湖南省五市十校学年高二下学期期末考试理数学试题及答案解析.docx
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湖南省五市十校学年高二下学期期末考试理数学试题及答案解析
湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试（理）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.所有试题请在答题卡上作答，答题卷上作答无效，考试结束后只收答题卡.
第Ⅰ卷
一．选择题：
共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合，,则等于（）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：
松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为12，4，则输出的等于（）
A．4B．5C．6D．7
4．在等差数列中，是函数的两个零点，则的前10项和等于（）
A．B．15C．30D．
5．函数f（x）＝3sin（2x－）在区间[0，]上的值域为（）
A．[，]B．[，3]
C．[，]D．[，3]
6．已知，，且，则向量在方向上的投影为（）
A．B．C.D．
7．某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为（）
A．24B．8
C.D．
8．设，则二项式展开式的常数项是（）
A.1120B.140C.-140D.-1120
9.函数的图像恒过定点，若定点在直线
上，则的最小值为（）
A.13B.14C.16D.12
10．抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）
A.B.C.D.
11．已知圆，
A． B．
C． D．
12．已知函数,，若方程在时有3个实根，则的取值范围为（）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上）
13．3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.
14.现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．
15．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为_______.
16．已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为2＋，则AC边长的最小值是________.
三.解答题：
本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,
侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.
（1）若分别为棱的中点,求证:
∥平面；
（2）棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；
若不存在,请说明理由.
19.（本题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：
万元）对年销售量（单位：
吨）和年利润（单位：
万元）的影响。
对近六年的年宣传费和年销售量的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年宣传费（万元）
38
48
58
68
78
88
年销售量（吨）
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式
即。
对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
75.3
24.6
18.3
101.4
（1）根据所给数据，求关于的回归方程；
（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间内时认为该年效益良好。
现从这6年中任选2年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量的分布列和期望。
（其中为自然对数的底数，）
附：
对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
20.（本小题满分12分）
如图，一张坐标纸上已作出圆：
及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与轨迹交于两点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．
21．（本题满分12分）
设,函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数单调区间
（3）若有两个零点,求证:
.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．
23.（10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数，，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.所有试题请在答题卡上作答，答题卷上作答无效，考试结束后只收答题卡.
第Ⅰ卷
一．选择题：
共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1-12.CAABBCBADBAB
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上）
13．10080
14.
15．p＝-4
16．
三.解答题：
本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）设数列的公比为.由=得，所以.（2分）
由条件可知，故.由得，所以.（4分）
故数列的通项公式为（6分）
（2）（7分）
（8分）
（10分）
（12分）
18.【答案】
（1）略;（Ⅱ）
【解析】
（1）取中点,连结,∵分别为、中点，∴∥,,·2分又点为中点,∴∥且,∴四边形为平行四边形,∴∥,（3分）
又平面,平面,∴∥平面.（5分）
（2）取中点,连结、,∵是以为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:
、、两两垂直.（6分）
以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,
设,
则:
.
（7分）
设平面ABF的法向量为,则,
∴,令,则
∴.（9分）
又平面的法向量为,由二面角成角得:
∴,解得:
或不合题意,舍去（11分）
.∴,当棱上的点满足时,二面角成角.（12分）
19.【答案】
（1）；
（2）见解析.
解：
（1）由令得，由数据可得：
,于是
，（4分）
得故所求回归方程为（6分）
（2）条件，于是求出，（7分）
即6年中有3年是“效益良好年”，，（8分）由题得
，
（10分）
0
1
2
（11分）
所以的分布列如表所示，且。
（12分）
20.解：
（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，……2分
∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，
∴，∴M的轨迹C的方程为．……………4分
（2）与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到的距离：
，即，……5分
由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，……………6分
∵直线与椭圆交于两个不同点，
∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，……………7分
又，∴，∴，
设μ=k4+k2，则，∴，…10分∵S△AOB关于单调递增，∴，
∴△AOB的面积的取值范围是…12分
21．（本题满分12分）
解：
在区间上,.…………（1分）
（1）当时，则切线方程为，即…（2分）
（2）若,则,是区间上的增函数,（3分）
若,令得:
.（4分）
在区间上,,函数是增函数;（5分）
在区间上,,函数是减函数;（6分）
（3）设
原不等式（8分）
令,则,于是.（9分）
设函数,
求导得:
（11分）
故函数是上的增函数,
即不等式成立,故所证不等式成立.（12分）
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．【解析】
（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：
．（2分）
由曲线的极坐标方程得，，（4分）
∴曲线的直角坐标方程为．（5分）
（2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为．（7分）
∵，∴，，
当时，即；（9分）
当时，．∴或．（10分）
23.（10分）选修4-5：
不等式选讲
解：
（Ⅰ）当时，.
（2分）
时，恒成立，∴；（3分）
②当时，，即，即或.
综合可知：
；（4分）
③当时，，则或，综合可知：
.（5分）
由①②③可知：
或.（6分）
（2），（7分）
（8分）
（10分）
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