最新二次函数知识点讲义优秀名师资料Word文件下载.docx
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5顶点:
4增减性:
3
2
1
1210864224681012极值:
1
【四】二次函数图像的画法
五点法:
1、先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，
并用虚线画出对称轴
2y,ax，bx，c2、求抛物线与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
1
6141210864224681012
15
M24
D33C
42
25y=x2?
x31
61210864224681012AB71
822y=x2?
x393CD104M115
6
请根据给出的已知点画出下面的二次函数的图像。
48
37
26
1M5
4141210864224681012AB13CD22CD31M
4141210864224681012
51
62
73
84
2
【四】二次函数的性质表达
82y=2?
x4?
x5
62开口方向:
y=2?
对称轴:
4顶点:
2增减性:
1510551015
极值:
2y=2?
x54
6
【五】二次函数三种形式的图像草图画法。
2hka,01、顶点式:
x=-27
（2，6）6
25y=2?
（）x2+6
4
32y=2?
（）x+2+12
1（-2，1）
108642246810
1x=2
222y=2?
（）x2+6y=2?
（）x+2+1
开口方向:
对称轴:
顶点:
顶点:
3
增减性:
增减性:
总结:
2练习:
请画出y=3（x+2）-3的草图。
1510551015
8
2ba,0yaxbxc,，，ac1、一般式:
（，，为常数，）;
22y=2?
x8?
x7
108642246810对称轴:
4
2y=2?
x72增减性:
3
5
7
22y,ax，bx，c二次函数用配方法可化成:
的，，y,ax,h，k
形式，即:
2练习:
请画出y=x-2x+3的草图。
8
a,0x3、两根式:
yaxxxx,,,（）（）（，x，x是抛物线与轴两1212
交点的横坐标）.
5
1y=2?
（）x2?
（）x4
2y=3?
（）x+3?
（）x+1
y=3?
（）x+1y=2?
练习:
请画出y=2（x-2）（x+4）的草图。
画出下列二次函数的草图。
2（y=x1-3x+28
22.y=-（x+2）-3
4
3.y=2（x+2）（x-4）
2yy,x,3x，2xx例:
二次函数，当,1时，,___________;
与轴的
7
y交点坐标是__________，与轴的交点坐标是_______;
对称轴是__________顶点坐标是__________
2yy,x,4x，3x1.物线，与轴的交点坐标是________，与轴的交点
x坐标是_______;
对称轴是__________顶点坐标是__________当,
y________时，,3（
yx2、y=-3（x+2）（x-4），与轴的交点坐标是________，与轴的交点（4）坐标是_______;
2yx（x+2）-3，与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标是3、y=-
_______;
2yx4、y=-2x-3，与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标是_______;
对称轴是__________顶点坐标是__________画出草图为:
22y,x，（m,2）x，m,45、抛物线的顶点在原点，则m=
6、如图抛物线对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点,若B点的坐标
3是（,0）,则A点的坐标是
237、已知抛物线y=（x-4）-3的部分图像（如图）图像再次与x轴相交时的坐标是（）
（A）（5，0）（B）（6，0）（C）（7，0）（D）（8，0）
1221，，y,x，,,2,yy,2,y23128、已知点A（1,）、B（）、C（）在函数
yyy321上，则、、的大小关系是（）
yyyyyy332211A,,B,,
yyyyyy332211C,,D,,
22y,（m,2）x，2mx，19、开口向下的抛物线的对称轴经过
m,点（,1，3），则_______。
2y,ax，bx，c10、抛物线上有两点（3，—8）和（—5，—8），
9
则对称轴是。
2y,（m,1）x,2mx，3m,211、已知二次函数，
则当m=时，其最大值为0.
【六】二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
2,,b,4ac因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>
0时，图像与x轴有两个交点;
当=0时，图像与x轴有一个交点;
当<
0时，图像与x轴没有交点。
函222y,x,2x,3y,x,6x，9y,x,2x，3,,,（>
0）（=0）（<
0）数=-0.38xOyx,x-2,x-3=-2.10OOO11yy711222-2x-3y=x-2x+3y=x-6x+9y=x1061095984=-0.22xO8x,x-2,x+3=3.48，，OOO7=1.58x3Ox,x-6,x+9=2.02，，OOO762图6515象4-8-6-4-224681012xO43-132-221-31-4-8-6-4-224681012xO-1-8-6-4-224681012-5xO
交
xxx点与轴交点坐标是与轴交点坐标是与轴交点坐标是
2y,x,2kx，9k例:
已知抛物线的顶点在x轴上，则,
10
____________（
2y,kx，2x,1kx练习:
1、已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________（
2ax，bx，c,02.如图，一元二次方程的解为_______。
2ax，bx，c,33.如图，一元二次方程的解为_______。
（5）
4、利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
2ax，bx，c,0
（1）方程的根为__________;
2axbxc，，,,3
（2）方程的根为__________;
2axbxc，，,,4（3）方程的根为__________;
2axbxc，，,0（4）不等式的解集为________;
2axbxc，，,0（5）不等式的解集为________;
2【七】二次函数中，y,ax，bx，c（a,b,c是常数，a,0）a、b、c的含义
aa表示开口方向:
>
0时，抛物线开口向上
a<
0时，抛物线开口向下
11
bb与对称轴有关:
对称轴为x=,2a
表示抛物线与y轴的交点坐标:
（0，）cc
y=2?
x423?
