春季学期新版新人教版九年级数学下学期第29章投影与视图单元复习教案6文档格式.docx

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图形的平移、轴对称、旋转都可以利用图形全等解决问题，图形的位似、解直角三角形、相似以及我们今天学习的投影都可以利用相似的性质进行解决问题。

投影对于我们并不陌生，生活中常常会遇到投影的现象，如我们看电影时，就是通过放映机把影像投射在幕布上形成的影子，幕布所在的平面即为投影

面.首先用光线照射物体，在某个平面上得到的影子就是物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.

三、知识讲解：

考点1投影

投影：

一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.例如：

我们看电影时，就是通过放映机把影像投射在幕布上形成的影子，幕布所在的平面即为投影面.

知识拓展：

（1）光线移动时，物体的影子的大小，方向也随着变化，物体的形状与影子的形状有密切的联系.

（2）光是沿直线传播的，因此我们可以投影与物体确定光线方向.

考点2

：

投影的种类

投影有两类：

一类是平行投影，一类是中心投影.

平行投影：

由平行光线形成的投影是平行投影

登高的物体垂直于地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长，等长的物体平行于地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长，且影子的长度等于物体本身的长度.

平行投影头两类：

正投影和非正投影.

中心投影：

由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影，这个点就是中心，相当于物理中的点光源.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒，路灯，台灯，投影仪的灯光，放映机的灯光等.

我们会得到两个结论：

等高的物体垂直于地面放置时，如图：

在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，

等

场的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源近，影子越长；

离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有一个重要的结论，点光源，物体边缘上的点以及它在影子的对应点在同一条

直线上，根据其中两个点的位置，就可以确定第三个点的位置.

1、平行投影的应用：

（1）根据阳光下物体影子的大小，位置的变化判断时刻的不同；

（2）已知一个物体及其在阳光下的影子，可作出同一时刻另一个物体在阳光下的影子；

（3）根据物体高与影长的关系可以求出物高或影长.

2、中心投影的应用：

（1）根据点光源下两种或两种以上物体影子的情况判断点光源的位置；

（2）已知点光源的位置，可以画物体在点光源下的影子.

考点3正投影及其性质

正投影：

投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

1、当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状，大小完全相同.

2、只有在平行投影中，才会出现正投影，正投影是光线与投影面的关系，与物体的放置无关.

人们在实际作图中，经常采用正投影.正投影有如下性质：

如图：

是不同位置放置时，直木棒AB在平面P上的正投影.

①当木棒AB平行于投影面P时，它的正投影是线段

，木棒与他的投影的大小关系为AB=

.

②当木棒AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段

木棒与他的投影的大小关系为AB>

③当木棒AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点

所示的是不同位置放置时，长方形硬纸板ABCD在平面上的正投影.

①当纸板ABCD平行于投影面时，ABCD的正投影与ABCD的形状，大小一样；

②当纸板ABCD倾斜于投影面时，ABCD的正投影与ABCD的大小，不一样；

③当纸板ABCD垂直于投影面时，ABCD的正投影为一条线段.

考点4三视图

当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图，单一的视图通常只能反映无图的一个方面的形状，为了全面的反映物体的形状，生产实际中，往往采用多个视图来反映物体不同方面的形状.

我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，下方的平面叫做水平面，右边的平面叫做侧面

一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；

在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫作俯视图.在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.如图：

右边的三个视图是左边几何体的三视图.

（1）三个视图分别从不同方向表示物体的形状，单独一个视图难以全面的反应物体的

形状，三者结合起来才能较全面地反映物体的形状.

（2）对于同一个物体，观察的角度不同，所得到的视图可能不同.

（3）在生产实际中常用三视图描述物体的形状.

考点5：

三视图的画法

三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高，左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系的.

将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的三视图，三视图中的各视图分别从不同方向表示物体，三者合起来就能较全面地反映物体的形状，如图：

画图时规定：

看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线化成虚线.

