行走在数学与儿童之间张齐华老师解决问题的策略教学实录及评析Word格式文档下载.docx
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我觉得王大伯可以完成任务。
我帮他设计了长５米、宽４米的长方形，剩下的４米可以放在一边。
（如图１）
生２：
我尝试了各种方法，发现都不行。
后来我仔细研究了题目，发现里面并没有说不能靠墙。
所以，我决定让这个长方形花圃一面靠墙，这样，它的长可以是２０米，宽１米，正好用去２２根木条，而面积也正好是２０平方米。
（如图２）
生３：
我的方法和他们的都不一样。
我觉得围一个花圃，四周至少需要１根木条竖着作支撑，这样一来，２２根木条只剩下１８根。
而１８根木条正好可以围成一个长５米、宽４米的长方形，面积正好是２０平方米。
（如图３）
看得出来，三位同学都特别想帮助王大伯解决这一问题。
面对这三种方法，能否给出你们的评价？
生４：
我不太同意生１的方法。
因为题目中说得很清楚，２２根木条都要用掉，不能有剩余。
他围成长方形后，还剩下４根木条，所以他的方法不符合题目的要求。
生５：
我不赞成生2的方法。
因为题目中并没有说允许靠墙，而是说，就用２２根木条来围一个２０平方米的长方形花圃。
所以，一边靠墙是不合适的。
生６：
我也觉得不行。
如果允许一边靠墙的话，那么，方法就不只是这一种，比如长１０米、宽２米也能围出面积为２０平方米的长方形花圃。
生７：
如果允许靠墙的话，那么还可以靠两面墙、三面墙，这样的讨论就没有意义了。
所以，题目没有提示有没有墙，其实就是默认不能靠墙。
看来，大家对于生２的方法基本也是持否定的态度。
那么，生３的方法呢？
生８：
生３的方法有点像脑筋急转弯。
他竟然让木条站了起来。
（学生大笑）
生９：
我觉得生３的方法很有创意，但有一个问题，既然可以在四个角落里各竖１根木条，那我们也可以在别的地方继续竖一些。
这样，符合要求的情况也就越来越多，这个问题也就失去讨论的意义了。
所以，我还是不太赞成让木条竖起来。
不管怎么说，这三位同学都在想尽一切办法帮助王大伯解决问题。
只是有些解决方式不太被大家接受。
如果我们将问题表述得更清楚，就用２２根木条平着围一个长方形花圃，不能剩余、不许折断，也不借助其他任何条件，能够围出面积为２０平方米的长方形花圃吗？
生（齐）：
不能！
我们都知道，２２根木条可以围出多种不同的长方形，为什么你们觉得不能？
能否展示出你们研究和思考的过程？
接下来的时间，每一位同学展示完毕后，台下的同学可以给出相应的评价和建议。
生１０：
我试了一下，如果长是７米，那么宽就得４米，但这个长方形的面积是２８平方米，不符合要求。
所以我觉得王大伯的要求不可能实现。
（如图４）
生１１：
我反对。
虽然我也觉得这个任务不能实现，但你只举一个例子是不能说明问题的，因为周长为２２米的长方形有好几种，万一有一种长方形的面积正好是２０平方米呢？
能给大家展示一下你的作品吗？
我先用２２除以２，发现这个长方形的长和宽的和是１１米。
然后，我想办法把１１分成两个数的和，发现只有这五种分法，但这五种分法得出的长方形面积都不是２０平方米。
所以，我认为王大伯的任务没法完成。
（如图５）
生１２：
我的方法和他的很相似，只不过我是列表的。
通过列表，我也发现周长为２２米的长方形有五种情况，但每一种长方形的面积都不是２０平方米。
所以，我也觉得王大伯的任务不可能完成。
（如图６）
生１３：
我发现他们都是按顺序举例的，比如长方形的宽，从１一直列举到５，一个比一个大，而长方形的长从１０一直列举到６，一个比一个小。
生１４：
我觉得按这样的顺序举例有一个好处，就是不容易遗漏。
如果不按顺序，弄不好就会漏掉某一种情况。
说得真好！
看来，列举时我们要按一定的顺序进行。
不过，我有一个疑惑，为什么非要把所有情况都列举出来，列举两三种情况不能说明问题吗？
生１５：
不行。
既然要说明不能实现，就得把所有情况都列举出来，并且对所有情况进行一一验证。
只有这样，才能说明王大伯的任务不能完成。
如果漏掉一种，而这一种情况正好是符合要求的，那就麻烦了。
