第9章典型例题与综合练习.docx
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第9章典型例题与综合练习
第9章随机事件与概率典型例题与综合练习
一、典型例题
1.随机事件
例1判断下列事件是否随机事件:
(1)元旦,买来1台全自动洗衣机,运行200小时不出故障.
(2)某射手的射击命中率为90%,他连续射击3次全命中.
(3)在1个大气压下,90oC的水沸腾,变为水蒸气.
(4)把1枚壹元的硬币放在桌面上,出现正面朝上.
(5)从次品率为5%的一批产品中,任取1个产品是次品.
(6)掷1颗骰子,出现偶数点或奇数点.
事件有:
随机事件,必然事件和不可能事件,用它们的定义来判断.也可用发生的概率来判断.
解:
(1)设A={洗衣机运行200小时无故障}.A可能发生,故A是随机事件.
(2)设B={连续3次射击全中},事件B不一定就发生.故事件B是随机事件.
(3)设C={水变成水蒸气},由物理学告诉我们,C是不可能事件.
(4)把硬币放在桌面上,那个面朝上不具有偶然性.不是随机事件.
(5)设D={任取一个产品是次品},因为产品中有正品,也有次品,
所以事件D是随机事件.
(6)设E={出偶数点或奇数点},则E是必然事件.
2.事件的关系与运算
例1对飞机进行两次射击,每次射击一弹.设A1={第一次射击击中飞机},A2={第二次射击击中飞机},试用A1,A2及它们的对立事件表示下列事件:
(1)B={两次都击中飞机}
(2)C={两次都没有击中飞机}
(3)D={恰有一次击中飞机} (4)E={至少有一次击中飞机}
这是事件概型与运算的问题,一方面要掌握事件的运算,还要熟悉运算的性质.
解:
(1)B=A1A2
(2)C=A1A2或C=
(3)D=A1A2+A1A2或D=(A1+A1)-A1A2
(4)E=A1+A2或E=
或E=D+A1A2
3.古典概型与概率性质
例1从0,1,2,3,4这5个数字中一次任取两个数,可以组成两位数的概率是多少?
一次从五个数中取出两个,组成二位数,显然这二个数字位置不同就组成不同的两个二位数,可见这是排列问题.即依次取两次数,每次取一个不放回,构成基本事件的总数.若能构成二位数,显然是十位数不能为0.个位可以任意.这样的排列是真的二位数.
解:
[方法1]一次从5个数中取出2个数,组成二位数,是排列问题.n=5×4=20
能组成两位数,“十位数”不能取0,“个位数”可任意取,故k=4×4=16
所求为p=
[方法2]全列法.用树枝图表示,如图.
所以,n=20,k=16,故所求概率为p=
4.概率加法公式
例1根据调查所知,一个城镇居民三口之家每年至少用600元买粮食的概率是0.50,至少用4000元买副食的概率是0.64,至少用600元买粮食同时用4000元买副食的概率是0.27.试求一个三口之家至少用600元买粮食或用4000元买副食的概率.
这是求两个事件和的概率,用概率加法公式.
解:
设A={至少用600元购买粮食};B={至少用4000元购买副食}.于是有
P(A)=0.50 P(B)=0.64 P(AB)=0.27
由加法公式,得P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.50+0.64-0.27=0.87
故一个三口之家每年至少用600元购买粮食或至少用4000元购买副食的概率是0.87.
例2在1~3500中随机地抽取一整数,问取到的整数不能被6或8除尽的概率是多少?
所求为取到的整数不能被6或8除尽的概率,也即至少能被6或8其一除尽的对立事件,而至少被6或8除尽是事件和的概率.
解:
设C={取到的整数不能被6或8除尽} A={取到的整数被6除尽}
B={取到的整数被8除尽},则C=
P(C)=P(
)=1-P(A+B)
=1-[P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)]
因为P(A)=
,P(B)=
,P(AB)=
所以,P(C)=1-(
+
-
)=
5.条件概率与乘法公式
例1已知袋中有10件产品,其中3件次品,从中无放回地随机抽取3次,每次取1件,求取到的全是次品的概率.
若设Ai为第i次取到次品,显然所求是这三个事件的积的概率.由于是不放回地取产品,所以袋中产品总数和次品数都在变化.因此涉及到条件概率.
