第二章数据描述.docx

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第二章数据描述

第二章　数据描述　

　　【大纲要求】

　　一、用图表展示定性数据

　　1．生成频数分布表

　　2．定性数据的图形表示

　　二、用图表展示定量数据

　　1．生成频数分布表

　　2．定量数据的图形表示

　　三、用统计表来表示数据

　　四、用数字来概括数据

　　1．定性数据的数字特征

　　2．定量数据的数字特征

　第一节　用图表展示定性数据

　　定性数据包括分类数据和顺序数据，它们的图表展示方法基本相同。

通常可以用频数分布表和图形来描述。

　　一、生成频数分布表

　　定性数据本身就是对事物的一种分类，因此，只要先把所有的类别都列出来，然后统计出每一类别的频数，就是一张频数分布表。

　　频数：

频数分布表中落在某一特定类别的数据个数。

通过频数分布可以观察不同类型数据的分布情况。

　　【例题2.1】频数分布表中落在某一特定类别的数据个数称为（　　）。

　　A．频率　　　　B．频数　　　　C．众数　　　　D．中位数

　　【答案】B

二、定性数据的图形表示

　　1．饼图

　　饼图又称圆饼图、圆形图等，它是利用圆形及圆内扇形面积来表示数值大小的图形。

饼图主要用于总体中各组成部分所占比重的研究。

　　【例题2.2】饼图的主要用途是（　　）。

　　A．用于总体中各组成部分所占比重的研究　　　　B．比较多个总体的构成

　　C．反映一组数据的分布　　　　　　　　　　　　D．比较多个样本的相似性

　　【答案】A

　　【例题2.3】某公司共有员工160人，其构成的饼图如图2-1所示，则中级管理人员数为（　　）人。

图2-1　公司结构构成图

A．8　　　　B．16　　　　C．28　　　　D．108

　　【答案】B

　　【解析】职工总数为160人，中级管理人员占10%，其人数为160×10%＝16（人）。

2．条形图（如图2-2所示）

　　条形图是用宽度相同的条形的高度或长度来表述数据多少的图形，用于观察不同类别数据的多少或分布情况。

绘制时，各类别可以放在纵轴，也可以放在横轴。

图2-2　条形图　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2-3　环形图

3．环形图（如图2-3所示）

　　饼图只能显示一个变量（如年龄变量）各部分所占的比重。

如果要比较不同变量之间的结构差异，就可以通过画环形图来实现。

　　【例题2.4】下列各项中，适合于比较研究不同变量之间的结构差异问题的是（　　）。

　　A．环形图　　　　B．饼图　　　　C．直方图　　　　D．散点图

　　【答案】A　　

第二节　用图表展示定量数据

　　一、生成频数分布表

　　生成定量数据的频数分布表时，首先是将数据进行分组，然后再统计出各组别的数据频数即可。

　　1．对数据分组

　　数据分组的组数与数据本身的特点及数据的多少有关。

由于分组的目的是观察数据分布特征，因此组数的多少应以能够适当观察数据的分布特征为准。

一般的分组个数在5~15之间。

　　【例题2.5】某管理局对其所属的企业的生产计划完成百分比采用如下分组，其中最能反映事物本质差异的分组是（　　）。

[2007年中级真题]