看来，为了解决问题的需要，我们在列举时，不仅要按顺序，而且还得把所有情况都列举出来，在数学上，这就叫一一列举。
（板书：
有序 一一列举）还有没有不同的方法需要展示的？
生１６：
我也是一一列举的，但我是根据面积来列举的。
我发现，面积是２０平方米的长方形只有三种情况（如图７）。
通过计算，我发现它们的周长都不可能是２２米，所以，王大伯的任务不可能完成。
生１７：
我先对生１６的作品提一点建议。
我觉得他在列举时没有按一定的顺序，所以有点乱，如果把长２０米的长方形放在第一个，这样看起来更清楚。
另外，我也是从面积入手进行思考的，只是我没有列表，而是直接画图。
（如图８）通过画图，我发现面积为２０平方米的长方形的周长不可能是２２米，所以，王大伯的任务不可能完成。
看来，一一列举，列表、画图、算式等方法都是可行的。
老师带来了一位同学列举的情况（如图９），但结果和你们的略有不同。
生１８：
我觉得他的列举有问题，比如１号长方形，长是１米，宽却是２０米，这样的长方形是不存在的。
生１９：
我觉得他列举时重复了。
比如这里的③号和④号长方形，一个长５米、宽４米，另一个长４米、宽５米，其实这两个长方形是一样的。
所以，我觉得他列举的前面三种可以去掉，只留后面三种就可以了。
通过他的列举，你们又有什么新的发现？
生２０：
列举时不仅要有序、不遗漏，同时也要做到不重复。
生２１：
一一列举时，要把所有符合情况的长方形一个不多、一个不少地一一列举出来，这才是最好的。
三、深入观察，发现规律
通过刚才的学习，我们发现，一一列举是解决问题的一种有效策略。
正是借助一一列举的策略，我们知道王大伯的这一任务是没法完成的。
不过，仔细看一下同学们解决问题时所列的表格（如图１０），一个是周长确定、面积在变化，另一个是面积确定、周长在变化。
仔细观察图中长方形的长、宽、周长和面积的变化，有没有新的发现？
我发现，当长方形的周长不变时，长和宽离得越远，面积越小；
长和宽越接近，面积越大。
比如前面一张表中，从前往后，长和宽的距离越来越接近，它们的面积就越来越大。
反过来看，也是一样的。
显然，通过有序的列举，我们还很容易从中发现一些有趣的规律呢。
我发现，当长方形的面积不变时，长和宽越接近，周长就越小；
长和宽差距越大，周长就越大。
（教师板书规律）
所有的长方形都符合这两条规律吗？
如果继续研究，你会怎么做？
我会继续找一些长方形，让它们周长相等，看看它们的面积会怎么变；
然后再找一些长方形，让它们面积相等，看看它们的周长又会怎样变化。
请大家自己确定数据，继续验证这一规律是否也适用于别的长方形。
（学生小组内进行研究与验证）
四、实践拓展，应用策略
这里还有两个问题，你能尝试着用今天所学的策略进行思考吗？
（１）一张靶纸共三圈，投中内圈得１０分，投中中圈得８分，投中外圈得６分。
小林投中了两次，他可能得多少分？
（２）两枚硬币同时抛起，落地后会出现几种不同的情况？
通过研究，你觉得小林最终的总分可能有几种情况？
我觉得一共有１０种情况（如图１１），两次都投中的有６种，只投中１次的有３种，两次都没投中的有３种，６＋３＋１＝１０种。
题目中明明说了投中两次，所以，后面的４种情况根本不需要讨论。
如果是投了两次，那么就有１０种情况。
我觉得不应该是６次，而是５次。
１０＋６＝１６，８＋８＝１６，两次的总分是一样的，所以可以看作是同一种结果。
看来，在解决这样的问题时，我们要审清题意，不能粗心大意；
另一方面，在进行一一列举时，还要根据问题的要求，不能重复和遗漏。
对于第二个问题，我觉得一共分３种情况，分别是正正、反反和一正一反。
应该有４种情况，分别是正正、反反、正反和反正。
（面对究竟是３种情况还是４种情况，学生展开了激烈地争论。
最终，教师给出了如下建议：
建议１：
给两枚硬币分别标上号码，一枚是１号硬币，另一枚是２号硬币。
建议２：
试着用两枚硬币投一投，看看最终出现的正正、反反和一正一反这三种情况是否次数差不多。
如果差不多，就说明这是三种情况；
如果一正一反更多些，则说明一正一反包含着正反和反正两种情况。
学生就上述两个问题进行再探索，随后汇报。
）
通过研究发现，一正一反应该包含两种情况。