解:
用Ai表示“第i次取到次品”(i=1,2,3),用B表示“所取3件产品全
是次品”,于是有B=A1A2A3,
则P(A1)=
;P(A2∣A1)=
;P(A3∣A1A2)=
P(B)=P(A3∣A1A2)P(A2∣A1)P(A1)
0.0083
六、事件的独立性
例1在一个系统中安装3个元器件,如图.每个元器件的可靠性是0.9.求系统的可靠性.
所谓系统的可靠性,就是有多大的概率能正常工作.三个元器件是并联的,所以只要有一个元器件工作,即系统工作.并联的元器件是独立工作的.
解:
设Ai={元器件Ai正常工作}(i=1,2,3),则P(Ai)=0.9 (i=1,2,3)
设B={系统正常工作},则
P(B)=P(A1+A2+A3)
=1-P(
)=1-P(A1A2A3)
A1,A2,A3独立.有P(B)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-(0.1)3=0999
例2设有甲、乙两批种子,它们的发芽率分别为0.9和0.7,在两批种子中任取1粒,求恰有1粒种子能发芽的概率.
恰有1粒发芽,那就可能是“甲的1粒发芽而乙的1粒未发芽,或者甲的1粒未发芽而乙的1粒发芽”,因此是事件和的概率问题,其中又涉及事件积的概念.
解:
设A={从甲批种子中任取一粒发芽},
B={从乙批种子中任取一粒种子发芽}.
则P(A)=0.9,P(B)=0.7,于是,P(
)=0,1,P(
)=0.3.
又事件A,B互相独立,所以
和B,A和
等均相互独立.且A
与
B互不相容,所求为P(A
+
B)=P(A
)+P(
B)
=P(A)P(
)+P(
)P(B)=0.9×0.3+0.1×0.7=0.34
七、全概率公式
例1假设用某种简化的试验来诊断癌症,经诊断,真正患有癌症者被诊断为患有癌症的概率是0.95,未患癌症者被诊断为未患癌症的概率是0.90,现对一批患癌症率为万分之四的人群进行癌症普查试验,求某人被诊断为患癌症的概率,并求此人真的患癌症的概率.
被诊断为患癌症,这一事件必与真正患癌症或未患癌症二事件相关,而且必居其一.所以要对事件B进行分解转移,这正是全概率公式的功能.另一问不难看出是条件概率.
解:
设B={某人被诊断为患癌症}A1={某人真的患癌症},A2={某人未患癌症}显然B能且只能与A1,A2之一同时发生.已知P(A1)=0.0004 P(A2)=0.9996,由题设P(B∣A1)=0.95 P(B∣A2)=1-0.90=0.10
用全概率公式,得到P(B)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)
=0.0004×0.95+0.9996×0.10=0.10034
第二问是求“某人被诊断为患癌症的情况下,某人真正患癌症”的概率.即求P(A1∣B).用条件概率公式
P(A1∣B)=
=0.0038
此结果表明,诊断患癌症而真正患癌症的人不到千分之四.
二、综合练习
1.填空题
1.设A,B,C是三个随机事件,试用A,B,C的运算关系表述下述随机事件:
(1){A,B至少一个发生,C不发生}= ;
(2){A,B,C都不发生}= ;
(3){A发生,B,C至少一个不发生}= .
2.若A+B=U,AB=∅,则A是B的 ,P(A)= .
3.若
= .
4.设二事件A,B,已知
则P(A+B)= .
5.已知产品的合格品率是90%,一级品率是72%,那么合格品中的一级品率是 .
6.设事件组A1,A2,…,An满足:
(1) ,且P(Ak)≠0,k=1,2,…,n;
(2)A1+A2+…+An=U(完全性),则对任一事件B都有
1.
(1)(A+B)
;
(2)
;(3)A(
).2.对立事件,1-P(B)
3.P(B);4.
