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cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
[1]
三角函数恒等变形公式
两角和与差的三角函数：
cos（α+β）=cosα·
cos-sinβα·
sinβ
cos（α-β）=cosα·
cosβ+sinα·
sin（α±
β）=sinα·
cosβ±
cosα·
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·
tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·
三角和的三角函数：
sin（α+β+γ）=sinα·
cosβ·
cosγ+cosα·
sinβ·
-sincosα·
β·
sisinγnβ·
sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·
-cosγα·
sin-sinγα·
sin-nγα·
sin
cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tan-tanγα·
tanβ·
tanγ-tan）/（1α·
tan-βtanβ·
tanγ
-tanγ·
tanα）·
辅助角公式：
Asinα+Bcosα=（A&
sup2;
+B&
）^（1/2）sin（α+arctan（B/A）），其中
sint=B/（A&
）^（1/2）
cost=A/（A&
tant=B/A
Asinα-Bcosα=（A&
）^（1/2）cos（α-t），tant=A/B
倍角公式：
sin（2α）=2sinα·
cosα=2/（tanα+cotα）
cos（2α）=cos&
（α）-sin&
（α）=2cos&
（α）-1=1-2sin&
（α）
tan（2α）=2tanα/[1-tan&
（α）]
三倍角公式：
sin（3α）=3sinα-4sin&
sup3;
（α）=4sinα·
sin（60+α）sin（60-α）cos（3α）=4cos&
（α）-3cosα=4cosα·
cos（60+α）cos（60-α）tan（3α）=tana·
tan（π/3+a）·
tan（-a）π/3
半角公式：
sin（α/2）=±
√-（（1cosα）/2）
cos（α/2）=±
√（（1+cosα）/2）
tan（α/2）=±
√-（（1cosα）/（1+cos
α））=sin
α/（1+cos
α）=（1-cosα）/sin
α
降幂公式
sin&
（
cos&
tan&
α）=（1-cos（2α）=（1+cos（2α）=（1-cos（2
α））/2=versin（2α）/2
α））/2=covers（2α）/2
α））/（1+cos（2α））
万能公式：
sinα=2tan（α/2）/[1+tan&
（α/2）]
cosα=[1-tan&
（α/2）]/[1+tan&
tanα=2tan（α/2）/[1-tan&
积化和差公式：
cosβ=（1/2）[sin（
α+β）+sin（-β）]α
sinβ=（1/2）[sin（
α-sin（+β）α-β）]
cosβ=（1/2）[cos（
α+β）+cos（-βα）]
sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]
和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（-β）/2]α
sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（-βα）/2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（-βα）/2]
cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（-βα）/2]
推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos&
1-cos2α=2sin&
α
1+sinα=（sinα/2+cosα/2）&
其他：
sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+⋯⋯+sin[α+2-1）π*（n
/n]=0
cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+⋯⋯+cos[α+2π*
（n-1）/n]=0以及
（α）+sin&
（α-2π/3）+sin&
（α+2π/3）=3/2
tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0cosx+cos2x+...+cosnx=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx
证明：
左边=2sinx（cosx+cos2x+...+cosnx）/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin（n-2）x+sin（n+1）x-sin（n-1）x]/2sinx（积化和差）
=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/（-2sinx）=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos（n-2）x+cos（n+1）x-cos（n-1）x]
/（-2sinx）
=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
三倍角公式推导
sin3a
=sin（2a+a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin&
a）+（1-2sin&
a）sina
=3sina-4sin&
a
cos3a
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos&
a-1）cosa-2（1-sin&
a）cosa
=4cos&
a-3cosa
sin3a=3sina-4sin&
=4sina（3/4-sin&
a）
=4sina[（√3/2）&
-sin&
a]
=4sina（sin&
60
°
-sin&
=4sina（sin60
+sina）（sin60
-sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60
-a）/2]*2sin[（60
-a）/2]cos[（60°
+a）/2]
=4sinasin（60
+a）sin（60
-a）
cos3a=4cos&
=4cosa（cos&
a-3/4）
=4cosa[cos&
a-
（√3/2）&
]
a-cos&
30
）
=4cosa（cosa+cos30°
）（cosa-cos30
=4cosa*2cos[（a+30
）/2]cos[（a-30
）/2]*{-2sin[（a+30
）/2]sin[（a°
-30
）/2]}°
=-4cosasin（a+30°
）sin（a-30°
=-4cosasin[90°
-（60°
-a）]sin[-90+（60°
+a）]
=-4cosacos（60°
-a）[-cos（60°
=4cosacos（60°
-a）cos（60°
+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°
-a）tan（60°
三角函数的诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±
α及3π/2±
α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
（以上k∈Z）
补充：
6×
9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法
则）
f（β）→
f（β）＝
sinβ
cosβ
tanβ
cotβ
secβ
cscβ
↘
β↓
360k+α
sinα
cosα
tanα
cotα
secα
cscα
90°
-α
+α
-sinα
-cotα
-tanα
-cscα
180°
-cosα
-secα
270°
360°
﹣α
cosα
secα
-cscα
定名法则
的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与
α三角函数的绝对值互为余
函数。
90°
