高等几何周兴和答案Word格式.docx
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↖（pa，a）＞（pa，m）
仿射几何欧氏几何
（﹥绝对子几何关系←相对子几何关系=伴随关系）
以上的这个图式使几何学的关系一目了然。
在其基础上我们通过类比得出各种几何学的研究内容、变换群、空间的联系与区别。
这时与第一个图表进行类比，会有种融会贯通的感觉，从一开始学的茫然到现在的成竹在胸，我们正是利用概念图进行前后知识的类比学习，将新知识转化为认知结构中的相关概念。
（二）表解式法
非齐次坐标
关系
齐次坐标
有穷远点
（x,y）
x=x1/x2,y=y1/y2
（x1,x2,x3）
x3≠0
无穷
方向为k的无穷远点
／
（x1,x2,0）
x1≠0
远点
y轴上的无穷远点
／
（0,x2,0）
x2≠0
齐次坐标的引入和以前的非齐次坐标类比学习，比较异同，深刻理解了齐次坐标的意义。
再如对几何学的归纳：
名称
射影几何
仿射几何
抛物几何
欧氏几何
相应的变换群
射影群
仿射群
相似群
运动群
变换式
lx1=a11x1+a12x2+a13x3
lx2=a21x1+a22x2+a23x3
lx3=a31x1+a32x2+a13x3
︳aij︳≠0
x=a11x+a12y+a13
y=a12x+a22y+a23
（a11a22-a12a12）≠0
x=ax-by+c1
y=bx+ay+c2
a^2+b^2=c^2≠0
a^2+b^2=1
参数数目
8
6
4
3
研究对象
射影性质，射影不变量
仿射性质，仿射不变量及左栏内容
相似性质，相似不变量及左栏内容
度量性质，度量不变量及左栏内容
基本不变性
接合性
平行性
相似形
合同性
基本不变量
交比
简单比
线段之比
距离
基本不变图形
无限远直线
线段（指长度）
此表的类比更为详细，对表中信息的掌握对于整个高等几何学习起到了事半功倍的效果。
三．问题的推广。
类比学习对于我们掌握新知识无疑起着置关重要的作用，但类比学习仅止于此吗？
答案是否定的。
类比学习更大的益处在于对知识的推广。
我们知道由类比推理所得到的结论不一定准确无误，这就需要我们发现结论，探索方法，对进行类比后得到的信息加以严格证明，运用类比联想的方法指导数学学习。
在此我们以pascal定理为例。
pascal定理为：
内接于非退化二阶曲线的简单六点形的三双对边的交点共线，此线称为pascal线。
学习到这一部分，看到pascal线的构成不禁让我们联系到前面所学的pappus线。
它们在构成上的相似处，是不是预示着它们之间的某种联系呢？
这就是类比学习带给我们的疑问，对此我们要加以严格证明。
其实非常简单，我们只要把pappus定理中的两共面相异直线看成pascal定理中非退化二阶曲线的退化形式，即可应用pascal定理得证。
所以pappus线应该是pascal线的特殊形式。
相信在掌握了pascal线后pappus线应该很容易记住。
同时在类比学习过程中，我们又有了新的疑问：
pappus线只有一条，pascal线是不是也只有一条呢？
我们需要加以严格证明。
这次答案是否定的。
我们可以证明：
由于六个顶点有不同的取法，六点形能决定的pascal线达60条！
事实又一次证明pappus线只是pascal线的一种特例。
再举一例。
△abc的三内角的角平分线交对边于d，e，f；
设bc，ef交于l；
ca，fd交于m；
ab，de交于n，试用desargues定理证明l，m，n共线。
另一题：
△abc的三条高线为ad，be，cf，设bc，ef交于x；
ca，fd交于y；
ab，de交于z。
试证x，y，z三点共线。
观察这两题，发现它们的相似之处：
前者是角平分线后者是高线，其它的条件都一样，而且要求证明的也一样。
那么由它们能不能得到一些结论呢？
这是我们要在类比学习中思考的。
经过严格证明，我们将这个问题作出推广：
对于△abc中的任意三条共点于o的直线ad，be，cf，它们分别与对边交于d，e，f，又ab，de交于z；
bc，ef交于x；
ca，fd交于y，则x，y，z三点共线。
以上这两例让我们看到了类比学习对于学习者加深理解、提高观点、培养举一反三能力的优越之处。
四．总结。
类比学习在数学学习中，尤其在几何学习中，有着它独特之处。
它利于我们培养数学的
逻辑推理性，空间想象力。
参考文献:
1.张传伟.数学中知识图式在教与学中的意义.数学通报,2004,10
2.程国红.中学数学教学中应贯彻知识与认知相结合的原则.数学通报,2003,4
3.毛澍芬,沈世明.射影几何.上海科学技术文献出版社,1985
4.周兴和.高等几何.科学出版社,2003
【篇二：
极点与极线背景下的高考试题】
xt>
王文彬
（江西省抚州市第一中学344000）
极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.
作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.
1.从几何角度看极点与极线
定义1如图1，设p是不在圆锥曲线上的一点，过p点引
两条割线依次交圆锥曲线于四点e,f,g,h，连接eh,fg
交于n，连接eg,fh交于m，则直线mn为点p对应的极线.