知识拓展：

俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，画三视图时，三个视图要放在正确的位置，不能随意乱放，三视图之间要保证长对正，高平齐，宽相等，这三个关系是看图与画图的基本规律.一般情况下，一个视图不能确定物体的空间形状，看图时必须将各视图对照起来看，这样才能看清楚物体的全貌.

考点6由三视图想象

出立体图（实物）

由三视图想象立体图时，要先分别根据主视图，俯视图和左视图想象立体图形的前面，上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形.

知识拓展

（1）由一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看，

（2）一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性.例如正放正方形的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体直三棱柱的，长方体，圆柱等.

（3）三视图是平面图形，它是平行光线从不同方向照物体所

得的投影，并且平行光线和投影面是垂直的

考点7：

根据视图制作立体图形模型

制作立体图形模型的一般步骤：

以硬纸板为主要材料，做已知的两组视图所标示的立体模型；

按照所给的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型；

研究由

（1）中的立体模型是如何得到

（2）中的实物模型的；

体会长对正，高平齐，宽相等.

四、例题精析

【例题1】

【题干】1．下

面四个几何体中，从上往下看，其正投影不是圆的几何体是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】正投影是投影线垂直于投影面产生的投影，

A中正方体的正投影为正方形，

B中圆柱的正投影为圆，

C中圆锥的正投影是圆（含圆心），

D中球的正投影是圆，故选A．

【例题2】

【题干】如图是一木杆在一天中不同时刻阳光下的影子，按时间顺序排列正确的是（）

A．①③②④

B．④①③②

C．④②①③

D．②③①④

【答案】D

【解析】根据平行投影的特点和规律可知，图①中影子斜向东北，是下午；

图②中影子指向正西，是早晨；

图③中影子指向西北，是上午；

图④中影子指向正东，是傍晚．故按时间顺序排列为②③①④．

故选D．

【例题3】

【题干】由6个大小相同

的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）

A．主视图的面积最大

B．左视图的面积最大

C．俯视图的面积最大

D．三个视图的面积一样大

【答案】C．

【解析】试题分析：

此题主要考查了组合体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数，再根据所看到的小正方形的个数可得答案．

解：

主视图有4个小正方形，左视图有4个小正方形，俯视图有5个小正方形，因此俯视图的面积最大，

故选：

C．

【例题4】

【题干】如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（）．

A．36πB．60πC．96πD．120π

此几何体为圆锥，底面直径为12，高为8，那么半径为6，母线长为10，

∴圆锥的全面积=π×

62+π×

6×

10=96π．

【例题5】

【题干】下列投影图不正确的是（）

【答案】B

【解析】太阳光线是平行光线，不可能相交，所以选项B是不正确的．

【例题6】

【题干】学校里旗杆的影子整个白天的变化情况是（）

A.不变B.先变短后变长C.一直在变短D.一直在变长

【解析】早晨和晚上太阳高度角较小，影长较长；

中午太阳高度角较大，影长较短．

由图可知，旗杆为AE，影长从AC变为AB，变为AD，

过程为先变短，后变长．

故选B．

【题干】下图中两幅图所示的是两根标杆在同一时刻的投影，请在图中画出形成投影的光线，判断它们是平行投影还是中心投影，并说明理由．

【答案】图①是平行投影，因为它们的投影线是平行的；

图②是中心投影，因为它们的投影线是相交的。

【解析】先画出投影线，若投影线平行，则是平行投影，若投影线不平行，则是中心投影．如图所示：

图①是平行投影，因为它们的投影线是平行的．

图②是中心投影，因为它们的投影线是相交的．

【例题7】

【题干】如已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）

【答案】D．

由左视图、俯视图看到的都是矩形，可以判定上下两个都是柱体，

由主视图看到的是三角形与矩形，所以上面是三棱柱，下面是长方体．

【例题8】

【题干】如图，路灯（P点）距地面4.8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）6米的A点，沿OA所在的直线行走4米到B点时，身影的长度变短了多少米？

