次到达某点M处，再经0.2s第二次到达M点，则其振动频率为（　　）

A．0.4HzB．0.8HzC．2.5HzD．1.25Hz

解析　由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3s，故完成一个全振动的时间为：

T＝0.3s＋0.2s＋0.3s＝0.8s，故频率为f＝

＝1.25Hz，D正确．

9．弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要多长时间（　　）

A．1.2sB．1.0sC．0.4sD．1.4s

解析　若从O点开始向右振子按如图甲所示路线振动，则振子的振动周期为：

T1＝4×

（0.3＋

0.2）s＝1.6s，

则该质点再经过时间Δt1＝T1－0.2s＝1.4s，第三次经过P点．

若振子从O点开始向左振动，则按如图乙所示路线振动，

设从P到O的时间为t，则

0.2s＋t＝

，解得：

t＝

s，可得周期为：

T2＝4×

（

＋0.1）s＝

s，则该质点再经过时间Δt2＝T2－0.2s＝

s，第三次经过P点，故D正确，A、B、C错误．

10．（多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1m，t＝1s时位移为0.1m，则（　　）

A．若振幅为0.1m，振子的周期可能为

s

B．若振幅为0.1m，振子的周期可能为

C．若振幅为0.2m，振子的周期可能为4s

D．若振幅为0.2m，振子的周期可能为6s

解析　若振幅为0.1m，则t＝

＋nT（n＝0,1,2，…）．

当n＝0时，T＝2s；

n＝1时，T＝

s；

n＝2时，T＝

s，

故选项A正确，选项B错误．

若振幅为0.2m，振动分两种情况讨论：

①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为

，周期最大为2s.

②振子振动如图乙中实线所示．

由x＝Asin（ωt＋φ）知

t＝0时，－

＝Asinφ，φ＝－

，即振子由C点振动到O点用时至少为

，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为

，则T最大为6s；

若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点，则周期最大为2s.

综上所述C错误，D正确．

二、非选择题

11.一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置一记录纸，当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图6所示的图象，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标．由此图知振动的周期为________，振幅为________．

答案　

解析　由题图可知，记录纸在一个周期内沿x方向的位移为2x0，水平速度为v，故周期T＝

；

又由图象知2A＝y1－y2，故振幅A＝

12．（简谐运动的周期性和对称性）（20xx·

绍兴高二检测）如图7甲所示，弹簧振子在BC间振动，O为BC的中点，若取水平向右为正方向，其振动图象如图乙所示，可知B、C间距离为________cm，从t＝0开始，经过________s振子第二次到达B点．

图7

答案　2　3.5

解析　由题图可知，弹簧振子的振动周期T＝2s，振幅A＝1cm，B、C间距离s＝2A＝2cm，分析振子的运动过程可知，从t＝0时开始振子经过平衡位置向右运动，经过时间1

T＝3.5s第二次到达B点．

13．（20xx·

绍兴校级期末）一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8cm，频率为0.5Hz，在t＝0时，位移是8cm.

（1）试写出用正弦函数表示的振动方程．

（2）10s内通过的路程是多少？

答案　

（1）x＝0.08sin

m　

（2）1.6m

解析　

（1）简谐运动振动方程的一般表达式为x＝Asin（ωt＋φ0）

根据题给条件有A＝0.08m，ω＝2πf＝2π×

0.5rad/s＝πrad/s，所以x＝0.08sin（πt＋φ0）m

将t＝0时，x0＝0.08m代入解得φ0＝

故振动方程为x＝0.08sin

m

（2）周期为T＝

＝2s，故10s内通过的路程是s＝

4A＝

4×

0.08m＝1.6m.