若p为圆锥曲线上的点，则过p点的切线即为极线.
由图1同理可知，pm为点n对应的极线，pn为点m所
对应的极线.因而将mnp称为自极三点形.设直线mn交圆锥曲线于点a,b两点，则pa,pb恰为圆锥曲线的两条切线.
定理1
（1）当p在圆锥曲线?
上时，则点p的极线是曲线
图1?
在p点处的切线；
（2）当p在?
外时，过点p作?
的两条切线，设其切点分别为a,b，则点p的极线是直线ab（即切点弦所在的直线）；
（3）当p在?
内时，过点p任作一割线交?
于a,b，设?
在a,b处的切线交于点q，则点p的极线是动点q的轨迹.
定理2如图2，设点p关于圆锥曲线?
的极线为l，过点p任作一割线交?
于a,b，
papb
?
交l于q，则①；
反之，若有①成立，则称点p,q调和分割线段ab，或称点aqbq
p与q关于?
调和共轭，或称点p（或点q）关于圆锥曲线?
的调和共轭点为点q（或点p）.点p关于圆锥曲线?
的调
和共轭点是一条直线，这条直线就是点p的极线.
推论1如图2，设点p关于圆锥曲线?
的调和共轭211?
?
点为点q，则有②；
反之，若有②成立，pqpapb则点p与q关于?
调和共轭.图2
可以证明①与②是等价的.事实上，由①有
aqbqpq?
papb?
pqpqpq11
1?
pq?
（?
）?
2papbpapbpapbpapb211?
.
pqpapb
特别地，我们还有
推论2如图3，设点p关于有心圆锥曲线?
（设其中心为o）的调和共轭点为点q，
pq连线经过圆锥曲线的中心，则有or2?
op?
oq，反之若有此式成立，则点p与q关于?
调和共轭.
证明：
设直线pq与?
的另一交点为r?
，则
prpr?
orop?
or
，化简?
rqr?
qor?
oqor?
oq即可得or2?
oq.反之由此式可推出
，即点p与q关于?
调和共轭.?
rqr?
q
推论3如图4，a,b圆锥曲线?
的一条
r
图3对称轴l上的两点（不在?
上），若a,b关于?
调
和共轭，过b任作?
的一条割线，交?
于p,q两点，则?
pab?
qab.
因?
关于直线l对称，故在?
上存在
p,q的对称点p?
q?
.若p?
与q重合，则q?
与p
也重合，此时p,q关于l对称，有?
qab；
若p?
与q不重合，则q?
与p也不重合，由于a,b
关于?
调和共轭，故a,b为?
上完全四点形pq?
qp?
的对边交点，即q?
在pa上，故ap,aq关于直线lr4图对称，也有?
定理3（配极原则）点p关于圆锥曲线?
的极线p经过点q?
点q关于?
的极线q经过点p；
直线p关于?
的极点p在直线q上?
直线q关于?
的极点q在直线p上.
由此可知，共线点的极线必共点；
共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.
2.从代数角度看极点与极线
定义2已知圆锥曲线?
:
ax2?
cy2?
2dx?
2ey?
f?
0，则称点p（x0,y0）和直线
l:
ax0x?
cy0y?
d（x?
x0）?
e（y?
y0）?
0是圆锥曲线?
的一对极点和极线.
x?
x22
事实上，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x，以0替换x，以y0y替换y，以
2
y0?
y
替换y即可得到点p（x0,y0）的极线方程.2
特别地：
xxyyx2y2
（1）对于椭圆2?
2?
1，与点p（x0,y0）对应的极线方程为02?
02?
1；
abab
（2）对于双曲线2?
（3）对于抛物线y?
2px，与点p（x0,y0）对应的极线方程为y0y?
p（x0?
x）.
x2y2
（4）如果圆锥曲线是椭圆2?
1，当p（x0,y0）为其焦点f（c,0）时，极线恰为椭圆
ab
的准线；
如果圆锥曲线是双曲线2?
1，当p（x0,y0）为其焦点f（c,0）时，极线恰为
p2
双曲线的准线；
如果圆锥曲线是抛物线y?
2px，当p（x0,y0）为其焦点f（,0）时，极线
2
恰为抛物线的准线.
3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题
1【例1】
（2010江苏卷文理18）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95
的左右顶点为a,b，右焦点为f．设过点t（t,m）的直线ta,tb与此椭圆分别交于点m（x1,y1）,n（x2,y2），其中m?
0，y1?
0，y2?
0．
（1）设动点p满足pf?
pb?
4，求点p的轨迹；
分析与解：
前面两问比较简单，这里从略.对于（3），当t?
9时，t点坐标为（9,m），
1
，求点t的坐标；
（3）设t?
9，求证：
直线mn必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
（2）设x1?
2，x2?
图5
m）
连mn，设直线ab与mn的交点为k，根据极点与极线的定义可知，点t对应的极线经过k，又点t对应的极线方程为
9?
xm?
1，即95
m?