;5.80%;6.A1,A2,…,An互不相容
2.单选题
1.抽查10件产品,设A={至少2件次品},则A=( )
(A){至多2件次品};(B){至多1件次品};(C){至多2件正品};(D){至少2件正品}
2.掷两颗均匀的骰子,出现“点数和为3”的概率是( )
3.据统计,某地区一年中下雨(记作事件A)的概率是
,刮风(三级以上的风)(记作事件B)的概率是
,既刮风又下雨的概率是
.则下列各式正确的是( )
4.设A,B为两个任意事件,则P(A+B)=( )
(A)P(A)+P(B);(B)P(A)+P(B)-P(A)P(B);
(C)P(A)+P(B)-P(AB);(D)P(A)+P(B)[1-P(A)]
5.设A,B为两个随机事件,那么三个概率值P(A+B),P(AB),P(A)+P(B)由小到大的顺序是( )
(A)P(AB)≤P(A+B)≤P(A)+P(B)(B)P(A)+P(B)≤P(AB)≤P(A+B)
(C)P(A+B)≤P(AB)≤P(A)+P(B)(D)P(AB)≤P(A)+P(B)≤P(A+B)
1.B 2.D 3.D 4.C 5.A
三、多选题
1.设二事件A,B满足AB=∅,则( )
(A) A与B互不相容;(B)P(A+B)=P(A)+P(B)
(C)P(AB)=0;(D)A与B独立
2.设二事件A,B满足P(A∣B)=P(A),则( )
(A)A与B互不相容;(B)A与B相互独立;(C)P(AB)=P(A)P(B);(D)
3.若事件A,B满足A⊂B,则( )
(A)P(A+B)=P(A);(B)P(B-A)=P(B)-P(A)
(C)P(AB)=P(A);(D)P(A+B)=P(B)
4.若事件A与B独立,则( )成立.
(A)P(AB)=P(A)P(B) ;(B)P(AB)=P(A)P(B)
(C)P(AB)=P(A)P(B) ;(D)P(AB)=P(A)P(B)
5.以下结论成立的是( )
(A) A+B=U,则P(A)+P(B)=1(B)U与∅是对立事件
(C)P(A+A)=P(A)(D)P(2A)=2P(A)
6.全概率公式叙述正确的是( )
(A)如果事件A1,A2,…,An满足:
(1)A1,A2,…,An互不相容,而且P(Ak)>0(k=1,2,…,n);
(2)A1+A2+…+An=U(完全性),
则对任一事件B都有
(B)如果事件A1,A2,…,An满足:
(1)A1,A2,…,An互不相容,而且P(Ak)>0(k=1,2,…,n);
(2)A1+A2+…+An=U(完全性),
则对任一事件B都有
(C)如果事件A1,A2,…,An满足:
(1)A1,A2,…,An互不相容,
(2)P(Ak)>0(k=1,2,…,n);
则对任一事件B⊂A1+A2+…+An,都有
(D)如果事件A1,A2,…,An满足:
(1)A1,A2,…,An互不相容,而且P(Ak)≠0(k=1,2,…,n);
(2)A1+A2+…+An=U(完全性),
7.已知事件A1,A2,…,An,下列关于事件A1,A2,…,An的各条件中不是全概率公式所要求的条件为( )
(A)事件A1,A2,…,An互不相容;(B)事件Ak满足P(Ak)>0(k=1,2,…,n);
(C)事件A1,A2,…,An互相独立 ;(D)事件Ak(k=1,2,…,n)满足A1+A2+…+An=U
1.ABC 2.BCD 3.BCD 4.ABCD 5.BC 6.BCD 7.ABD
4.配伍题
1.关于概率公式,
(A)设事件A,B互为对立事件,则有 ①P(A+B)=P(A)+P(B),P(A+B)≤1
(B) 设事件A,B互不相容,则有 ②P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
(C)设A,B是两个相互独立事件,则有 ③P(A)=1-P(B)
2.袋中有4个红球,2个白球,从中无放回地每次取1球,连续取两次,
(A) 第一次取得红球,第二次取得白球的概率是 ;①
(B) 两次都取到白球的概率是;②
(C) 两次取到红球的概率是;③
3.甲,乙二人打靶,令A={甲中靶},B={乙中靶},
(A)只有甲中靶表示为;①AB
(B)靶被射中表示为 ;②A+B
(C)甲,乙二人均中靶表示为 ;③AB
4.做棉花方格育苗试验,每方格种两粒种子,棉籽的发芽率是0.9,则
(A) 两粒种子都发芽的概率是;①0.01
(B) 至少有一粒种子发芽的概率是;②0.81
(C) 两粒种子都不发芽的概率是;③0.99
5.设A,B是两个随机事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(AB)=0.3,则
(A) P(A+B)= ;①0.6;(B) P(A∣B)= ;②0.75
(C) P(A∣B)=;③
6.设事件组A1,A2,A3,并设条件
(1)A1,A2,A3互不相容;
(2)A1+A2+A3=U(完全性);
(3)A1,A2,A3互相独立;(4)P(Ak)>0,k=1,2,3;(5)A1,A2,A3⊂U
以下结论成立的或是完美搭配的(不需再化简,并用A1,A2,A3的概率表示)是
(A)若满足条件(4)+(5),则①P(A1A2A3)=(1-P(A1))(1-P(A2))(1-P(A3))
(B)若满足条件
(1)+
(2)+(4),则②P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)
(C)若满足条件(3),则;③对任意事件B,有
1.(A)③\(B)①\(C)②;2.(A)②\(B)①\(C)③
3.(A)③\(B)②\(C)①;4.(A)②\(B)③\(C)①
5.(A)①\(B)②\(C)③;6.(A)②\(B)③\(C)①
5.是非题
1. 随机事件A、B满足运算律
2.从图书馆的书架上随机取下一本书,记A={数学书},B={中文版书}.则事件AB表示外文版数学书.
