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数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；
数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
课标修改稿：
数学是研究数量关系和空间形式的科学。
数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具……；
数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。
要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用树立正确的数学教学观：
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
数学教学中最需要考虑的是什么？
数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；
要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。
四、“双基”变“四基”：
“双基”：
基础知识、基本技能；
“四基”：
基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
“四基”与数学素养：
掌握数学基础知识，训练数学基本技能，领悟数学基本思想，积累数学基本活动经验。
《国家数学课程标准》制定组组长、东北师大校长史宁中教授提出了“数学教学的四基”，引起了数学教育界的广泛关注。
以前强调的双基是指基础知识、基本技能，双基教学重视基础知识、基本技能的传授，讲究精讲多练，主张‘练中学’，相信‘熟能生巧’，追求基础知识的记忆和掌握、基本技能的操演和熟练，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为其主要的教学目标。
现在提出的四基不但包括了基础知识、基本技能、还增加了基本思想、基本活动经验。
史宁中教授指出：
“‘基本思想’主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。
”关于基本思想方法，陈老师为我们分析了数学思想方法的四大育人功能：
一是有利于完善学生的数学认知结构；
二是可以提升学生的元认知水平；
三是可以发展学生的思维能力；
四是有利于培养学生解决问题的能力。
“双基”变“四基”，为数学教师提出了更高的要求，要求数学教师必须为儿童的学习和个人发展提供了最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进儿童的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学得到不同的发展。
“双基”变“四基”，任重而道远。
常用的数学思想方法：
对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等。
五、关于设计思路的修改：
学段划分保持不变；
对课程目标动词及水平要求的设计基本保持不变，增加了目标动词的同义词；
对四个学习领域的名称作适当调整；
对学习内容中的若干关键词作适当调整对其意义作更明确的阐释。
六、四个领域名称的变化：
数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用
数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践
七、主要的关键词的变化：
数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力
数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念。
最近一次修改又加上了：
应用意识、创新意识。
符号感为何改为符号意识？
符号感（SymbolSense）
“符号感”主要表现在：
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；
理解符号所代表的数量关系和变化规律；
会进行符号间的转换；
能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。
”
修改稿：
“符号意识”主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；
知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。
建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
符号感与数感都用“感”，“感”的表述过多。
符号感主要的不是潜意识、直觉。
符号感最重要的内涵是运用符号进行数学思考和表达，进行数学活动。
“意识”有两个意思：
第一，用符号可以进行运算，可以进行推理；
第二，用符号进行的运算和推理得到的结果具有一般性。
所以这是一个“意识”问题，而不是“感”的问题。
数学的本质是概念和符号，并通过概念和符号进行运算和推理。
所以只能用“意识”。
八、关于课程目标的修改：
在总体目标中突出了“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向。
课程目标提法上的一些变化：
——明确了使学生获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（数学“四基）。
——提出了培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力。
——目标具体从“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面阐述。
——学段目标的表述方式有所改变。