1，此直线恒过x轴上的定点k（1,0），5
从而直线mn也恒过定点k（1,0）.x?
【例2】（2008安徽卷理22）设椭圆c:
1（a?
b?
0）过点m），且左焦
ab
点为f1（.
（1）求椭圆c的方程；
（2）当过点p（4,1）的动直线l与椭圆c交于两个不同的点a,b时，在线段ab上取点q，满足ap?
qb?
aq?
pb，证明点q
1.分析与解：
（1）易求得答案42
（2）由条件可有，说明点p,q关于?
aqbq
圆锥曲线c调和共轭.根据定理2，点q的轨迹就是点
4?
x1?
y?
1，化简得2x?
0.42
故点q总在定直线2x?
0上.p对应的极线，即
图6
x2y2xy?
1，直线l:
1，p是l上一【例3】
（1995全国卷理26）已知椭圆c:
1282416
点，射线op交椭圆于点r，又点q在op上且满足oq?
or，当点p在l上移
动时，求点q的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.
由条件知or?
oq可知点p,q关于圆锥曲线c调和共轭，而点q可看作是点p的极线与直线op的交点.
设p（12t,8?
8t），则与p对应的极线方程为
12t?
x（8?
8t）?
1，化简得2416
2③tx?
（1?
t）y?
8?
8t
x，化简得又直线op的方程为y?
12t
2?
2ty?
x④
3t
解由③④联立方程组得
x
6t?
（x?
1）2（y?
1）2?
5t2?
4t?
222
1（x,y，消去t得2x?
3y?
4x?
6y，可化为?
4?
x?
23?
不同时为0），故点q的轨迹是以（1,1）为中心，
轴的椭圆，但需去掉坐标原点.
【例4】
（2006年全国卷ii理21）已知抛物线x2?
4y的焦点为f，a,b是抛物线上的两动点，且af?
fb
0），过a,b两点分别作抛物线的切线，并设其交点
为p.
（1）证明fp?
ab为定值；
（2）设?
abp的面积为s，写出s?
f（?
）的表达式，并求s的最小值.
图8
（1）显然，点p的极线为ab，故可设点p（x0,?
1），再设a（x）f,a,b三点对应的极线方程分别为y?
1，1,y1）,b（x2,y2，
图7
，且长轴平行于x
x1x?
2（y1?
y），x2x?
2（y2?
y），由于a,b,f三点共线，故相应的三极线共点于
x1x0?
1）
，两式相减得p（x0,?
1），将y?
1代入后面两个极线方程得?
xx?
2（y?
20
（x1?
x2）x0?
y2）.
又fp?
（x0,?
2）,ab?
（x2?
x1,y2?
y1），故fp?
ab?
x0（x2?
x1）?
y1）?
0.
（2）设ab的方程为y?
kx?
1，与抛物线的极线方程x0x?
2（y0?
y）对比可知直线ab对应的极点为p（2k,?
1），把y?
1代入x?
4y并由弦长公式得ab?
4（1?
k），所
abfp?
2（1?
k2.2
显然，当k?
0时，s取最小值4.
【例5】
（2005江西卷理22）设抛物线c:
x的焦点为f，动点p在直线l:
0上运动，过p作抛物线的两条切线pa,pb，且与抛物线分别相切于a,b两点.
（1）求?
apb的重心g的轨迹方程；
（2）证明?
pfa?
pfb.
（1）设点p（x0,y0）,a（x1,y1）,b（x2,y2），
以s?
abp?
图9
y0?
y1
x0x对比可知直线l:
0对应的极点为（,2），p为直线l上的动点，22
则点p对应的极线ab必恒过点（,2）.
ky?
21k设ab:
k（x?
），可化为?
x，故直线ab对应的极点为
222
kkk
p（,?
2），将直线ab的方程代入抛物线方程得x2?
0，由此得222
x1?
x2?
k,ykx1）?
k?
k，?
apb的重心g的轨迹方程为1?
y2?
与
kk?
12?
332
，消去k即得?
kkk?
y1?
2k2?
333?
1
y?
（4x2?
2）.
k1
（2）设a（x1,x12）,b（x2,x22），由
（1）知x1?
k,x1x2?
2，又f（0,），由
（1）知
24
xx?
xkk11
2），即p（12,x1x2），所以fa?
（x1,x12?
），fp?
（12,x1x2?
），222424
fb?
（x2,x22?
）.
x211111
（x1x2?
）（x12?
）（x1x2?
）x1x2?
fp?
fa?
44?
4.cos?
12fp?
fafpfp（x?
）1
41x1x2?
fb4.同理cos?
pfb?
fp?
fbfp
所以有?
参考文献
【1】周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9
【2】李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［j］，2012（4）下半月
【篇三：
t>
一．问题的提出。
二．问题的解决。
（一）概念图法
认知心理学的研究指出，对知识的表征能力强弱是能否
习得知识的关键，而快速形成正确的表征需要以知识图式为基础，这些知识图式是通过样例的学习建立起来的，往往结合了大量的学科知识和程序性知识，它可以是对知识的理解或表征类型化。
欧氏几何（研究图形正交变换不变性的科学）
接
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