用样本估计总体.docx
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用样本估计总体
用样本估计总体
1．统计图表
（1）频率分布直方图的画法步骤
①求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
（2）频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：
随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
（3）茎叶图的画法步骤
第一步：
将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分；
第二步：
将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；
第三步：
将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．
2．样本的数字特征
（1）众数：
一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
（2）中位数：
把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
（3）平均数：
把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．
（4）标准差与方差：
设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝
s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]
3．与平均数和方差有关的结论
（1）若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；
（2）数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；
（3）若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；
（4）s2＝（xi－）2＝－2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．（ ）
（2）在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越大．（ ）
（3）茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．（ ）
（4）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．（ ）
（5）在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值．（ ）
答案：
（1）√
（2）√ （3）× （4）√ （5）√
（优质试题·高考全国卷Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至优质试题年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
解析：
选A.根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A错误．
重庆市某年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是（ ）
A．19B．20
C．21.5D．23
解析：
选B.由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，所以中位数为＝20.
（优质试题·郑州第一次质量预测）我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．
解析：
依题意得，成绩低于60分的相应的频率等于（0.005＋0.01）×20＝0.3，所以该班的学生人数是15÷0.3＝50.
答案：
50
甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数
字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．
解析：
由茎叶图可知甲的平均数为
＝24.
乙的平均数为
＝23.
答案：
24 23
茎叶图
[典例引领]
（优质试题·高考山东卷）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：
件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A．3，5 B．5，5
C．3，7D．5，7
【解析】 根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等，
所以＝
，解得x＝3.故选A.
【答案】 A
茎叶图中的三个关注点
（1）“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．
（2）重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．
（3）给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．
[通关练习]
1．（优质试题·贵州遵义航天高中模拟）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（ ）
A．117B．118
C．118.5D．119.5
解析：
选B.22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，
将分数从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76，
所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.
2．为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，现采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图所示．据此可估计上学期该校400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16，30）内的人数为（ ）
A．100B．160
C．200D．280
解析：
选B.由茎叶图可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16，30）内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16，30）内的人数为400×＝160.
频率分布直方图（高频考点）
频率分布直方图是高考的热点，选择题、填空题、解答题都有可能出现．难度一般较小．高考对频率分布直方图的考查主要有以下三个命题角度：
（1）求样本的频率、频数；
（2）求样本的数字特征；
（3）与概率结合的问题．
[典例引领]
角度一 求样本的频率、频数
（优质试题·高考山东卷）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：
小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56 B．60
C．120D．140
【解析】 由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为（0.16＋0.08＋0.04）×2.5＝0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D.
【答案】 D
角度二 求样本的数字特征
（优质试题·云南省11校跨区调研）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：
克），按照[27.5，32.5），[32.5，37.5），[37.5，42.5），[42.5，47.5），[47.5，52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）估计这种植物果实重量的平均数和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
【解】
（1）组距d＝5，由5×（0.02＋0.04＋0.075＋a＋0.015）＝1得a＝0.05.
（2）各组中点值和相应的频率依次为
中点值
30
35
40
45
50
频率
0.1
0.2
0.375
0.25
0.075
＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，
s2＝（－10）2×0.1＋（－5）2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.
角度三 与概率结合的问题
（优质试题·东北四市高考模拟）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
女性
用户
分值区间
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
频数
20
40
80
50
男性用户
分值区间
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
频数
45
75
90
60
（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样的方法从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数X的分布列和数学期望．
【解】
（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图如图．
由图可知女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大．
（2）运用分层抽样的方法从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分的用户有6人，其中评分小于90分的有4人，
从6人中任取3人，则X的可能取值为1，2，3，
P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
E（X）＝＋＋＝2.
频率、频数、样本容量的计算方法
（1）×组距＝频率．
（2）＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
[提醒] 制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确．
[通关练习]
1．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为（ ）
A．28B．40
C．56D．60
解析：
选B.设中间一组的频数为x，
因为中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，所以其他8组的频数和为x，由x＋x＝140，解得x＝40.
2．（优质试题·武汉市武昌区调研考试）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：
吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
解：
（1）由频率分布直方图，可得（0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04）×0.5＝1，
解得a＝0.30.
（2）由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为（0.12＋0.08＋0.04）×0.5＝0.12.
由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数
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