答案 B
3.（2017·全国Ⅲ卷）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A.πB.
C.D.
解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝.
∴底面圆半径r＝＝，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·×1＝.
答案 B
4.（2017·全国Ⅰ卷）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________.
解析 如图，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC.
因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA⊂平面SAC，所以OA⊥平面SBC.
设球的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，
所以VA－SBC＝×S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r3，
所以r3＝9⇒r＝3，所以球的表面积为4πr2＝36π.
答案 36π
考点整合
1.空间几何体的三视图
（1）几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等.
（2）由三视图还原几何体：
一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.
2.空间几何体的两组常用公式
（1）柱体、锥体、台体的侧面积公式：
①S柱侧＝ch（c为底面周长，h为高）；
②S锥侧＝ch′（c为底面周长，h′为斜高）；
③S台侧＝（c＋c′）h′（c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高）；
④S球表＝4πR2（R为球的半径）.
（2）柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh（S为底面面积，h为高）；
②V锥体＝Sh（S为底面面积，h为高）；
③V球＝πR3.
热点一 空间几何体的三视图与直观图
【例1】
（1）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）
（2）（2017·泰安模拟）某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于（ ）
A.4B.
C.D.5
解析
（1）由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.
（2）根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为5的三棱锥P－ABC（如图所示）.
棱锥最长的棱长PA＝＝.
答案
（1）B
（2）C
探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.
2.由三视图还原到直观图的思路
（1）根据俯视图确定几何体的底面.
（2）根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.
（3）确定几何体的直观图形状.
【训练1】
（1）（2017·兰州模拟）如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为（ ）
A.1B.2
C.3D.4
（2）（2016·天津卷）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
解析
（1）设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射影为P″，如图所示.
∴三棱锥P－BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与△P″CD，
因此所求面积S＝S△P′AD＋S△P″CD
＝×1×2＋×1×2＝2.
（2）由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图①，故其侧视图为图②.
答案
（1）B
（2）B
热点二 几何体的表面积与体积
命题角度1 空间几何体的表面积
【例2－1】
（1）（2016·全国Ⅱ卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A.20πB.24π
C.28πD.32π
（2）（2017·全国Ⅰ卷）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A.10B.12
C.14D.16
解析
（1）几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.
由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.
所以l＝＝4.
故该几何体的表面积S表＝
πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.
（2）由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝×（2＋4）×2＝6，S全梯＝6×2＝12.
答案
（1）C
（2）B
探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积：
（1）关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.
（2）还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.
2.
（1）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
（2）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【训练2】（2017·枣庄模拟）如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是________.
解析 由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正三棱锥B－A1C1D（如图所示）.
设正方体的棱长为a，则几何体的体积是V＝a3－4××a2·a＝a3＝，
∴a＝1，∴三棱锥的棱长为，
因此该三棱锥的表面积为S＝4××（）2＝2.
答案 2
命题角度2 空间几何体的体积
【例2－2】
（1）正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为（ ）
A.3B.
C.1D.
（2）（2017·山东卷）由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.
解析
（1）如图，
在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝AB＝，
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1
的底面B1DC1上的高.
∴VA－B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.
（2）该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个半径为1，高为1的圆柱体构成，所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.
答案
（1）C
（2）2＋
探究提高 1.求三棱锥的体积：
等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.
2.求不规则几何体的体积：
常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
【训练3】
（1）（2016·山东卷）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）
A.＋πB.＋π
C.＋πD.1＋π
（2）（2017·北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.60B.30
C.20D.10
解析
（1）由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×12×1＋×π×＝＋π.
（2）由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥A1－BCD，VA1－BCD＝××3×5×4＝10.
答案
（1）C
（2）D
热点三 多面体与球的切、接问题
【例3】 （2016·全国Ⅲ卷）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（ ）
A.4πB.
C.6πD.
解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则×6×8＝×（6＋8＋10）·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝.
故球的最大体积V＝πR3＝π.
答案 B
【迁移探究】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积.
解 将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，
则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球.
∴体对角线BC1的长为球O的直径.
因此2R＝＝13.
故S球＝4πR2＝169π.
探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
【训练4】（2017·济南一中月考）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A.36πB.64π
C.144πD.256π
解析 因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC的体积取得最大值.由×R2×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR2＝144π.
答案 C
1.求解几何体的表面积或体积
（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算.
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法
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