九、关于内容标准的修改：
在各个教学段中，《标准》安排了四个方面的内容：
“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”。
1.数与代数
“数与代数”的主要内容有：
数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；
字母表示数，代数式及其运算；
方程、方程组、不等式、函数等。
在“数与代数”的教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力，树立模型思想。
理解意义，培养数感
◆认数教学以理解数的意义为重点。
让学生理解数的意义，建立正确的数的概念一般有两个角度：
一是从数的组成去建构；
二是联系实际来体会。
◆数感需要培养。
数感与具有数学知识的多少、理解数学知识的程度有关，便更多地表现为应用数与运算的态度和意识。
◆如果把抽象的数学知识与具体的图形结合起来，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效降低教学难度。
核心概念
◎数感：
数感主要是指关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计等方面的直观感觉。
建立“数感”有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情景中的数量关系。
主要表现在：
⑴理解数的意义；
⑵能用多种方法来表示数；
⑶能在具体的情境中把握数的相对大小关系；
⑷能用用来表达和交流信息；
⑸能为解决问题而选择适当的算法；
⑹能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。
教学实践：
⑴在数概念教学中重视数感的培养：
①通过体验、观察、估计，获得数感的启蒙；
②引导用数学方法思考，建立数感
学生学会数学地思考问题，用数学的方法理解和解释实际问题，能从现实的情境中看问题；
③联系数意义的现实应用，培养数感
了解数在现实生活中的应用，有助于学生体会数的意义，建立数感。
⑵在数运算教学中发展数感
结合具体问题选择恰当算法、强化数感（学习运算是为了解决问题，而不是单纯为了计算）；
在现实情境中把握运算意义、深化数感；
◎符号意识：
指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；
建立“符号意识”有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
具体表现在：
⑴能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；
⑵理解符号所代表的数量关系和变化规律；
⑶会进行符号间的转换；
⑷能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。
经历从具体的事物——学会个性化的符号表示——学会数学地表示
⑴要准确假设学习主体的能力，把握学生已有的知识和经验积累，唤醒符号意识，由此作为发展的生长点。
（例如：
找规律）
⑵注意学习方式的转变，通过创设情境，让学生尝试解决问题，通过个体自主观察、思考、群体交流、讨论、辨析，逐步建构，实现逐步优化。
（用字母表示数：
青蛙儿歌）
⑶学习内容的拓展，提供相匹配的材料，灵活地把握教学目标。
汽车运行图）
◎运算是“数与代数”的重要内容，运算是基于法则进行的，通常运算满足一定的运算律。
学习这些内容有助于理解运算律，培养运算能力。
⑴把握基本矛盾走向有效教学
◆在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重口算训练的科学合理性。
◆基本算法并不是唯一的算法，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。
多数学生喜欢的方法，教师易教，学生易学的方法，对后续知识的掌握有价值的方法，是最理想的基本算法。
◆在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生装在充分体验中逐步完成由动作思维向形象思维，再向抽象思维的发展过程。
⑵理解算理和掌握算法不可偏颇：
◆典型算法（包括典型错例）的呈现应该全面完整；
◆情景图、旧方法和新算法之间的沟通应该及时有效；
◆新算法的练习有一定的时间和一定的量。
⑶算法多样化和算法最优化的处理
①理解算法多样化与算法最优化的内涵：
算法多样化包括计算方法和解题策略的多样性。
多样化是指群体的多样化，是学生不同个性和不同思维结果的展现；
优化是指个体的优化，它是多种方法的比较中所产生的相对性。
②找准算法多样化的前提：
实施算法多样化也是有前提的，各种不同算法要建立在思维等价的基础上，否则多样化就会导致泛化。
以学生思维凭借的依据看，可以分为基于动作的思维、基于形象的思维、基于符号与逻辑的思维。
显然这三种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程应是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制规定和主观臆断的过程，应让学生逐步找到适合自己的最优算法。
③实现算法多样化的途径：
实现算法多样化，需要自主探究、合作交流的方式；
实现算法多样化，需要教师有创造性开发课程资源的意识（关键在于如何将静态的文本变为动态的材料）
④把握算法优化的标准：
·
随着学习内容的发展，逐步引导学生调整算法；
尊重不同算法，不等于不能强化最优的方法，不能无原则放任低思维层次的算法。
引导学生掌握基本算法：
基本算法并不是唯一的算法，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。
不要混淆规则和算法的关系：
规则具有规律性、普遍性，它是数学学习的核心，是解决问题的知识储备，算法是解决问题的具体策略，它具有情境性、个体性。
⑷估算的教学
