天津市高考理科数学试题及答案.doc

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绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

•如果事件，互斥，那么 •如果事件，相互独立，那么

. .

•圆柱的体积公式.•圆锥的体积公式.

其中表示圆柱的底面面积，其中表示圆锥的底面面积，

表示圆柱的高.表示圆锥的高.

一.选择题：

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.学科.网

（1）已知集合，，则

（A） （B）　

（C） （D）

≤

≥

≥

（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为

（A） （B） （C） （D）

≥

（3）在中，若，，，

则

（A） （B）

（C） （D）

（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出

的值为

（A） （B）

（C） （D）

（5）设是首项为正数的等比数列，学科&网公比为，则

“”是“对任意的正整数，”的

（A）充要条件　　

（B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件　　

（第4题图）

（D）既不充分也不必要条件

（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，学科&网四边形的面积为，则双曲线的方程为

（A） （B） （C）（D）

（7）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接

并延长到点，使得，则的值为

（A）（B） （C） （D）

≥

（8）已知函数（，学.科网且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是

（A） （B）

（C）{} （D）{}

绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共12小题,共110分.

二．填空题:

本大题共6小题,每小题5分,共30分.

（9）已知，R，是虚数单位，若，则的值为_____________.

（10）的展开式中的系数为_____________.（用数字作答）

正视图

侧视图

俯视图

（第11题图）

（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱

锥的三视图如图所示（单位：

），学科.网则该四棱锥的体积

为_____________.

（12）如图，是圆的直径，弦与相交于点，

，，则线段的长

为_____________.

（13）已知是定义在R上的偶函数，且在区间

上单调递增.若实数满足，

则的取值范围是_____________.

（第14题图）

（14）设抛物线（为参数，）的焦

点，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为

.设，与相交于点.若，

且的面积为，则的值为_____________.

三.解答题：

本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分13分）

已知函数.

（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.

（16）（本小题满分13分）

某小组共人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为，，的人数分

别为，，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.

（Ⅰ）设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为”，求事件发生的概率；

（Ⅱ）设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列

和数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）设为线段上的点，且，

求直线和平面所成角的正弦值.

（18）（本小题满分13分）

已知是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为.对任意的，是和的等比中项.

（Ⅰ）设，，求证：

数列是等差数列；

（Ⅱ）设，，，求证.

（19）（本小题满分14分）

设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，

其中为原点，为椭圆的离心率.学.科.网

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且≤，求直线的斜率的取值范

围.

（20）（本小题满分14分）

设函数，R，其中，R.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：

；

（Ⅲ）设，函数，求证：

在区间上的最大值不小于

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

一、选择题：

（1）【答案】D

（2）【答案】B

（3）【答案】A

（4）【答案】B

（5）【答案】C

（6）【答案】D

（7）【答案】B

（8）【答案】C

第Ⅱ卷

二、填空题：

（9）【答案】2

（10）【答案】

（11）【答案】2

（12）【答案】

（13）【答案】

（14）【答案】

三、解答题

（15）

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在区间上单调递增,学科&网在区间上单调递减.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：

，再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期根据

（1）的结论，研究三角函数在区间[]上单调性

试题解析：

解：

的定义域为.

.

所以,的最小正周期

解：

令函数的单调递增区间是

由,得

设，易知.

所以,当学.科网时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.

考点：

三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式

【结束】

（16）

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：

，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：

，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为学.科网再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望

试题解析：

解：

由已知，有

所以，事件发生的概率为.

随机变量的所有可能取值为

，

，

.

所以，随机变量学.科网分布列为

随机变量的数学期望.

考点：

概率，概率分布与数学期望

【结束】

（17）

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值

试题解析：

依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.

（I）证明：

依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.

（II）解：

易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.

因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.

（III）解：

由，学.科网得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.

考点：

利用空间向量解决立体几何问题

【结束】

（18）

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）先根据等比中项定义得：

，从而，因此根据等差数列定义可证：

（Ⅱ）对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.

试题解析：

（I）证明：

由题意得，有，因此，所以是等差数列.

（II）证明：

所以.

考点：

等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和

【结束】

（19）

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：

，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围

试题解析：

（1）解：

设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.

（2）（Ⅱ）解：

设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.

解得，或，由题意得，从而.

由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.

设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.

所以，直线的斜率的取值范围为.

考点：

学.科网椭圆的标准方程和几何性质，直线方程

【结束】

（20）

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）先求函数的导数：

，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：

①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数最大值：

主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.

试题解析：

（Ⅰ）解：

由，可得.

下面分两种情况讨论：

（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.

（2）当时，令，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

＋

0

－

0

＋

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（Ⅱ）证明：

因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，

进而.

又

，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；

（Ⅲ）证明：

设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：

（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此

，所以.

（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，

所以在区间上的取值范围为，因此

.

（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，

，，

学.科网所以在区间上的取值范围为，因此

.

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

考点：

导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式

【结束】