　　A．80~89%，90~99%，100~109%，110%以上

　　B．80%以下，80~100%，100%以上

　　C．80%以下，80~90%，90~100%，100%~110%，110%以上

　　D．85%以下，85~95%，95~105%，105%以上

　　【答案】C

　2．确定组距

　　组距：

指每个组变量值中的最大值与最小值之差。

若将最大值称为上限，最小值称为下限，则组距等于上限与下限之差，即

　　组距=上限－下限

　　第一组的下限应小于最小值，最后一组的上限应高于最大值。

　　在确定组距时，一般应当掌握以下原则：

（1）要考虑各组的划分是否能区分总体内部各个组成部分的性质差别

　　如果不能正确反映各部分质的差异，必须重新分组。

例如，按学生百分制成绩分组，必须要有60分的组限，否则不能反映是否及格的本质区别。

（2）要能准确地清晰地反映总体单位的分布特征

　　在确定组距时，在研究的现象变动比较均匀的情况下，可以采用等距分组；而当研究的现象变动很不均匀时，则一般采用不等距分组。

　　3．统计出各组的频数及频数分布表

　　在统计各组频数时，恰好等于某一组的组限时，则采取上限不在内的原则，即将该频数计算在与下限相同的组内。

【例题2.6】某地区农民家庭年人均纯收入最高为2600元，最低为1000元，据此分为八组形成闭口式等距数列，各组的组距为（　　）。

[2006年初级真题]

　　A．300　　B．200　　C．1600　　D．100

　　【答案】B

　　【解析】每组上限、下限之间的距离叫组距，即：

组距=上限－下限。

某地区农民家庭年人均纯收入最高为2600元，最低为1000元，若分为八组形成闭口式等距数列，则各组的组距=（2600－1000）/8=200。

组距=全距／组数

　　【例题2.7】某连续变量分为5组：

第一组为40~50，第二组为50~60，第三组为60~70，第四组为70~80，第五组为80以上。

依习惯上规定（　　）。

[2009年初级真题]

　　A．50在第一组，70在第四组

　　B．60在第二组，80在第五组

　　C．70在第四组，80在第五组

　　D．50在第二组，80在第四组

　　【答案】C

　　【解析】在统计各组频数时，恰好等于某一组的组限时，则采取上限不在内的原则，即将该频数计算在与下限相同的组内。

70为第三组的上限，所以应在第四组；80为第四组的上限，所以应在第五组。

二、定量数据的图形表示

　　常用来表述定量数据的统计图形有：

直方图、折线图和散点图。

此外还有茎叶图、箱线图等。

　　1．直方图

　　直方图的横坐标代表变量分组，纵坐标代表各变量值出现的频数，这样，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图。

　　2．折线图

　　折线图是利用线段的升降来说明现象变动的一种统计图，它主要用于表示现象的分配情况、现象在时间上的变化和两个现象之间的依存关系等。

图2-4　高一某班语文成绩分布的折线图

3．散点图

　　散点图是用二维坐标展示两个变量之间关系的一种图形，它是用坐标轴代表变量x，纵坐标代表变量y，每组数据（xi，yi）在坐标系中用一个点表示，n组数据在坐标系中形成的n个点称为散点，由坐标及散点形成的二维数据图称为散点图。