3.如果事件A+B=U,则A,B互为对立事件.
4.已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,则P(AB)=0.5×0.4.
5.事件A与∅互不相容.
6.设事件组A1,A2,…,An满足:
(1)A1,A2,…,An互不相容;
(2)A1+A2+…+An=U(完全性),则对任一事件B都有
1.×; 2.√; 3.×; 4.×; 5.√; 6.×;
6.计算题
1.设G表示认为购买股票是合适的投资,Z表示认为购买债券是合适的投资.用字母符号写出以下的表达式或用文字表述下列的表达式.
(1)认为购买股票是合适的投资,而购买债券不是合适的投资;
(2)P(G);
(3)GZ.
2.某产品的设计长度为20cm,规定误差不超过0.5cm为合格品,今对一批产品进行测量,测得长度如下表:
长度(cm)
19.5以下
19.5~20.5
20.5以上
件 数
5
68
7
试计算这批产品的合格率.
3.已知某射手一次射击中靶为6,7,8,9,10环的概率分别是0.19,0.18,0.17,0.16,0.15.该射手射击一次,求
(1) 至少射中8环的概率;
(2)至多射中8环的概率.
4.加工某产品需要两道工序,如果每道工序加工的产品合格的概率为0.95,求至少一道工序加工的产品不合格的概率.
5.期末要进行政治经济学和经济数学基础课程的考试,一个学生自己估计能通过数学考试的概率是0.6,能通过政治经济学考试的概率是0.7,至少通过两科之一的概率是0.8.求他两科考试都能通过的概率.又若他提前知道了政治经济学已通过,则他此时估计数学考试也能通过的概率是多少?
6.假设二事件A,B独立,已知P(A)=0.6,P(AB)=0.3,求P(B).
7.假设事件A,B独立,已知P(B)=0.2,P(A+B)=0.3,求P(A).
8.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别占全厂产量的45%,35%,20%.如果各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从待出厂的产品中任意抽取1件进行检验,求所抽产品是次品的概率.
1.
(1)GZ;
(2)认为购买股票不合适的概率.;(3)购买股票和债券都合适.
2.0.85;3.
(1)0.48
(2)0.69;4.0.0975;5.≈0.71
6.0.5;7.P(A)=0.125;8.0.035
七.证明题
1.证明:
P(A-B)=P(A)-P(AB).
2.设事件A与B相互独立,证明:
事件A与B相互独立.
1.证明:
因为 A=AU=A(B+B)=AB+AB ;所以 A-B=A-AB;
所以P(AB)=P(A-AB);有 P(A-B)=P(A-AB)
又因为 AB⊂A
由概率的性质3,那么P(A-AB)=P(A)-P(AB),所以 P(A-B)=P(A)-P(AB)
2.证明
事件A与B独立,有P(AB)=P(A)P(B)
因为B=U-B 所以 AB=A(U-B)=AU-AB=A-AB
于是有 P(AB)=P(A-AB);又 AB⊂A
由概率的性质3:
P(A-AB)=P(A)-P(AB)
=P(A)-P(A)P(B)(事件A,B独立)
=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)(事件B与B互为对立事件)
即P(AB)=P(A)P(B);由事件独立的定义,可知事件A与B独立.