22y=x+x+2
28总结:
已知抛物线的图象的草图怎样确定a，b，c及y,ax，bx，c
a，b，c的符号,
aa的符号:
由开口方向决定,的绝对值越大，开口越小,
c的符号:
由抛物线与y轴的交点,0，c,的位置来决定,
b?
x,,b的符号:
由对称轴的位置及已确定a的符号一起决定,同2a
左异右,,
2,,b,4ac?
的符号:
由抛物线与x轴交点的个数确定,
a，b，cx,1?
由时，函数值的符号决定,
a,b，cx,,1?
由时，函数值的符号决定
典型例题:
2y,ax，bx，c抛物线如图所示:
看图填空:
bac
（1）_____0;
（2）0;
（3）0;
22ab，b,4ac（4）0;
（5）______0;
abc，，,,,,0abc,，,,,,0（6）;
（7）;
12.5
930abc，，,,,,420abc，，,,,,（8）;
（9）
12
a1.根据图象填空:
（1）_____0;
bc
（2）0;
（3）0;
（7）;
2yaxb,，yaxbx,，2、在同一坐标系中一次函数和二次函数
的图象可能为（）
yyyy
OOOOxxxx
BCDA
3、反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图，它们的解析式可能
分别是（）（
y
kk22（A）y=，y=kx-x（B）y=，y=kx+xxx
Ox
kk22（C）y=-，y=kx+x（D）y=-，y=-kx-xxx
24、已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax+bx
，它们在同一坐标系内的大致图象是（）.+c
13
（A）（B）（C）（D）
【八】二次函数的平移
1、可先求出抛物线顶点，再将顶点平移后得到新函数的顶点坐标，通过其确定新函数的解析式;
对称轴2、也可以直接根据解析式平移，（左同右异）
平移方法如下:
上下平移2（上加下减）y=ax+bx+c
（开口）
左右平移
（左加右减）
22y,2（x,1），2y,2x例,、二次函数的图象，可由的图象A（向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B（向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C（向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D（向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
2y,2x1、将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是（）（
22y,2（x，1），3y,2（x,1）,3（A）（B）
22y,2（x，1）,3y,2（x,1），3（C）（D）
1122y,,xy,,x，2x，1222、抛物线可由抛物线向____平移____个单位，再向____平移____个单位而得到（
23、将二次函数y=-x+2x+3的图象向左平移1个单位，再
14
向下平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为.
2yx,，,2
（1）34、将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（
2yx,25、已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）
22y,2（x,2），2y,2（x,2）,2A（B（
22y,2（x,2）,2y,2（x，2），2C（D（
2yx,,，523，，6.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为。
22y,6（x，1）,2y,6x,2、抛物线7可由抛物线向平移个单位得到。
28、如图，抛物线y,,x，2向右平移1个单位得到抛物线y，回答下列问12题:
（1）抛物线y的顶点坐标_____________;
2
（2）阴影部分的面积S,___________;
【九】会用待定系数法求二次函数的解析式1、待定系数法求二次函数解析式的一般步骤:
“设-----列------解------答”?
设:
根据条件，设出相应函数的待定解析式;
列:
代入数据，列出关于待定系数的方程组;
解:
解方程组，求出待定系数的值;
答:
将求出的值带入所设的解析方程，即为所求。
15
2、二次函数的三种解析式以及求二次函数的一般方法:
bx,,2y,ax，bx，c2a?
一般式:
，对称轴为，顶点为
2b4acb,,,2a4a（）;
yx条件:
已知图像上三点或三组（、）的值，通常选择一般式，即列关于a、b、c的三元一次方程组解决.
2，，y,ax,h，kx,h?
顶点式:
，其中对称轴为，顶点坐标为（h,k）条件:
已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
，，，，y,ax,xx,xx,xx1212?
交点式（两根式）:
其中是抛物线与轴的两个交点;
xxx12条件:
已知图像与轴的交点横坐标、，通常选用交点式，只需求待
a定系数。
根据条件灵活地选择函数的解析式
典型例题
例1、已知二次函数的图像经过点（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求这个二次函数的解析式.