（一）注重学生估算意识的培养。
1.教师要注重估算，并把估算意识的培养作为重要的教学目标；
2.要选好题目，提出好问题，让学生去体会估算的必要性；
3.要鼓励学生利用估算来验证计算结果，养成好习惯；
4.要引导学生在问题情景的对比中，选择估算或精确计算，不断地积累经验。
（二）让学生在感受估算的价值中学会估算的策略和方法。
1.鼓励学生解释估算的理由和思路；
2.教师要积极地引导学生进行二次反思与调整；
3.教师要帮助学生在实践中不断总结估算的策略，不断提高估算的能力。
（三）对学生的估算作适度的评价。
1.根据实际问题，选择合理的估算策略，结果合理方为正确；
2.脱离实际问题情境，纯试题的估算，只要结果落在区间内，方为正确。
但要根据不同年龄的学生的认知实际，给予针对性的评价；
3.估算结果落在合适的数量级中，方为正确。
⑸计算教学的一般教学流程：
创设情境，探究算法——交流算法，理解算理——练习巩固，掌握算法
◎模型也是“数与代数”的重要内容，方程、方程组、不等式、函数等都是基本的数学模型。
这些内容有助于培养学生的学习兴趣和应用意识，体会数学建模的过程，树立模型思想。
从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；
用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；
求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程。
近似、概括、抽象
数学建模就是从具体的数学问题情境中运用数学符号语言加以概括与提升，使之简约化与精确化的过程。
建模过程：
实际问题（现实原型）————————————数学模型（方程、函数等）
得解
2.图形与几何
“图形与几何”主要内容有：
空间和平面的基本图形，图形的性质和分类；
平面图形基本性质的证明；
图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；
运用坐标描述图形的位置和图形的运动。
核心概念：
空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；
能够想象出空间物体的方位和相互之间的位置关系；
根据语言描述或通过想象画出图形等。
⑴能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；
⑵能根据条件做出立体模型或画出图形；
⑶能从比较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；
⑷能描述实物或几何图形的运动和变化；
⑸能采用适当的方式描述物体间的位置关系；
⑹能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。
空间观念的培养：
⑴强调内容的现实背景，联系学生的生活经验和活动经验，展示丰富多彩的几何世界，注重二维与三维的相互转换，教学内容要有现实的、有意义的、富有挑战性。
⑵灵活运用多元的学习方式，重视实践操作、测量，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，突出探究性活动，使学生亲历“做数学”的过程。
⑶加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。
（注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程，注重探索图形性质及其变化规律的过程。
⑷突出现代教育技术的作用，有效突破教学难点，丰富学生的直观体验，获得感性认识。
⑸突出文化价值。
例如七巧板材料的合理运用。
几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。
在许多情况下，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。
几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习中。
推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，因此，与直观一样，推理也贯穿在整个数学学习中。
推理一般包括合情推理和演绎推理。
合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果，是由特殊到一般的过程。
演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）验证结论，是由一般到特殊的过程。
在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；
演绎推理用于验证结论的正确性。
推理能力的表现：
⑴能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；
⑵能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；
⑶在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。
推理能力的培养：
⑴把推理能力的培养有机地融合在数学教学的过程中；
⑵推理能力的培养落实到各个领域之中；
⑶通过学生熟悉的生活情境发展学生的推理能力；
⑷培养学生的推理能力，要注意层次性和差异性。
一个凸显数学本质的教学领域——“探索规律”备课解读与难点透视
◆探索规律作为数学知识结构的部分，也需要系统的眼光，构建一个适合学生学习的序列。
◆从在一个单位时间设计一个教学活动的教学角度看，教材的编写和课堂教学设计都是选择的艺术。
教学目标的多元化也促使教学时要更注重效率。
3.统计与概率
“统计与概率”主要内容有：
收集、整理和描述数据，包括简单抽样、记录调查数据、描绘统计图表等；
处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；