　　【例题2.8】为描述身高与体重之间是否有某种关系，适合采用的图形是（　　）。

　　A．直方图　　　　B．条形图　　　　C．散点图　　　　D．环形图

　　【答案】C

　　【解析】散点图来反映两个变量的关系。

题中只有两个变量，即身高和体重，因此可用散点图来描述。

　　【例题2.9】下列各项中，即适用于定性数据，又适用于定量数据的图形表示方法有（　　）。

　　A．饼图　　　　B．直方图　　　　C．条形图　　　　D．环形图　　　　E．散点图

　　【答案】ACD

　　【解析】定性数据常用的图示方法有饼图、条形图和环形图。

适用于定性数据图示表示方法，也都适用于定量数据。

但定量数据还有一些特定的图示方法，它们并不适用于定性数据，如直方图、折线图和散点图。

　第三节　用统计表来表示数据

　　统计表是一种用密集的形式归纳数据的方法。

它主要是利用行和列中的数据来表述现象特征。

　　1．利用统计表的目的

　　①在文章中使用它以支持自己的观点；

　　②利用它组织数据。

　　2．统计表的组成部分

　　①表头：

应该放在表的上方，它说明的是表的主要内容；

　　②行标题、列标题：

一般放在表的第一列和第一行，它表示的是所研究问题类别的名称和指标名称；

　　③数字资料：

表的其余部分是具体的数字资料；

　　④表外附加：

通常放在统计表的下方，用来说明资料来源、指标注释和必要的说明等内容。

通常情况下，统计表的左右两边不能封口。

第四节　用数字来概括数据

　　统计数据加工整理后，可利用统计图形和统计表来展示它的分布特征。

若要找出它的分布规律及本质特征，可以从两方面来考察：

　　①集中趋势：

数据向其中心值的靠拢程度；

　　②离散程度：

反映各个数据远离中心值的趋势和程度。

　　一、定性数据的数字特征（同样适用于定量数据）

　　对定性数据的集中趋势常用的方法就是计算比例、百分比、中位数和众数。

　　中位数：

是数据按照大小排列之后位于中间的那个数（如果样本量为奇数），或者中间两个数目的平均（如果样本量为偶数）。

——不能用于分类数据

　　众数：

就是数据中出现次数或出现频率最多的数值。

在定性数据中，由于记录的是频数，因此众数用得多些。

被调查者的最高学历

　　由上表可以看出：

众数是：

初、高中文化程度；从累计频率看，处于50%的位数在大专文化程度中，故中位数是大专文化程度。

二、定量数据的数字特征

　　反映数据集中趋势的水平度量：

平均数、中位数、众数和分位数等

　　反映数据离散程度的差异度量：

极差、四分位差、标准差和方差

　　1．水平的度量

（1）平均数（也称为均值）

　　是把某一组数据进行算术平均，用以表述某一事物的平均水平。

其计算方法有：

　　①简单平均数

　　是把一个变量的所有观测值相加再除以观测值的数目。

其计算公式为：

　　②加权平均数

　　如果原始数据为分组数据，则采用加权平均数公式计算，其中的权数f为各组的频数。

其计算公式为：

【例题2.10】加权算术平均数的大小（　　）。

[2007年初级真题]

　　A．主要受各组标志值大小的影响，而与各组次数的多少无关

　　B．主要受各组次数多少的影响，而与各组标志值的大小无关

　　C．既受各组标志值大小的影响，又受各组次数多少的影响

　　D．既与各组标志值大小无关，又与各组次数多少无关

　　【答案】C

　　【解析】加权算术平均数计算公式为：

　　决定加权算术平均数大小的因素有两个：

其一是各组标志值的大小；其二是权数的影响。

权数对算术平均数的影响，不决定于权数本身数值的大小，而是取决于作为权数的各组次数占总体次数的比重的大小。

各组次数占总体次数的比重是计算加权算术平均数的实质权数。

　　【例题2.11】某工厂新工人月工资400元，工人人数500人；老工人月工资800元，工人人数100人，则该工厂工人平均工资为（　　）。

[2008年初级真题]

　　A．600元　　　　B．533.33元　　　　C．466.67元　　　　D．500元

　　【答案】C

　　【解析】根据分组资料，应采用加权平均数计算平均数。

由题得，该工厂工人平均工资为：

（2）中位数

　　中位数：

它是数据按照大小排列之后位于中间的那个数（如果样本量为奇数），或者中间两个数目的平均（如果样本量为偶数）。

　　（3）众数

　　众数：

就是数据中出现次数或出现频率最多的数值。

　　（4）用哪个值代表一组数据

　　平均数的主要缺点是更容易受少数极端数值的影响，对于严重偏态分布的数据，平均数的代表性较差。

　　中位数和众数的优点是不受极端值的影响，具有统计上的稳健性，当数据为偏态分布，特别是偏斜程度较大时，可以考虑选择中位数和众数，这时它们的代表性要比平均数好。

　　【例题2.12】在各种平均指标中，不受极端值影响的平均指标有（　　）。

[2009年中级真题]

