《连续介质力学》期末复习提纲弹性力学部分docxWord格式.docx
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旧坐标系：
ox[兀込尹丘，仔，£
新坐标系：
州兀姿戸心乙列
变换系数：
e[・e尸（3
坐标变换关系：
X，i-0ijXjxt=0jXj0厂（角）T
矩阵形式为：
011012013
0110】2013
X
*
=
021022023
兀2
或[耳,兀;
堪]=[西，兀2,兀3]
A.几2A.3_
_^3_
.031032033.
A
—
%；
或[西，吃，兀3]=[X，%；
，兀；
]
_031032033_
张量情形
入芋与A“•是两个二阶张量，角是坐标变换系数矩阵，则有
気=炕0“九
矩阵形式为[匍=[0]|?
]|>
]，其中[aJ=[a]t（★）
9、张量的基本代数运算
（1）张量的相等
（2）张量的加减法
（3）张量的乘积
（4）张量的缩并
（5）张量的内积（★）
（6）张量的商法则
10、几中特殊形式的张量
（1）零张量
（2）单位张量
（3）转置张量
（4）逆张量
（5）正交张量
（6）二阶对称张量与二阶反对称张量（★）
=*（每+心）+*（州一％）
对称部分反对称部分
若％•为对称二阶张量，则勺辺=0
（7）球张量与偏张量
Ay=|AkkSij+（4/_|A3j）
球张虽偏怅虽
（8）各向同性张量
a.零阶各向同性张量形式：
标量
b.一阶各向同性张量形式：
零向量
c.二阶各向同性张量形式：
傀=呱,o为任意标量
d.三阶各向同性张量形式：
Bijk=/3eijk.0为任意标量
e.
2、“为常数（★）
四阶各向同性张量形式：
C购=2第爲+“@易+爲务）,
11、二阶对称张量的特征值与特征向量（★）
特征值久与特征向量"
所满足的方程组：
（★）
（片一A）/2]+T]2n2+7j3n3=0
（场-鸥）®
=0O©
q+（乓_小2+T23n3=°
»
7^]M|4-7^2^2+（可3—几）斤3=°
7]厂几
忆•一鸥|=0oT2l
计算特征值2的方程：
计算特征向量"
的方程：
（Tf-A）2-f-T耳2十丁nO（
（£
•厂久5莎=■卩十7（-2An）+Tn巧宅
=1J芯卩tT如+2/-么"
=P
第I、II与III不变量的直接计算公式：
1=TU=TXX+T22+T33
II⑺血-7；
再）胡禺2+T22T33+石/厂莖一泾一兀
III=det（7?
）=人［石2召3+久2呂3石I+刁3石禺2-”禺3巧2-久2厶石3-刁3石2石1
利用三个特征向量计算三个不变量的公式：
I=厶=入+入+入
III=det®
）=人人入
12、张量分析简介
（1）Hamilton微分算子V（★）
笛卡尔坐标系屮，V的定义为
V2
a2
若比为标量函数，则梯度:
若“为矢量函数，则散度:
若比为矢量函数，则旋度:
设U为标量函数，43为矢量函数，C为常矢量，则有
1V-（wC）=VwC
2Nx（wC）=VwxC
3▽•G4xB）=B・（VxA）—A（VxB）
4V-（Vw）=V2w
5（V-V）A=V2A
@Vx（Vw）=0
⑦V-（VxA）=0
⑧Vx（VxA）=V（V-A）-V2A
（2）Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系
在笛卡尔坐标系屮，Laplace微分算子定义为：
△=2+厶+2_
ox2ox^
Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系:
（3）三矢量的混合积及其几何意义（★）
平行六面体的体积。
（4）散度定理（★）
某一矢量散度的体积分等丁•该矢量穿过该体积封闭表面的总通量。
设空间区域V具有分片光滑的封闭边界面S,n=n&
为S的外法向单位向量，向
量场u（x.t）在V内具有连续的偏导数，则高斯散度定理为
£
V•udV=%°
ndS
—弹性体运动与变形基本理询
1、内力与外力（★）
2、应力与应变（★）
3、轴向应变与横向应变（★）
4、正应力与剪应力（★）
5、体积膨胀率或体积应变（★）
6、杨氏模量（弹性模量）、泊松比、体积模量与剪切模量（★）
7、弹性波、波速及波阵面
8、纵波、横波、体波与面波
9、弹性动力学基本假设及其数学物理含义（★）
讷Q，=uiH申cqjdx）+e-dx
JJJJ
\宀1die
©
=亍5弼或©
=空5莎
18、过一点的两线元变形前后夹角的变化（假设单位向量为n=niei,n=niei）
变形前夹角余弦：
cosa=qq
变形后夹角余弦：
cosa=2qqj?
