高考数学一轮复习配套讲义集合及其运算Word格式.docx
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A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
辨析感悟
1.元素与集合的辨别
(1)若{
1}={0,1},则x=0,1.(×
)
(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.(√)
(3)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B={x|x∈R}.(×
2.对集合基本运算的辨别
(4)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立.(√)
(5)(2013·
浙江卷改编)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(∁RS)∪T={x|-4≤x≤1}.(×
(6)(2013·
陕西卷改编)设全集为R,函数f(x)=
的定义域为M,则∁RM={x|x>1,或x<-1}.(√)
[感悟·
提升]
1.一点提醒 求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件.如第(3)题就是混淆了数集与点集.
2.两个防范 一是忽视元素的互异性,如
(1);
二是运算不准确,尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心,如(6).
3.集合的运算性质:
①A∪B=B⇔A⊆B;
②A∩B=A⇔A⊆B;
③A∪(∁UA)=U;
④A∩(∁UA)=∅.
考点一 集合的基本概念
【【例1】】
【例1】
(1)(2013·
江西卷)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( ).
A.4B.2C.0D.0或4
(2)(2013·
山东卷)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ).
A.1B.3C.5D.9
解析
(1)由ax2+ax+1=0只有一个实数解,可得当a=0时,方程无实数解;
当a≠0时,则Δ=a2-4a=0,解得a=4(a=0不合题意舍去).
(2)x-y∈{-2,-1,0,1,2}.
答案
(1)A
(2)C
规律方法集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【训练1】已知a∈R,b∈R,若
={a2,a+b,0},则a2014+b2014=________.
解析 由已知得
=0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2014+b2014=1.
答案 1
考点二 集合间的基本关系
【例2】
(1)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<
x<
2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围.
(2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,求m的值.
审题路线
(1)分B=∅和B≠∅两种情况求解,当B≠∅时,应注意端点的取值.
(2)先求A,再利用(∁UA)∩B=∅⇔B⊆A,应对B分三种情况讨论.
解
(1)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
解得2<
m≤4.
综上,m的取值范围是(-∞,4].
(2)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A,
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·
(-2)=4,这两式不能同时成立,
∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·
(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.
规律方法
(1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.
(2)在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论.
【训练2】
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<
5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( ).
A.1B.2C.3D.4
(2)(2014·
郑州模拟)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为( ).
A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}
解析
(1)由题意知:
A={1,2},B={1,2,3,4}.又A⊆C⊆B,则集合C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
(2)a=0时,B={x|1≠0}=∅⊆A;
a≠0时,B=
⊆A,则-
=-1或-
=1,故a=0或a=1或-1.
答案
(1)D
(2)D
考点三 集合的基本运算
【例3】
湖北卷)已知全集为R,集合A=
,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩∁RB=( ).
A.{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4}
C.{x|0≤x<2,或x>4}D.{x|0<x≤2,或x≥4}
唐山模拟)若集合M={y|y=3x},集合S={x|y=lg(x-1)},则下列各式正确的是( ).
A.M∪S=MB.M∪S=S
C.M=SD.M∩S=∅
解析
(1)A=
={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},所以∁RB={x|x<2,或x>4},此时A∩∁RB={x|0≤x<2,或x>4}.
(2)M={y|y>0},S={x|x>1},故选A.
答案
(1)C
(2)A
规律方法一般来讲,集合中的元素离散时,则用Venn图表示;
集合中的元素是连续的实数时,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
【训练3】
(1)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B为( ).
A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}
(2)已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|log2(x-2)<1},则A∩(∁UB)=________.
解析
(1)∁UA={0,4},∴(∁UA)∪B={0,2,4}.
(2)由log2(x-2)<1,得0<x-2<2,2<x<4,所以B={x|2<x<4}.故∁UB={x|x≤2,或x≥4},从而A∩(∁UB)={x|-1≤x≤2}.
答案
(1)C
(2){x|-1≤x≤2}
数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决.
学生用书第3页
创新突破1——与集合有关的新概念问题
【典例】已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ).
A.3B.6C.8D.10
解析 法一(列表法) 因为x∈A,y∈A,所以x,y的取值只能为1,2,3,4,5,故x,y及x-y的取值如下表所示:
x
x-y
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
由题意x-y∈A,故x-y只能取1,2,3,4,由表可知实数对(x,y)的取值满足条件的共有10个,即B中的元素个数为10,故选D.
法二(直接法) 因为A={1,2,3,4,5},所以集合A中的元素都为正数,若x-y∈A,则必有x-y>0,x>y.
当y=1时,x可取2,3,4,5,共有4个数;
当y=2时,x可取3,4,5,共有3个数;
当y=3时,x可取4,5,共有2个数;
当y=4时,x只能取5,共有1个数;
当y=5时,x不能取任何值.