我们给硬币标上号码后，发现实际上会出现这样四种情况：
１号正面和２号正面、１号反面和２号正面、１号反面和２号正面、１号反面和２号反面。
没有标号码时，我们还以为一正一反就是一种情况。
一标上号，我们才发现原来是不一样的。
一一列举时，我们还要细致地去分析和思考。
我们小组进行了实验，一共投了４０次，结果发现，一正一反是２１次，差不多正好是正正、反反两种情况的总和。
我们猜测，一正一反应该包含正反和反正两种不同的情况。
所以，如果一一列举出现问题时，实验也不失为一种好的策略，它可以让我们对问题的思考更清晰、更准确。
【要点评析】
听张齐华老师的课，是一种享受。
能为他的课点评，是我所愿意的！
张齐华老师关于“解决问题的策略”一课的教学，正是在深刻洞悉教学内容意蕴的基础上，实现着符合自身教学追求和风格的一种完美呈现，给我们带来了一种由内而外的心潮激荡和内心震撼。
细细品味，收获颇丰，显然，这是一节“准、深、透、高”的数学课。
一、准：
关注策略机理的形成过程
美国著名的数学教育家赫斯认为：
“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学上的争议。
”数学知识的本质既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。
对策略的体验与理解，是学生形成解决问题的策略的中心环节，亦是保底环节，必须让学生充分经历策略机理的形成过程，在“理”上做足文章。
张齐华老师的这节课，一方面，重视让学生探索相关解题策略的思考流程与操作步骤，另一方面，引导学生逐步把握相关策略的主要含义与基本特征，让学生在充分亲历应用相关策略解决问题的探索过程中，获得对解决问题策略的直观感受，并形成初步的理性认识，逐步完成对策略的自主建构。
为帮助学生理解“一一列举”的策略机理，张齐华老师安排学生进行前置性研究，给予学生充裕的时间和空间进行探索，以获得充分的感性认识和活动经验，然后在课堂上对“木条多余”“利用围墙”“添加支架”等“原生态”的错例进行剖析，并加以提炼和升华，帮助学生建立“吃透、吃准有用信息是建构策略的前提”的心理基础，再通过算式、列表、画图等途径，从计算周长的维度找到问题的答案，最后，再从计算面积的维度反证“王大伯的任务不可能实现”的推想。
三大环节的正推反证，逐层推进，形成了强大的“思维场”，促进了学生对策略机理的深度理解，并对知识实现有效的建构。
二、深：
关注数学思想的有机渗透
每个数学知识都兼有事实性、概念性、方法性、价值性四个方面。
知识的事实性指人们在日常生活中对此的感悟和总结；
没有概念去概括，客观的事实或现象只能是经验；
没有方法去运用，概念或原理只能是词语符号；
没有价值取向的揭示，方法只能是机械的步骤，而这种价值取向，更多地聚焦于揭示数学知识背后的灵魂——数学思想。
对于“解决问题的策略”版块的教学，许多教师把教学目标定位于引导学生学习“如何列举”“如何画图”等具体的方法，而忽视了对课程标准中关于“体会策略的价值”“增强学生使用策略的意识”的教学建议和要求。
其实，解决问题的策略不仅仅对应的是某一种具体的方法，其背后蕴含着丰富的数学思想方法。
如，画图，蕴含数形结合的思想和具体画图的方法；
倒推，蕴含过程或者运算的可逆性思想以及相应的互逆思想；
替换，蕴含过程中不变量的思想和相对应的等量关系……
在张齐华老师看来，方法、策略、思想是三个递进的层次，数学方法上升到一定的高度形成策略，数学策略的进一步凝练并形成了数学思想，而数学思想则是数学学科的核心元素。
眼界决定境界，高度决定力度，因而，张齐华老师的数学课总是充满着浓浓的“思想味”而焕发出无穷的张力。
在本课中，围绕“周长是１１米”这一条件，让学生对各种可能的方法进行排序，突出“有序”“一一列举”，渗透了分类思想；
把各种周长等于１１米的算式与相应的图形进行匹配，让学生感受一道算式对应着一种长方形，渗透了对应的思想；
对各种可能的算式进行排序后进行对比，得出“一个因数在依次增大，另一个因数在依次减小，而两个因数的和是不变的”的结论，渗透了“变与不变”的思想；
