年全国高考数学理科.doc

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1986年全国高考数学（理科 ）试题及其解析

一、（本题满分30分）本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.

（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）

（A）（B）

（C）（D）

（2）函数的反函数是（）

（A）（B）

（C）（D）

（3）极坐标方程表示（）

（A）一条平行于x轴的直线（B）一条垂直于x轴的直线

（C）一个圆（D）一条抛物线

（4）函数是（）

（A）周期为的奇函数（B）周期为的偶函数

（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数

（5）给出20个数：

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）

（A）1789（B）1799（C）1879（D）1899

（6）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，

那么丁是甲的（）

（A）充分条件（B）必要条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要的条件

（7）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）所表示的曲线关于直线

y=x对称，那么必有（）

（A）D=E（B）D=F（C）E=F（D）D=E=F

（8）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的

中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使

G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG

中必有（）

（A）SG⊥△EFG所在平面（B）SD⊥△EFG所在平面

（C）GF⊥△SEF所在平面（D）GD⊥△SEF所在平面

（9）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只

可能是（）

（10）当时，在下面关系式中正确的是（）

（A）（B）

（C）（D）

二．（本题满分24分）只要求直接写出结果.

（1）求方程的解

（2）已知的值

（3）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及

（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积

（4）求

（5）求展开式中的常数项

（6）已知的值

三．（本题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：

平面PAC垂直于平面PBC

四．（本题满分12分）

当sin2x＞0,求不等式的解集

五．（本题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值

六．（本题满分10分）

已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：

（1）且C中含有3个元素，

（2）（表示空集）

七．（本题满分12分）

过点M（-1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：

线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2;L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数

八．（本题满分12分）

已知x1＞0,x1≠1，且试证：

数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1,或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1.

九．（附加题，本题满分10分）

（1）求的导数

（2）求过点（-1，0）并与曲线相切的直线方程

参考答案及其解析

一、本题考查基本概念和基本运算.

（1）B;

（2）C; （3）B; （4）A; （5）B;

（6）D; （7）A; （8）A; （9）D; （10）C.

二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.

三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.

证：

设圆O所在平面为α，由已知条件，

PA⊥平面α，又BC在平面α内，

因此PA⊥BC

因为∠BCA是直角，因此BC⊥AC

而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线，因此BC⊥△PAC所在平面，从而证得，

△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直

四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.

解：

满足sin2x＞0的x取值范围是

（1）

而由得

解得：

-4＜x＜-3,5＜x＜7（5）

由

（1）、（5）可知所求解集为

五、本题主要考查三角函数、函数最大（小）值知识及分析问题的能力.

解：

设点A的坐标为（0，）、点B的坐标为（0，b），0＜b＜，又设所求点C的坐标为（x,0）

记

显然，现在有

记，那么，当时，y取得最小值2

因此，当时，取得最大值

因为在内是增函数，所以当时，∠ACB取最大值

故所求点C的坐标为（0）

六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.

解法一:

因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此,

A∪B元素的个数是12+12-4=20.

解法二:

由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.

七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.

解：

由已知条件可知，直线L1的方程是y=k（x+1）①

把①代入抛物线方程y2=4x，

整理后得到

②

因此，直线L1与该抛物线有两个交的充要条件是：

③

及④

解出③与④得到

现设点P的坐标为，

则直线L1的斜率而直线L2的斜率

记则今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，由韦达定理及②得

显然，1-k2在（-1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，

在（0，1）内为增函数，在（-1，0）内为减函数

八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.

证：

首先，

由于x1＞0，由数列{xn}的定义可知xn＞0，（n=1,2,…）

所以，xn+1-xn与1-xn2的符号相同

（1）假定x1<1,我们用数学归纳法证明1-xn2＞0（）

显然，n=1时，1-x12＞0

设n=k时1-xk2＞0,那么当n=k+1时

因此，对一切自然数n都有1-xn2＞0，

从而对一切自然数n都有xn＜xn+1

（2）若x1＞1,用理可证，一切自然数n都有xn＞xn+1.

九、（附加题,不计入总分）本题主要考查导数的运算及几何意义.

解：

（1）

（2）

而点（-1，0）在曲线上，所以所求的切线方程为y=x+1