从数据中提取信息并进行简单的判断。
简单随机事件及其发生的概率。
数据分析包括：
了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究、收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴涵着信息的；
体验数据是随机的和有规律的，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律；
了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。
统计观念：
能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；
能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；
能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。
统计观念的培养：
⑴使学生经历统计活动的全过程（观念的建立需要人们亲身的经历，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的全过程中：
提出问题、收集数据、整理数据、分析数据、作出决策、进行交流、评价与改进，从“有所体验——经历——从事”。
⑵使学生在现实情境中体会统计对决策的影响。
在概率的学习中，所涉及的随机现象都基于简单事件：
所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相同的。
“统计与概率”的内容与现实生活联系密切，必须结合具体案例组织教学。
4.综合与实践
“综合与实践”是以一类问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径。
针对问题情景，学生借助所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解。
这种类型的课程对于培养学生的抽象能力和逻辑思维能力、对于培养学生的创新意识和应用能力是有益处的，还有利于培养学生的合作精神。
合理地设计课程内容以及教学方法是达到教学目标的关键，既要考虑学生的直接经验、能够启发学生思考，也要考虑问题的数学实质、培养学生的数学素养。
这种类型的课程对教师是一种挑战，教师应努力把握住问题的本质，能够引导学生思考，同时，教师又应努力帮助学生整理清楚自己的思路，指导学生以不同的形式展示自己的成果或报告自己的工作。
这种类型的课程应当贯彻“少而精”的原则，保证每学期至少一次。
它可以在课堂上完成，也可以将课内外相结合。
◎应用意识
主要变现在：
认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；
面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；
面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
从认识层面上，知道数学知识来源于生活，并能用于指导生活。
从操作层面，认识到收集、整理、描述等重要的数据处理方法的应用价值；
从思维层面上，理解到分析比较、抽象概括和判断推理等数学思维方法是分析问题、探究规律的重要方法，并能运用到解决问题的过程中。
培养策略：
⑴问题情境——从真实中感受数学学习的价值（注重数学知识的来龙去脉，从实际生活引入数学学习材料，促进学生对数学的理解和形成正确的数学观，让学生感受数学来自生活。
教师组织、处理和开发教学资源，向学生呈现与生活相联系具有较为真实的现实背景的教学内容。
⑵教学过程——让学生为解决问题而探索（任务驱动的教学设计使数学应用能真正贯穿其中，问题解决的思路，不断用数学的过程，一个主动探究、主动建模的过程、策略的丰富性、方法的多样性。
数学应用意识总是问题解决的过程中不断得到体现与发展）。
⑶应用拓展——努力构建“用数学”的通道。
◎解决问题，一个亟待思考和解决的问题
认识：
真正符合“解决问题”内涵的情况并非全部（并非所有问题具有明显的障碍性。
数学学习不是也不可能所有问题都是典型的“问题”或“解决问题”，它必然需要有意义的接受——思维训练。
解决问题狭义的理解：
根据数学情境，理解与简化信息，综合运用数学知识，分析问题结构，提炼数量关系与方法模型，获得问题结果或解决程序，积累数学经验，发展数学思维的过程。
解决问题如何更好地承载学生思维品质培养的任务：
解决问题内容定位：
为让学生综合应用数学知识，经历解决问题的过程，获得解决问题的模型、方法和策略，提高解决问题的能力，发展思维而设计。
目标：
（信息获取与筛选能力；
解决问题的模型与策略、思维的方法与品质）→解决问题的经验
数学模型——基于数学思维的培养（模拟、简化、典型化）
⑴提供适度数学化（加工度）的问题情境，引导学生掌握有效提取问题情境中的数学问题的方法，学会分析信息之间的数学关系。
⑵通过交流与提炼，把握解决问题的基本模型，学会把握解决问题的关键（思维连接点）。
⑶根据解决问题的心理过程，引导学会对数学问题及数量关系进行表达（符号、图式），让学生掌握解决问题的基本程序（理解——转换——实施——反思）。
⑷结合解决问题的过程，培养学生的思维品质，难点是思维的深刻性与灵活性。
⑸关注解决问题过程中两种思维方法的训练（综合法与分析法）。
综合——从相关信息——必定或可能的结果
分析——从相关问题——必需或可能的要素
⑹努力让不同水平的学生经历真正解决问题的过程。
⑺整体了解把握教材，努力体现解决问题教学的知识要求、思维要求、方法模型要求的阶段性和连贯性，使教学具有全局性。
⑻重视知识、方法的沟通与内容的适度拓展（关注经验、淡化类型，知识技能还有能力素养。
⑼把握解决问题的四个阶段。
⑽把握教学要求：
一步基础，两步重点，三步提出要求。
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