在第一个学生回答“如果长是７米、宽是４米，面积不等于２０平方米，所以王大伯的愿望不可能实现”的结论后，引导学生萌发“你只举了一个例子是不能说明问题的，因为周长是２２米的长方形有好几种，万一另外有一种长方形的面积正好是２０平方米呢？
”的辩证思想，帮助学生形成初步的逻辑推理、科学归纳的意识。
三、透：
关注知识教学的隐性价值
“教学追求被吸引，美丽的风景在远方。
”张齐华老师深知：
每一种策略都具有“战略”思想价值，也就是说，它背后有着更强大的现实意义和运用意义。
因而他倡导：
学习每一种策略，都要力求揭示这种策略的价值和意义，不仅让学生了解到运用策略能够解决一些典型的问题，还要力求找寻知识的“附加值”，寻找知识的隐性教学功能，带领学生体会那种登高远眺、一览众山小的快感。
教材中的例题是“王大叔用２２根１米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？
”张齐华老师把它改编成“王大伯想用２２根１米长的木条，围一个面积２０平方米的长方形花圃。
”文字变化似乎不大，但细细琢磨，深感意蕴无穷。
稍稍改动，例题就有了较大的“增值”空间：
原本的例题，只要在周长维度上实现列举，就能找到面积最大的一种状态，而改编后的问题，不仅具有原来的功能，而且还可以从面积的维度来反证列举的各种可能；
原本的例题，以直白的求解的姿态呈现，而改编后的问题，以“你觉得他能完成这一任务吗？
”这种“判断式”的方式呈现，又使思考、求解的路径多了许多；
原本的例题带来的只有“周长确定，面积在变化”的规律，而改编后的例题，除此之外还多了“面积确定，周长在变化”的规律。
在练习阶段，张齐华老师精心设计了“两枚硬币同时抛起，落地后，会出现几种不同的情况？
”这一问题，题目虽短但却掀起“轩然大波”：
究竟是正正、反反和一正一反共３种情况，还是正正、反反、正反和反正共４种情况？
正反与反正是一种情况还是两种情况呢？
再次“撩”起学生的兴趣和探求欲。
这样的训练，使学生在巩固应用了“一一列举”策略的同时，更为深刻地理解了在“一一列举”中可能涉及的概率问题。
这样的设计，不是奔着理解某个知识点或找到一种解决问题的方法的单一目标“匆匆而去”，而是具有“慢慢走，欣赏啊”的从容心态，有着更为宏观的学科视野。
四、高：
关注教学方式的根本改变
就传统的课堂教学状况，数学教育家弗赖登塔尔曾戏称：
“每一个人都在睡觉，仅有一个人在讲，这种状态就是教学。
”朋友圈里的同行们也在调侃：
所谓数学课，就是一个人的狂欢，一群人的寂寞。
毋庸讳言，当前的数学课走进了一个怪圈，要走出这个怪圈，需要勇气，需要才气，更需要底气。
这些，张齐华老师做到了，“张齐华老师义无反顾地转身了，如果他不转，我们就欣赏不到今天这么精彩的课了。
你看，张齐华老师都把课堂还给学生了，我们还死死把控着课堂的每个环节，何苦呢？
”（陈洪杰，《小学教学》２０１６年第１期）
在这节课中，张齐华老师“讷于言而敏于行”，话真的很少，没有了我们所习惯的且叹为观止的”张齐华老师式”语言，更多的是一些提示性的、启发式的、鼓励式的提示语。
张齐华老师很善于“造势”，让儿童充分表达各自的所思所想，并“顺其势而改其路，四两拨千斤”，这种相机穿插于儿童自主学习过程中的引导，具备整体观，做到“服务儿童的学，促进儿童的学”，而不是“遮蔽儿童的学，替代儿童的学”。
美国经济学界和政界划时代的学者约翰·
肯尼思·
加尔布雷有一句名言：
“当人们证明改变思想和没有必要改变思想的选择时，人人都忙着证明后者。
”是的，思想的改变才是行动改变的前提。
张齐华老师课堂的改变，让我们承认，学习在本质上是学生自己的事情，教学所应发挥的作用应该是帮助、促进和催生，而不是替代；
让我们承认，教学促进学生的可持续发展，兴趣和好奇心、方法与能力对学习力的培养至关重要；
让我们承认，学习不只是知识的累积，更是自我的完善与创造，只有会学习、会思考、会探索，爱提问、爱沟通、爱合作、善交流，学生的灵性才能得到舒展，智慧才能得到绽放。
（责编 金 铃）
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