北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明 第一节等腰三角形无答案Word格式.docx

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3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形

3.等腰三角形的对称性

（1）等腰三角形是轴对称图形；

（2）∠B＝∠C；

（3）BD＝CD，AD为底边上的中线.

（4）∠ADB＝∠ADC＝90°

，AD为底边上的高线.

结论：

等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴.

要点诠释：

（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°

－2∠B，∠B＝∠C＝

.

（2）等边三角形与等腰三角形的关系：

等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：

等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．

推论：

等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°

.

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．

2.等腰三角形中重要线段的性质

　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.

这条性质，还可以推广到一下结论：

（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.

（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.

（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.

要点三、等腰三角形的判定定理

1.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：

在一个三角形中，等角对等边.

要点诠释：

（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．

2.等边三角形的判定定理

三个角相等的三角形是等边三角形.

有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形.

3.含有30°

角的直角三角形

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

要点四、反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.

反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：

（1）假定命题的结论不成立；

（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；

（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

典型例题

考点1：

利用等腰三角形的性质求角

例1、

（1）在△ABC中，AB=AC,若∠A=50°

，求∠B;

（2）若等腰三角形的一个角为70°

，求顶角的度数；

（3）若等腰三角形的一个角为90°

变式：

如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°

，求∠A，∠C度数．

考点2：

利用“等边对等角”进行推理证明

例2：

如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD，连接DE交BC于点P。

求证：

PD=PE；

在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。

求△ABC各角的度数.

考点3、利用“三线合一”解决有关线段和角的问题

例3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F。

（1）若∠BAD=25°

求∠C的度数；

（2）求证：

EF=ED.

如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：

BD＝CE

考点4：

创造“三线合一”的基本图形解决相关问题（高频考点）

例4：

如图，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，AM⊥CD，垂足为M，求证：

CM=MD．

如图,已知点D. 

E为△ABC的边BC上两点.AD=AE,BD=CE,为了判断∠B与∠C的大小关系,请你填空完成下面的推理过程,并在空白括号内注明推理的依据。

过点A作AH⊥BC，垂足为H.

∵在△ADE中,AD=AE（已知）

AH⊥BC（所作）

∴DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）

又∵BD=CE（已知）

∴BD+DH=CE+EH（等式的性质）

即：

BH=___

又∵___（所作）

∴AH为线段___的垂直平分线

∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）

∴___（等边对等角）

考点5、利用等腰三角形的特殊性质进行证明

例5、求证：

等腰三角形两腰上的中线相等。

考点6、利用等边三角形的性质解决有关的问题

例6、如图在等边△ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，计算△DEF各个内角的度数。

已知：

如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。

考点7：

利用等边三角形性质解决有关线段的问题（高频考点）

例7：

　已知:

如图所示,在等边三角形ABC的边AC上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证BD=DE.

考点8、利用等边三角形的定义和性质证明等边三角形

例8、如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证，△DEF是等边三角形．

考点9、利用等腰三角形判定定理证明等腰三角形

例9、如图△ABC中P是BC边上一点过点P作BC的垂线交AB于点Q交CA的延长线于点R若AQ=AR则△ABC是等腰三角形吗,说明理由.

考点10、利用等腰三角形判定定理证明线段间关系（高频考点）

例10、如图所示,△ABC中,∠ABC、∠CAB的平分线交于点P,过点P作DE平行AB,分别交BC、AC于点D、E求证：

DE=BD+AE

如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．

（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；

（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；

（3）若AB=12、AC=9，求△ADE的周长；

（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？

考点11、利用等腰三角形的性质与判定进行证明

例11、已知：

如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，过D点的直线分别交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE=CF．求证：

DE=DF．

考点12、利用反证法的一般步骤进行设计

例12、用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为

下列选项中，可以用来证明命题“若a

＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）

A.a=-2B.a=-1C.a=1D.a=2

考点13、利用反证法进行证明

例13、用反证法证明：

两条直线相交只有一个交点

在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

。

考点14、利用判定定理1判定三角形是等边三角形

例14、如图所示，在等边三角形ABC中，∠ABC、和∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，连接OE,OF.求证：

△OEF是等边三角形。

如图，D、E在线段BC上，BD=CE，∠B=∠C，∠ADB=120°

.求证：

△ADE是等边三角形.

考点15、利用判定定理2判定三角形是等边三角形

例15、如图：

在△EBD中，EB=ED，点C在BD上，CE=CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA=EC．试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

考点16：

利用含30°

的直角三角形的性质计算有关的线段或角（高频考点）

例16：

在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°

AB的垂直平分线交BC于D,交AB于E.若DE=1,求BC的长.

如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长.

考点17、利用含30°

的直角三角形的性质证明线段的倍分问题

例17、如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与 

AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证：

PQ=

BP

变式:

如图,在△ABC,∠ACB=90°

，CD、CE三等分∠ACB，CD⊥AB，

（1）AB=2BC;

（2）CE=AE=EB.