+（1_w_€）叫叫=le^n.+（1—w—w）cosa
19、小变形应变张量的几何解释（★）
20、主应变与应变不变量（★）
（1）主应变与主方向的概念
（2）主应变与应变不变量的计算
主应变弓与主方向〃所满足的方程组：
0]-e）q+e12n-^et
（勺厂妙亍°
02《卩+（纟2一PP+纟3
勺"
古e3^e^3）eZK
计算主应变弓的方程：
ell~e
eif—e%=0oe2l
e3\
计算主方向〃的方程：
应变张量第I、II与Ill不变量的直接计算公式：
I=色=印+幺22+幺33
11=亍（◎勺_旬旬）=片向2+勺2幺33+幺33勺1_必_幺;
3_勺；
III=det（勺）=弓］丘22*33+*12*23*31+弓3*2】勺2—弓1*23*32—弓2*21*33—弓3*22*31
利用三个主应变计算三个不变量的公式：
I二弓+勺+勺
HI=det（勺）=弓幺2幺3
21、相容性条件的物理意义（★）
22、如何由应变场通过积分方法求解位移场
23、应变球张量与应变偏张量
三、应力分析基本理论
1、体力与面力
2、Cauchy应力原理
3、应力向量
应力向量：
t（n.x.t）=-（71,x,t）e（
正应力：
rn=t-n=-叫
剪应力
4、应力张量©
（★）
5、Cauchy应力公式（★）
tt=Tijnj
止应力：
rn=
6、运动微分方程与边界条件
（1）运动微分方程（★）:
+pfj=pUi
（2）平衡微分方程（★）:
r.（jj+pf.=O
（3）剪应力互等定理（★人r..=r..
（4）应力边界条件
应力边界值为：
ti=r.
7、主应力及应力不变量（★）
（1）主平面、主方向与主应力
（2）主应力与主方向的计算（★）
主应力7■与主方向〃所满足的方程组：
（耳厂〃]+厂“左「厲3$
（T..-t3^1亍Ou>
2卬2|+（爲2一血2+珂3*
计算主应力&
（斤]一厂）2）i-r力+歹nn亿厂r弟亍?
。
卩卩古巩厂工刃）+歹方
=1（fT冬2+2$一#3”=
应力张量第I、II与III不变量的直接计算公式：
II=㊁訐jj-Tijrij^~rnr22r22r33+厂33巧1一「12—T23~T\3
III=det（r^.）=斤&
22厂33+ri2r23r3l+可3厂21^32—可1^23^32—右2^21「33—^13^22^31
利用三个主应力计算三个不变量的公式：
I=r..=r,+r2+r3
II=?
■苗2+55+
III=det（r^）=^^7-3
（3）主应力的性质
8、应力球张量与应力偏张量
1、数学预备：
功与应变能
动能密度：
k=-puiui（★）
Green公式:
r..=
2、各向同性线弹性体的广义胡克定律（本构方程）
（1）广义胡克定律的一般形式：
s=Gjk&
j
（2）各向同性线弹性体（或理想弹性体）的广义胡克定律（★）
应变表示应力：
Tg=入眦）+2“勺，&
=骸
应力表示应变:
，丄厂如——8..
"
2“y2“（32+2“）"
体积膨胀率与应力的关系：
e=—；
—r,
3/1+2“
（3）线弹性体的应变能密度（★）:
W=|r.e..
（4）各向同性线弹性体的应变能密度函数（★人W=-W2+/.ie.e..
（5）物理常数E、I/、G、R与拉梅常数2、“之间的关系
“（32+2“A-Ev
E=,v=,X=
2+“2（2+“）（l+v）（l-2v）
E小.32+2/zE
//=,Cj—JLlK——
2（”33（1-2v）
（6）各弹性参数的取值范围
实际地球岩石的泊松比“=0.25,通常称为泊松材料。
utO.5时，材料成为不可压缩体。
3、各向异性体的广义胡克定律
（1）极端各向异性体
a.极端各向异性体的特征（★）
b.极端各向异性体的广义胡克定律
（2）止交各向异性体
a.弹性对称面与弹性主方向
b.正交各向异性体的特征（★）
c.正交各向异性体的广义胡克定律
（3）横向各向同性体
a.各向同性面
b.横向各向同性体的特征（★）
c.横向各向同性体的广义胡克定律
|五、线性弹性动力学问题的提法
1、线弹性动力学基本方程（★）
（1）运动微分方程（或平衡微分方程）
Gj卞Pf〒pu或%+Q/；
=0
（2）儿何方程（应变■位移关系）
1
=*（坷j+u“）
（du；
du.
en=+—-
2（dXjdxi
（3）本构方程（应力■应变关系）
知=2〃毋2弘，&
=弘
e.=—r..8
2“"
②（％+位为
2、边界条件与初始条件（定解条件）
（1）边界条件
位移边界条件:
应力边界条件：
rijnj=[
（2）初始条件
位移初始条件:
uf=ui{0）
速度初始条件:
比=%）
3、线弹性动力学问题的提法
（1）用位移场表示的运动微分方程（★）
a.标量形式的Navier方程
叫JJ+（几+心“+pfi=p^i
b.矢量形式的Navier方程（★）
则有
//V2w#兄+》p切）.pf
（2+2〃vw）卫yx耐
S+2/P
<
P丿
V（Vw）--x（V
P
d2u
m4
7dr
cI2V（V.W）-4Vx（VxW）+/&
2
其中，q为纵波相速度，a》为横波相速度。
（2）边界条件的处理
（3）线弹性动力学定解问题的提法
5、二维运动问题
6、能量密度与能通量密度向量及其物理含义（★）
能量密度：
11
——rT—puii-
2JJ2能通量密度向量：
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