福建省至历年数学立体几何高考大题汇总及答案解.docx
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福建省至历年数学立体几何高考大题汇总及答案解
福建省2006至2012历年立体几何高考大题（文科）2006年（19）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC
2,CACBCDBDABAD======
（I）求证：
AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。
2007年（19）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.（I求证：
AB1⊥平面A1BD;
（II求二面角A-A1D-B的大小.
2008年（19.）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,
侧棱PA=PD=ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥
AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。
（1）求证：
PO⊥平面ABCD;
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离
2009年（20）（本小题满分12分）
如图，平行四边形ABCD中，60DAB︒∠=，2,4ABAD==将CBD∆沿BD折起到EBD∆的位置，使平面EDB⊥平面ABD
（I）求证：
ABDE⊥
（Ⅱ）求三棱锥EABD-的侧面积。
B
E
2010年（20）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G。
（1）证明：
AD∥平面EFGH；
（2）设AB=2AA1=2a.在长方体ABCD－A1B1C1D1内随机选取一
点。
记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F
分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.
2011年（20）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（1）求证：
CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，
CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
2012年（19）如图，在长方体1111DCBAABCD-中，2,11===AAADAB，
M为棱1DD上的一点。
（I）求三棱锥1MCCA-的体积；
（II）当MCMA+1取得最小值时，求证：
⊥MB1⊥平面MAC。
2006年：
（I）证明：
连结OC
,.BODOABADAOBD==∴⊥
,.BODOBCCDCOBD==∴⊥在AOC∆
中，由已知可得1,AOCO==
而2,AC=222,AOCOAC∴+=
90,oAOC∴∠=即.AOOC⊥
BDOCO=
AO∴⊥平面BCD
（II）解：
取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在OME∆中，
111,222
EMABOEDC====OM是直角AOC∆斜边AC上的中线，11,2OMAC∴=
=
cos4
OEM∴∠=∴异面直线AB与CD
所成角的大小为arccos
4（III）解：
设点E到平面ACD的距离为.h
11....33
EACDACDEACDCDEVVhSAOS--∆∆=∴=在ACD∆
中，2,CACDAD===
12ACDS∆∴==
而211,22CDEAOS∆===A
BM
EOC
1.7CDEACDAOShS∆∆∴===∴点E到平面ACD
的距离为7
2007年：
解法一：
（I）取BC中点O，连结AO.
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面
BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1,
连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为
BC、CC1的中点，
∴B1O⊥BD,
∴AB1⊥BD.
在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
∴AB1⊥平面A1BD.
（II设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，
∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角.
在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝
554，又∵AG＝12
1AB=2,∴sin∠AFG=4
5
42==AFAG,所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin
4.2008年：
（Ⅰ）证明：
在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角
.
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝2，在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，PB＝322=+OBOP,
cos∠PBO=33
2==PBOB,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为
36.（Ⅲ由（Ⅱ）得CD＝OB＝2，
在Rt△POC中，PC＝222=
+OPOC，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=
43·2=23.又S△=,12
1=∙ABAD设点A到平面PCD的距离h，
由VP-ACD=VA-PCD，得31S△ACD·OP＝3
1S△PCD·h，即
31×1×1＝31×2×h，解得h＝3
2.2009年：
（I）证明：
在ABD∆中，2,4,60ABADDAB︒==∠=
222,BDABBDADABDE∴==∴+=∴⊥
又平面EBD⊥平面ABD
平面EBD平面,ABDBDAB=⊂平面ABD
AB∴⊥平面EBD
DF⊂平面,EBDABDE∴⊥
（Ⅱ）解：
由（I）知,//,,ABBDCDABCDBD⊥∴⊥从而DED⊥
在RtDDBE中，QDB=23,DE=DC=AB=2\SDABE=1DB×DE=232又QAB^平面EBD,BEÌ平面EBD,\AB^BEQBE=BC=AD=4,\SDABE=1AB×BE=42QDE^BD,平面EBD^平面ABD\ED^，平面ABD而ADÌ平面ABD,\ED^AD,\SDADE=1AD×DE=42综上，三棱锥E-ABD的侧面积，S=8+232010年：
解法一：
（I）证明：
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH.∵AD￠平面EFGHEH平面EFGH∴AD//平面EFGH.（II）设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V=AB·AA1=2a2b，AD·几何体EB1F-HC1G的体积V1=（1/2EB1·1F）·1C1=b/2·1·1FBBEBB222∵EB1+B1F=a∴EB12+B1F2≤（EB12+B1F2）=a2/2,当且仅当EB1=B1F=/2成立从而V1≤a2b/4./2a时等号a2b7故p=1-V1/V≥1-42=2ab8解法二：
（I）同解法一（II）设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V=AB·AA1=2a2b，AD·几何体EB1F-HC1G的体积V1=（1/2EB1·1F）·1C1=b/2EB1·1FBBB设∠B1EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB1=acosθ，B1F=asinθ故EB1·1F=a2sinθcosθ=B号成立.从而V1£121asin2q£a2，当且仅当sin2θ=1即θ=45°时等22a2b4
a2b7∴p=1-V1/V≥1-42=，当且仅当sin2θ=1即θ=45°时等号成立.2ab87所以，p的最小值等于。
82011年：
2012年：
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