　　A．算数平均数　　B．调和平均数　　C．中位数　　D．几何平均数　　E．众数

　　【答案】CE

　　【例题2.13】在某城市中随机抽取8个家庭．调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位：

元）：

　　2080　　1750　　2080　　2080　　1850　　1960　　2250　　2630

　　则中位数和众数分别为（　　）。

　　A．4.5；4　　　　B．2080；2080　　　　C．1960；2080　　　　D．2080；2250

　　【答案】B

　　【解析】将这8个数据从小到大排序得：

1750、1850、1960、2080、2080、2080、2250、2630。

则中位数为：

（2080+2080）/2=2080（元）；由于2080出现的次数最多为3次，因此众数应为2080元。

2．差异的度量

（1）极差

　　极差又称全距，是最简单的离散指标，它是一组数据中的最大值和最小值之差。

计算公式为：

　　R=xmax－xmin

　　优点：

计算极差非常简单，含义也很直观。

　　缺点：

仅仅受最大值和最小值的影响，不能反映一组数据变量分布的情况，而且它非常容易受极端值的影响。

因此，它不能准确地描述数据的分散程度。

　　【例题2.14】在反映各变量值离散趋势的变异指标中，只与变量极端标志值有关的指标是（　　）。

[2006年中级真题]

　　A．全距　　　　B．平均差　　　　C．标准差　　　　D．方差

　　【答案】A

　　【例题2.15】下列关于数据2，5，5，7，9，5，9的说法，正确的是（　　）。

　　A．平均数为5　　　B．中位数为5　　　C．众数为5　　　D．极差为7　　　E．平均数为6

　　【答案】BCDE

　　【解析】将7个数从小到大排序为：

2，5，5，5，7，9，9，可知平均数为：

（2+5+5+7+9+5+9）/7＝6；中位数为x（n+1）/2=x4=5；众数为5；极差R＝9－2＝7。

（2）方差和标准差

　　①方差

　　是将各个变量值和其均值离差平方的平均数，作为样本数据，它反映了样本中各个观测值到其均值的平均离散程度。

其计算公式为：

　　☞未分组的计算公式：

　　☞分组的计算公式：

　　②标准差

　　是方差的平方根，它与方差相比更具量纲性，而且与变量值的计量单位相同，使用的范围也比方差更广泛。

　　☞未分组的计算公式：

　　☞分组的计算公式：

　　在一个统计样本中，其标准差越大，说明它的各个观测值分布的越分散，它的趋中程度就越差。

反之，其标准差越小，说明它的各个观测值分布的越集中，它的趋中程度就越好。

【例题2.16】两个总体的平均数相等，标准差不等，若比较两总体平均数的代表性，以下说法正确的是（　　）。

[2009年初级真题]

　　A．标准差大的，代表性大

　　B．标准差小的，代表性大

　　C．标准差小的，代表性小

　　D．两平均数的代表性相同

　　【答案】B

　　【例题2.17】标准差指标数值越小，则说明变量值（　　）。

[2008年初级真题]

　　A．越分散，平均数代表性越低　　　　B．越集中，平均数代表性越高

　　C．越分散，平均数代表性越高　　　　D．越集中，平均数代表性越低

　　【答案】B

　　【例题2.18】下列指标中不可能出现负值的有（　　）。

　　A．众数　　　　B．全距　　　　C．标准差　　　　D．方差　　　　E．中位数

　　【答案】BCD　

（3）离散系数（变异系数、标准差系数）

　　用于更准确地反映研究现象的差异程度。

　　离散系数，它是将一组数据的标准差除以其均值，用来测度数据离散程度的相对数。

其计算公式是：

　　①总体数据的离散系数：

　　②样本数据的离散系数：

　　【例题2.19】有下列甲，乙两部门职员工资数据：

甲部门职员工资4000，3000，2500，2000。

乙部门职员工资3000，4750，3500，2750。

若要比较这两部门职员平均工资差异程度大小，应选用的方法是（　　）。

[2006年初级真题]

　　A．极差　　B．标准差　　C．变异系数　　D．平均数

　　【答案】C

　　【解析】由题可得　　　　　　　　　　　　　；对于具有不同水平的数列或总体，不能直接用平均差或标准差来比较其标志变动程度的大小，而应计算相应的变异系数，以相对数的形式来进行比较。