【答案】2米

【解析】∵∠MAC＝∠MOP＝90°

，∠

AMC＝∠OMP，

∴△MAC∽△MOP，

∴

，

即

，解得MA＝3．

同理，由△NBD∽△NOP可求得NB＝1．

所以，小明的身影变短了2米．

【例题9】

【题干】图①②是晓东同学在进行“居民楼高度、楼间距对住户采光影响问题”的研究时画的两个示意图．请你阅读相关文字，解答下面的问题．

（1）图①是太阳光线与地面所成角度的示意图．冬至的正午时刻，太阳光线直射在南回归线（南纬23.5°

）B地上，在地处北纬36.5°

的A地，太阳光线与地面水平线l所成的角为α，试借助图①求α的度数．

（2）图②是乙楼高度、楼间距对甲楼采光影响的示意图．甲楼地处A地，其二层住户南面窗户的下端距地面3.4m，现要在甲楼正南面建一幢高度为22.3m的乙楼，为不影响甲楼二层住户（一层为车库）的采光，两楼之间的距离至少应为多少米？

（精确到1m）

【答案】

（1）α＝30°

（2）33米

【解析】

（1）因为太阳光线是平行的，

所以α＋90°

＋36.5°

＋23.5°

＝180°

解得α＝30°

．

（2）如图，过点D作DE⊥CF于点E．

在Rt△CDE中，CE＝22.3－3.4＝18.9（m）．

因为∠CDE＝30°

所以

（m）．

答：

两楼之间的距离至少应为33m．

【例题10】

【题干】某一空间图形的三视图如右图所示,其中主视图：

半径为1的半圆以及高为1的矩形;

左视图：

半径为1的圆以及高为1的矩形;

俯视图：

半径为1的圆求此图形的体积

【答案】此图形的体积为

根据题意，该图形为圆柱和一个1/4的球的组合体,

球体积应为：

圆柱体积：

【例题11】

【题干】如图，小明想测量电线杆AB的高度，但在太阳光下，电线杆的影子恰好落在地面和土地的坡面上，量得坡面上的影长CD＝4m，地面上的影长BC＝10m，土坡坡面与地面成30°

的角，此时测得1m长的木杆的影长为2m，求电线杆的高度．（结果精确到0.1m）

【答案】8.7m

【解析】解法一：

如图，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则得矩形BFDE，所以DF＝BE，DE＝BF．在Rt△DCF中，由CD＝4m，∠DCF＝30°

，得DF＝2m，

m，所以

m，BE＝DF＝2m．因为此时1m长的木杆的影长为2m，所以

，即

，解得

m．

电线杆的高度约为8.7m．

解法二：

如图，连接AD并延长交BC的延长线于点M，过点D作DF⊥BM于点F．

在Rt△DCF中，由CD＝4m，∠DCF＝30°

，得DF＝2m，所以

m．因为此时1m长的木杆的影长为2m．所以

，所以FM＝2DF＝4m．又DF∥AB，所以

解得

【例题12】

【题干】如图是一个几何体的三视图．

（1）写出这个几何体的名称．

（2）根据图中数据计算这个几何体的表面积．

（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这只蚂蚁所经路线的

最短长度．

（1）圆锥

（2）

（平方厘米）（3）

厘米

（1）圆锥

（2）由题意可知，这个几何体的表面积为

（平方厘米）．

（3）将圆锥的侧面展开，如图所示，连接BD，则线段BD即为这只蚂蚁走的最短路线．

设圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角度数为n°

由

，解得n＝120，且∠BAB′＝120°

因为C为弧BB′的中点，

所以∠BAC＝∠B′AC＝60°

因为AB＝AC，连接BC，所以△ABC为等边三角形．

又D为AC的中点，所以BD⊥AC，

（厘米），

故这只蚂蚁所经路线的最短长度为

厘米．

课程小结

1、知识小结及要点小结：

（1）投影：

一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，

投影所在的平面叫做投影面.

（2）投影的分类：

①平行投影：

由平行光线形成的投影叫做平行投影，其中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

②中心投影：

由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.

（3）投影的特点：

①当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状，大小完全相同

②物体正投影的形状，大小与它们相对于投影面的位置有关

2、解题方法及技巧小结：

要掌握平行投影和中心投影的区别，前者的光线是平行的，后者的光线是相交的.