综上,满足条件的实数对(x,y)的个数为
4+3+2+1=10.
答案 D
[反思感悟]
(1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算.
(2)以集合为载体的新定义问题,是高考命题创新型试题的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性解决问题的能力.
【自主体验】
1.(2013·
广东卷)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是( ).
A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S
B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S
C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S
D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S
解析 题目中x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立说明x,y,z是互不相等的三个正整数,可用特殊值法求解,不妨取x=1,y=2,z=3,w=4满足题意,且(2,3,4)∈S,(1,2,4)∈S,从而(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S成立.
答案 B
2.(2013·
浙江部分重点中学调研)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“好元素”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”的集合共有( ).
A.6个B.12个C.9个D.5个
解析 依题意,可知由S的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”,则这3个元素一定是相连的3个数.故这样的集合共有6个.
答案 A
对应学生用书P219
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
新课标全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-
<x<
},则( ).
A.A∩B=∅B.A∪B=R
C.B⊆AD.A⊆B
解析 集合A={x|x>2,或x<0},所以A∪B={x|x>2,或x<0}∪{x|-
}=R.
广东卷)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T=( ).
A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2}
解析 S={-2,0},T={0,2},∴S∩T={0}.
3.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ).
A.2个B.4个
C.6个D.8个
解析 P=M∩N={1,3},故P的子集共有4个.
4.(2013·
辽宁卷)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=( ).
A.(0,1)B.(0,2]
C.(1,2)D.(1,2]
解析 0<log4x<1,即log41<log4x<log44,∴1<x<4,∴集合A={x|1<x<4},∴A∩B={x|1<x≤2}.
5.设集合A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为( ).
A.{x|x≥1}B.{x|-4<x<2}
C.{x|-8<x<1}D.{x|1≤x<2}
解析 阴影部分是A∩∁RB.集合A={x|-4<x<2},∁RB={x|x≥1},所以A∩∁RB={x|1≤x<2}.
二、填空题
6.(2013·
江苏卷)集合{-1,0,1}共有________个子集.
解析 所给集合的子集个数为23=8个.
答案 8
7.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为________.
解析 根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故只能是a=4.
答案 4
8.集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为________.
解析 由|x-2|≤5,得-5≤x-2≤5,即-3≤x≤7,所以集合A中的最小整数为-3.
答案 -3
三、解答题
9.已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若A∩B={-3},求A∪B.
解 由A∩B={-3}知,-3∈B.
又a2+1≥1,故只有a-3,a-2可能等于-3.
①当a-3=-3时,a=0,此时A={0,1,-3},B={-3,-2,1},A∩B={1,-3}.
故a=0舍去.
②当a-2=-3时,a=-1,
此时A={1,0,-3},B={-4,-3,2},
满足A∩B={-3},从而A∪B={-4,-3,0,1,2}.
10.设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},
(1)若B⊆A,求a的值;
(2)若A⊆B,求a的值.
解
(1)A={0,-4},
①当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)<0,解得a<-1;
②当B为单元素集时,a=-1,此时B={0}符合题意;
③当B=A时,由根与系数的关系得:
解得a=1.
综上可知:
a≤-1或a=1.
(2)若A⊆B,必有A=B,由
(1)知a=1.
能力提升题组
25分钟)
1.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( ).
A.5B.4C.3D.2
解析 当x=-1,y=0时,z=-1;
当x=-1,y=2时,z=1;
当x=1,y=0时,z=1;
当x=1,y=2时,z=3.故z的值为-1,1,3,故所求集合为{-1,1,3},共含有3个元素.
答案 C
江西七校联考)设全集U=R,集合M={x|y=lg(x2-1)},N={x|0<x<2},则N∩(∁UM)=( ).
A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}
C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1}
解析 M={x|y=lg(x2-1)}={x|x2-1>0}={x|x>1,或x<-1},所以∁UM={x|-1≤x≤1},结合数轴易得N∩(∁UM)={x|0<x≤1}.
3.已知集合A={x∈R||x+2|<
3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<
0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
解析 A={x|-5<
1},因为A∩B={x|-1<
n},B={x|(x-m)(x-2)<
0},所以m=-1,n=1.
答案 -1 1
4.已知集合A={y|y=2x-1,0<x≤1},B={x|(x-a)[x-(a+3)]<0}.分别根据下列条件,求实数a的取值范围.
(1)A∩B=A;
(2)A∩B≠∅.
解 因为集合A是函数y=2x-1(0<x≤1)的值域,所以A=(-1,1],B=(a,a+3).
(1)A∩B=A⇔A⊆B⇔
即-2<a≤-1,故当A∩B=A时,a的取值范围是(-2,-1].
(2)当A∩B=∅时,结合数轴知,a≥1或a+3≤-1,即a≥1或a≤-4.
故当A∩B≠∅时,a的取值范围是(-4,1).