的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同，奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”
比如:
90°
+α。
定名：
是90°
的奇数倍，所以应取余函数；
定号：
将
α看做锐角，那么90°
+α是第二象限角，第二象限角的正弦为负，余弦为
正。
所以sin（90°
+α）=cosα,cos（90°
+＝α）-sinα这个非常神奇，屡试不爽~[编辑本段]
三角形与三角函数
1、正弦定理：
在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．（其中R为外接圆的半径）
2、第一余弦定理：
三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的
交叉乘积的和，即a=ccosB+bcosC
3、第二余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bccosA
4、正切定理（napier比拟）：
三角形中任意两边差和的比值等于对应角
半角差和的正切比值，即（a-b）/（a+b）=tan[（A-B）/2]/tan[（A+B）/2]=tan[（A-
B）/2]/cot（C/2）
5、三角形中的恒等式：
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAt
anBtanC
已知（A+B）=（π-C）
所以tan（A+B）=tan（π-C）
则（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:
当α+β+γ=nπ（n∈Z）时，总有tanα+tanβ+
tanγ=tanαtanβtanγ
部分高等内容
高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）：
sinx=[e^（ix）-e^（-ix）]/（2i）
cosx=[e^（ix）+e^（-ix）]/2
tanx=[e^（ix）-e^（-ix）]/[ie^（ix）+ie^（-ix）]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp（z）＝1＋z/1！
＋z^2/2！
＋z^3/3！
＋z^4/4！
＋⋯＋z^n/n！
＋⋯
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组y=-y'
'
;
y=y'
，有通解Q,可证明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
:
角度a0°
30°
45°
60°
1.sina01/2√2/2√3/210
2.cosa1√3/2√2/21/20-1
3.tana0√3/31√3/0
4.cota/√31√3/30/
（注：
“√”为根号）
三角函数的计算
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn（n=0..∞）
c0+c1（x-a）+c2（x-a）2+...+cn（x-a）n+...=∑cn（x-a）n（n=0..∞）
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.
泰勒展开式（幂级数展开法）:
f（x）=f（a）+f'
（a）/1!
*（x-a）+f'
（a）/2!
*（x-a）2+...f（n）（a）/n!
*（x-a）n+...
实用幂级数：
ex=1+x+x2/2!
+x3/3!
+...+xn/n!
+...
ln（1+x）=x-x2/3+x3/3-...（-1）k-1*xk/k+...（|x|<
1）
sinx=x-x3/3!
+x5/5!
-...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!
+...（-∞<
x<
∞）
cosx=1-x2/2!
+x4/4!
-...（-1）k*x2k/（2k）!
arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...（|x|<
arccosx=π-（x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...）（|x|<
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...（x≤1）
sinhx=x+x3/3!
+...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!
coshx=1+x2/2!
+...（-1）k*x2k/（2k）!
arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5-...（|x|<
arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...（|x|<
在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
--------------------------------------------------------------------------------
傅立叶级数（三角级数）
f（x）=a0/2+∑（n=0..∞）（ancosnx+bnsinnx）
a0=1/π∫（π-π..）（f（x））dx
an=1/π∫（π-π..）（f（x）cosnx）dx
bn=1/π∫（π-π..）（f（x）sinnx）dx
三角函数的数值符号
正弦第一，二象限为正，第三，四象限为负
余弦第一，四象限为正第二，三象限为负
正切第一，三象限为正第二，四象限为负
三角函数定义域和值域
sin（x）,cos（x）的定义域为R,值域为〔-1,1〕
tan（x）的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R
cot（x）的定义域为x不等于kπ,值域为R
初等三角函数导数
y=sinx---y'
=cosx
y=cosx---y'
=-sinx
y=tanx---y'
=1/（cosx）^2;
=（secx）^2;
y=cotx---y'
=-1/（sinx）^2=-（cscx）^2;
y=secx---y'
=secxtanx
y=cscx---y'
=-cscxcotx
y=arcsinx---
y'
=1/
√1-x^2;
y=arccosx---y'
=-
1/√1-x^2;
y=arctanx---y'
=1/（1+x^2;
y=arccotx---y'
=-1/（1+x^2;
[编辑本段
反三角函数
三角函数的反函数，是多值函数。
它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arc
cosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、
余切、正割、余割为x的角。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函
数的值y限在y=-π/2≤y≤π，/2将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；
相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；
反正切函数y=arctanx
的主值限在-π/2<
y<
π/2；
反余切函数y=arccotx的主值限在0<
π。
反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应
一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
其概念首先由
欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-
1（x）.
反三角函数主要是三个：
y=arcsin（x），定义域[-1,1]
y=arccos（x），定义域[-1,1]
，值域，值域
[-π/2,π/2]，图象用红色线条；
[0,π]，图象用兰色线条；
y=arctan（x），定义域（-∞,+∞），值域（-π/2,π/2），图象用绿色线条；
sinarcsin（x）=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】
证明方法如下：
设arcsin（x）=y,则sin（y）=x,将这两个式子代如上式即可
得
其他几个用类似方法可得。
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