届九年级数学下册第二章23垂径定理练习新版湘教版.docx
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届九年级数学下册第二章23垂径定理练习新版湘教版
垂径定理
基础题
知识点 垂径定理
.(长沙中考改编)如图,在⊙中,弦=,圆心到的距离=,则⊙的半径长为()
..
.如图,是⊙的弦,⊥于,交⊙于,则下列说法错误的是()
.=.∠=∠
=.=
.如图,在⊙中,直径垂直于弦.若∠=°,则∠的度数是()
.°.°.°.°
.如图,是⊙的弦,半径⊥于点.若⊙的半径为,=,则的长是()
....
.如图,是⊙的直径,弦⊥于点,=,=,则=.
.(教材例变式)如图,在⊙中,直径垂直弦于点,=,=,则的长为.
.如图,是⊙的直径,弦⊥于点,点在⊙上,恰好经过圆心,连接.若=,=,求⊙的直径.
解:
∵⊥,=,
∴==.
设=,∵=,
∴=(-)+.
解得=.
∴⊙的直径是.
知识点 垂径定理的实际应用
.(教材习题变式)一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径=,截面圆圆心到水面的距离是,则水面宽是()
.
.
.
.
.如图所示,某窗户是由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度=,弓形的高=,现计划安装玻璃,请帮工程师求出所在圆的半径.
解:
由题意,知==.
∵=,∴=-.
∵⊥,
∴==×=.
在△中,+=,
即(-)+=.解得=.
∴圆的半径为.
易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”
.下列说法正确的是()
.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧,但不一定过圆心
.过弦的中点的直径垂直于弦
.平分弦所对的两条弧的直径平分弦
中档题
.如图,将半径为的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为()
...
.(·枣庄)如图,是⊙的直径,弦交于点,=,=,∠=°.则的长为()
...
提示:
过点作⊥于,连接=,=,则==,则=,又∠=∠=°,∴=,==,在△中,==,∴==.
.如图,以点为圆心的圆弧与轴交于,两点,点的坐标为(,),点的坐标为(,),则点的坐标为(,).
.(·黄冈)如图,△内接于⊙,为⊙的直径,∠=°,弦平分∠.若=,则=.
.(·孝感)已知⊙的半径为,,是⊙的两条弦,∥,=,=,则弦和之间的距离是或.
.(·安徽)如图,⊙为锐角△的外接圆,半径为.
()用尺规作图作出∠的平分线,并标出它与劣弧的交点;(保留作图痕迹,不写作法)
()若()中的点到弦的距离为,求弦的长.
解:
()画图如图所示.
()∵平分∠,
∴=.
连接,,,则⊥于点,=.
在△中,由勾股定理可得,
===.
在△中,由勾股定理可得,
===.
.如图,为⊙的直径,弦交于点,连接,.
()求证:
△∽△;
()若⊥,=,=,求⊙的半径.
解:
()证明:
根据“同弧所对的圆周角相等”,
得∠=∠,∠=∠,
∴△∽△.
()∵⊥,为圆心,
∴==.
设⊙的半径为,∵=,则=-.
∴在△中,由勾股定理,得+=,
即(-)+=,解得=.
∴⊙的半径为.
综合题
.如图,已知∠=°,为边上一点,以为圆心,为半径作⊙,交于,两点,设=.当为何值时,⊙与相交于,两点,且∠=°?
解:
过点作⊥于点.
∵∠=°,==,
∴∠=°,
==.
∵⊥,∴==,∠=°.
∴∠=∠.
∴==.
∵∠=°,∴==.
∴=-,
即当=-时,∠=°.
小专题(五) 与圆的基本性质有关的计算与证明
.已知:
如图,,,,是⊙上的点,∠=∠,=.
()求证:
=;
()求的长.
解:
()证明:
∵∠=∠,
∴=,
∴+=+.
∴=.
()∵=,
∴=.
∵=,
∴=.
.,是⊙上的两个定点,是⊙上的动点(不与,重合),我们称∠是⊙上关于点,的滑动角.已知∠是⊙上关于点,的滑动角.
()若是⊙的直径,则∠=°;
()如图,若⊙的半径是,=,求∠的度数.
解:
连接,,.
∵⊙的半径是,即==,
又∵=,
∴+=.
由勾股定理的逆定理可得,∠=°.
∴∠=∠=°.
.如图,是⊙的直径,,两点在⊙上.若∠=°.
()求∠的度数;
()若∠=°,=,求⊙的半径.
解:
()连接.
∵∠=°,
∴∠=∠=°.
∵是⊙的直径,
∴∠=°.
∴∠=°.
()连接.
∵是⊙的直径,
∴∠=°.
∵∠=∠=°,=,
∴=.
∴⊙的半径为.
.如图,,,,是圆上的四个点,∠=∠=°,,的延长线相交于点.
()求证:
△是等边三角形;
()若∠=°,=,求的长.
解:
()证明:
∵,,,是圆上的四个点,
∴∠=∠,∠=∠.
∵∠=∠=°,
∴∠=∠=°.
∴∠=°.
∴△是等边三角形.
()∵△是等边三角形,
∴∠=°,===.
∵∠=°,∴∠=∠=°.
∴==.
∵四边形是圆内接四边形,∠=°,
∴∠=∠=°.
在△中,===.
.如图,一圆弧形桥拱的圆心为,拱桥的水面跨度=米,桥拱到水面的最大高度为米.求:
()桥拱的半径;
()现水面上涨后水面跨度为米,求水面上涨的高度为多少米?
解:
()过点作⊥于点,延长交圆于点,则由题意得=.
由垂径定理知,
点是的中点,===米,
=-=-,
由勾股定理知,=+=+(-).
设圆的半径是,
则=+(-),
解得=.
即桥拱的半径为米.
()设水面上涨后水面跨度为米,
交于,连接,
则===米,
∴==(米).
∵=-=(米),
∴=-=米.
.已知△,以为直径的⊙分别交,于点,,连接.若=.
()求证:
=;
()若=,=,求的长.
解:
()证明:
∵=,
∴∠=∠.
∵∠+∠=°,∠+∠=°,
∴∠=∠.
∴∠=∠.∴=.
()连接,∵为直径,
∴⊥.
由()知,=,
∴===.
在△与△中,
∵∠=∠,∠=∠,
∴△∽△.
∴=.
∴·=·.
∵==,
∴×=.
∴=.
.如图,在△中,==,以为直径的⊙分别交,于点,,且点为的中点.
()求证:
△为等边三角形;
()求的长;
()在线段的延长线上是否存在一点,使△≌△,若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.
解:
()证明:
连接.
∵是⊙的直径,
∴∠=°.
∵点是的中点,
∴是线段的垂直平分线.
∴=.
∵=,∴==.
∴△为等边三角形.
()连接.
∵是直径,∴∠=°.
∴⊥.
∵△是等边三角形,
∴=,即为的中点.
∵是的中点,故为△的中位线,
∴==×=.
()存在点使△≌△,
由()()知,=,
∵∠=°,∥,∴∠=°.
∵∠=°,∴∠=°.
∴∠=∠.
要使△≌△,只需==.