练一练:
16
求经过A（0，-1）、B（-1，2），C（1，-2）三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式（
（,1,,3）（0,,5）y例2、已知抛物线的顶点为，与轴交点为，求此抛物线的解析式.
已知二次函数，当x,4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式（
A（,1,0）B（1,0）M（0,1）x例3、已知抛物线与轴交于，，并经过点，求抛
17
物线的解析式.
2y,ax，bx，c（a,0）已知抛物线与x轴两交点的横坐标是,1，3，与y
3,2轴交点的纵坐标是，确定抛物线的解析式.
基础练习题:
21、二次函数y=ax+bx+c的图象的顶点A的坐标为（1,-3），且经过点B（-1,5），则设y=,得方程为，解得，此函数解析式为.
22、二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点A（-3,0），对称轴x=-1，顶点C到x轴的距离为2，则设y=,得方程为，解得，此函数解析式为.
2y,ax，bx，c3、已知抛物线过点（-1，0）、（3，0）、（2，5），则设y=,得方程为，解得，此函数解析式为。
18
2y,ax，bx，c4、抛物线经过（1,3）.（0,-2）和（-2,4）,则抛物线的解析式为.
综合练习题:
21、如图，二次函数y=ax+bx+c的图象经过A、B、C三点.
（1）观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式;
（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴。
2、已知二次函数的图像经过（0,3）,且顶点坐标为（1，-4）。
（1）求这个函数关系式;
（2）当x为何值时,函数值为0?
当x为何值时,函数值y随着x的增大而增大?
当x为何值时,y随x的增大而减小?
2yaxxc,,，413、如图1，已知二次函数的图像经过点A和点B（y
（1）求该二次函数的表达式;
1O3
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;
x,1（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m,0），且这两点关
A于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离（
19
9
B图1
B（30），A（14），,4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点（
（1）求该二次函数的解析式;
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标
x原点,并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标（
【九】直线与抛物线的交点
2x,h,1,抛物线与轴,或平行于轴的直线,的交y,ax，bx，cyy点
x,h,2hah，bh，c?
该交点是由所得，且只有一个（,）.,2y,ax，bx，c,
c?
特别地，当x=0时，交点为（0,）.
2xxy,k,2,抛物线与轴,或平行于轴的直线,的交点y,ax，bx，c
y,k,?
由方程组所得，故交点的横坐标是方程,2y,ax，bx，c,
2ax，bx，c,k的解,
20
2?
交点的个数受方程根的判别式决定，即:
ax，bx，c,k
,0抛物线与轴相交有两个交点,x、k,,x、k,,y,k,,12,,0抛物线与轴相切有一个交点,x、k,,即顶点在y,ky,k,,
上,,
,0抛物线与轴相离没有交点.y,k,,
特别地，当时，即表示为与x轴的交点。
y,0
2二次函数，当时,得到一元二次方程y,0y,ax，bx，c
2，ax，bx，c,0
即一元二次方程是二次函数的一种特殊形式
1、已知函数解析式，求点的问题，可用方程或方程组解决,代入法,。
2、已知点的坐标，求函数解析式中待定系数的问题，也可用方程思想解决。
2l?
一次函数的图像与二次函数，，y,kx，nk,0，，y,ax，bx，ca,0
G的图像的交点
（二）教学难点y,kx，n,由方程组的解的数目来确定:
2y,ax，bx,c,
⑦圆心角：
顶点在圆心的角叫做圆心角.lG?
方程组有两组不同的解时与有两个交点;
③点在圆外<
===>
d>
r.lG?
方程组只有一组解时与只有一个交点,,
2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。
lG?
方程组无解时与没有交点.,
七、学困生辅导和转化措施,5,抛物线与轴两交点之间的距离:
x
2若与轴的两交点为，由于、是方x，，，，xAx，0，Bx，0y,ax，bx，cx1122
bc2x，x,,x,x,,ax，bx，c,0程的两根，故:
1212aa所以:
22，，，，AB,x,x,x,x,x,x,4xx12121212
2b4cb,4ac,2,（,）,,,aaaa
2例1（已知抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A（2，0）.
应用题
（1）求b、c的值;
（2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求?
OAB的周长（答案可带根号）
21
3.确定二次函数的表达式：
（待定系数法）
（2）扇形定义:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.练习:
2、加强基础知识的教学，使学生切实掌握好这些基础知识。
特别是加强计算教学。
计算是本册教材的重点，一方面引导学生探索并理解基本的计算方法，另一方面也通过相应的练习，帮助学生形成必要的计算技能，同时注意教材之间的衔接，对内容进行有机的整合，提高解决实际问题的能力。
21、若二次函数y=x,4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=___（只写一个）（
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.22、已知二次函数y=ax–2的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式为，该函数图象与x轴的交点个数为.
23、抛物线y=x-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是（）.（A）9（B）3（C）-9（D）0
24、函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是y,kx,6x，3
22
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