（4）标准分数（标准化值、Z分数）

　　标准分数，是变量值与其平均数的离差除以标准差后的值，用以测定某一个数据在该组数据中的相对位置。

其计算公式为：

　　标准分数最大的用途是可以把两组数据中的两个不同均值，不同标准差的数据进行对比，以判定它们在各组中的位置。

　　【例题2.20】变量值与其平均数的离差除以标准差后的值称为（　　）。

　　A．标准分数　　　B．离散系数　　　C．方差　　　D．标准差

　　【答案】A

本章考核的知识点

　　第一节用图表展示定性数据

　　频数分布表、饼图、条形图、环形图

　　第二节用图表展示定量数据

　　频数分布表：

确定组数，确定组距（不重不漏；等距、不等距），统计频数生成频数分布表（上限不在内）

　　直方图、折线图、散点图

　　第三节用统计表来表示数据

　　统计表的构成：

表头、行标题、列标题、数字资料、表外资料

　　统计表的格式一般是“开口”式的，即表的左右两边不能封口。

　　第四节　用数字来概括数据

　　1．定性数据：

众数、中位数（分类数据、顺序数据）、比例、百分比

　　2．定量数据

　　集中趋势：

平均数、中位数、众数、分位数

　　离散程度：

极差、四分位差（内距）、标准差、方差、离散系数

　　标准分数

第三章　参数估计

　　【大纲要求】

　　一、抽样分布

　　1．总体分布与总体参数

　　2．统计量与抽样分布

　　3．统计量的标准误差

　　二、参数估计

　　1．点估计与区间估计

　　2．评价估计量的标准

　　3．一个总体均值的区间估计

　　4．一个总体比例的区间估计

　　三、样本量的确定

　　1．估计总体均值时样本量的确定

2．估计总体比例时样本量的确定

第一节　抽样分布

　　一、总体分布与总体参数

　　总体分布：

是总体中所有观察值所形成的分布。

　　由于总体中的观察值是有差别的，可以视为随机变量，用X表示，X的分布就是总体分布。

　　总体参数：

是对总体特征的某个概括性的度量。

如：

总体的均值、总体方差、总体比例等。

　　二、统计量与抽样分布

　　1．统计量

　　是根据样本数据计算的用于推断总体的某些量，是对样本特征的某个概括性度量。

因此，统计量是样本的函数。

其特征有：

（1）构成统计量的函数中不能包含未知因素

　　由于样本抽取出来以后，样本值就是已经观察到的值，这个样本的统计量就是已知的，所以构成统计量的函数中不能包含未知因素。

（2）统计量是一随机变量

　　由于样本是从总体中随机抽取的，样本具有随机性，由样本数据计算出的统计量也就是随机的。

所以在抽取样本前，理论上统计量是一随机变量。

【例题3.1】设总体，X1，X2，X3，X4是正态总体X的一个样本，为样本均值，s2为样本方差，若为未知参数且为已知参数，下列随机变量中属于统计量的有（　　）。

[2005年中级真题]

　　A．　　　　　　　　　　B．

　　C．　　　　　　　　　　D．　　　　　　　　E．

　　【答案】AE

　　【解析】统计量是指针对不同的统计问题构造一个不含未知参数的样本函数。

BCD三项函数中都含有未知参数，所以不属于统计量。

　　2．抽样分布

　　由样本统计量所形成的概率分布就是抽样分布，如样本均值的分布，样本比例的分布等。

抽样分布仅仅是一种理论分布。

　　统计量的概率分布（抽样分布），提供了该统计量长远而稳定的信息，它构成了推断总体参数的理论基础。

　　【例题3.2】从一般意义上讲，抽样分布的含义是指（　　）。

[2006年中级真题]

　　A．一个样本中各观察值的分布　　B．总体中各元素的观察值所形成的分布

　　C．抽样推断中假设的分布　　　　D．样本统计量的概率分布

　　【答案】D

　3．样本均值的抽样分布

（1）重置抽样和不重置抽样

　　①重置抽样

　　指在抽取样本单位的时候每次只抽取一个样本单位，观察记录之后再放回到总体中参加下一次的抽样，这样在抽样过程中总体单位总数始终不变。

　　②不重置抽样

　　指在抽取样本单位的时候每次只抽取一个样本单位，观察记录之后不再放回到总体中参加下一次的抽样，这样在抽样的过程中总体单位总数始终在减少。

　　例如：

设总体共有N个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本：

　　☞在重置抽样时，共有Nn种抽法；

　　☞在不重置抽样时，共有种可能的抽法。

　　【例题3.3】重置抽样的特点是（　　）。

[2007年初级真题]

　　A．每次抽样的总体单位数都是不同的　　　B．各次抽选相互影响

　　C．每次抽选时，总体单位数都在逐渐减少　　D．每次抽选时，总体单位数始终不变

　　【答案】D

（2）样本均值的均值

　　样本均值的抽样分布：

是所有可能抽出来的样本　的分布，数理统计学的相关定理已经证明：

　　即样本均值的均值就是总体均值。

　　（3）样本均值方差的计算

　　①在重置抽样时，样本均值的方差为总体方差　　的　　　，即

　　②在不重置抽样时，样本均值的方差为：

　　其中，　　　为修正系数，对于无限总体进行不重置抽样时，可以按照重置抽样计算，当总体为有限总体，N比较大而n/N≥5％时，修正系数可以简化为1－n/N，当N比较大而n/N<5％时，修正系数可以近似为1，即可以按重置抽样计算。

（4）样本均值的分布

　　①可以证明当总体服从正态分布时，样本均值一定服从正态分布，即有：

　　②若总体为未知的非正态分布时，只要样本容量n足够大（通常要求n≥30），样本均值仍会接近正态分布，其分布的期望值为总体均值，方差为总体方差的1/n。

——这就是统计上著名的中心极限定理。

即：

　　从均值为、方差为的总体中，抽取样本量为n的随机样本，当n充分大时（通常要求n≥30），样本均值的分布近似服从均值为、方差为的正态分布。

　　③如果总体不是正态分布，当为小样本时（通常<30），样本均值的分布则不服从正态分布。

【例题3.4】由样本均值的抽样分布可知样本统计量与总体参数之间的关系为（　　）。

[2009年中级真题]

　　A．在重复抽样条件下，样本均值的方差等于总体方差的1/n

　　B．样本方差等于总体方差的1/n

　　C．样本均值的期望值等于总体均值

　　D．样本均值恰好等于总体均值

　　E．样本均值的方差等于总体方差

　　【答案】AC

　　【解析】在重置或者不重置抽样的条件下，样本均值的期望值恰好等于总体均值。

在重置抽样时，样本均值的

标准差为总体标准差的1/n，即。

在不重置抽样时，样本均值的标准差为。

　　【例题3.5】假定10亿人口大国和100万人口小国的居民年龄标准差相同，现在各自用重复抽样方法抽取本国的1‰人口了解年龄状况，比较抽样误差，两者的关系为（　　）。

[2008年初级真题]

　　A．两者相等　　　　　　B．前者大于后者

　　C．前者小于后者　　　　D．不能确定

　　【答案】C

　　【解析】在重置抽样时，样本均值的方差为总体方差的1/n，即。

可见，在标准差一定时，样本容量与抽样误差成反比，样本容量大的，抽样误差小。

【例题3.6】对甲乙两个工厂工人平均工资进行纯随机不重复抽样调查，调查的工人数一样，两工厂工资方差相同，但甲厂工人总数比乙厂工人总数多一倍，则抽样平均误差（　　）。

[2009年初级真题]

　　A．甲厂比乙厂大

　　B．乙厂比甲厂大

　　C．两个工厂一样大

　　D．无法确定

　　【答案】A

　　【解析】在不重置抽样时，样本均值的方差为