函数极限的性质证明精选多篇Word下载.docx
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函数极限的性质
§
3.2函数极限的性质
2函数极限的性质
ⅰ.教学目的与要求
1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性,迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.
2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.
ⅱ.教学重点与难点:
重点:
函数极限的性质.
难点:
函数极限的性质的证明及其应用.
ⅲ.讲授内容
在§
1中我们引入了下述六种类型的函数极限:
1)limf?
x?
;
2)limf?
;
3)limf?
?
f?
6)limf?
4)limf?
5)lim?
x0x?
x0
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质.至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应地作些修改即可.
定理3.2(唯一性)若极限limf?
存在,则此极限是唯一的.x?
证设?
?
都是f当x?
x0时的极限,则对任给的?
0,分别存在正数
1与?
2,使得当0?
x0?
1时有
,
(1)当0?
2时有
,
(2)
取?
min?
1,?
2?
,则当0?
时,
(1)式与
(2)式同时成立,故有
(f?
)?
由?
的任意性得?
,这就证明了极限是唯一的.
定理3。
3(局部有限性)若limf?
存在,则f在x0的某空心邻域u0?
内有界.x?
证设limf?
.取?
1,则存在?
0使得对一切x?
u0?
x0;
有x?
1?
1
这就证明了f在u0?
内有界.
定理3.4(局部保号性)若limf?
0(或?
0),则对任何正数r?
(或x?
r?
),存在u0?
,使得对一切x?
有
0(或f?
0)
0,对任何r?
(0,?
),取?
r,则存在?
0,使得对一切
r,
这就证得结论.对于?
0的情形可类似地证明.
注在以后应用局部保号性时,常取r?
a.2
x0定理3.5(保不等式性)设limf?
与都limg?
都存在,且在某邻域u0x0;
'
内x?
有f?
g?
则
limf?
limg?
(3)x?
=?
,limg?
,则对任给的?
0,分别存在正数?
2使x?
得当0?
,当0?
2时有
令?
2,则当0?
时,不等式f?
与(4)、(5)两式同时成立,于是有
从而?
.由?
的任意性推出?
,即(3)式成立.
定理3.6(迫敛性)设limf?
=limg?
=a,且在某u0x0;
内有x?
则limh?
.x?
x0h?
证按假设,对任给的?
1时有,2
(7)当0?
(8)令?
时,不等式(6)、(7)、(8)同时成立,故有
h?
由此得h?
,所以limh?
x?
定理3.7(四则运算法则)若极限limf?
与limg?
都存在,则函数x?
g,f?
g当x?
x0时极限也存在,且
1)lim?
2)lim?
x0limf?
.limg?
又若limg?
0,则f|g当x?
x0时极限存在,且有x?
3)limx?
x0f?
gxx?
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给学生作为练习.
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.
例1求limx?
0?
解当x?
0时有
1,?
?
故由迫敛性得:
xlim而limx?
=1?
另一方面,当x?
0有1?
x,故又由迫敛性又可得:
limx?
1?
综上,我们求得limx?
1x?
3?
例2求lim?
xtanx?
解由xtanx?
xsinx及§
1例4所得的,cosx
sixn?
si?
lim
442?
limcoxs,?
2x?
并按四则运算法则有
limsinx
=limx?
4?
4x?
4limcosxx?
1=?
lim?
14
例3求lim?
3?
1x?
解当x?
213?
1x3?
1x2?
故所求的极限等于
12x?
1lim
例4证明lima?
a?
x
证任给?
0(不妨设?
1),为使
xa?
(9)
即1?
,利用对数函数loga
loga?
于是,令x(当a?
1时)的严格增性,只要?
,则当0?
时,就有(9)式成立,从而证得结论.
ⅳ小结与提问:
本节要求学生理解掌握函数极限的性质,并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.
ⅴ课外作业:
p512、3、5、7、8、9.
第三篇:
《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院
2函数极限的性质
教学章节:
第三章函数极限——§
教学目标:
使学生掌握函数极限的基本性质.
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点:
函数极限的性质及其计算.
教学难点:
函数极限性质证明及其应用.
教学方法:
讲练结合.
教学过程:
引言
1中我们引进了下述六种类型的函数极限:
1、limf(x);
2、limf(x);
3、limf(x);
4、limf(x);
5、limf(x);
6、limf(x).
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至
于其它类型极限的性质及其证明,只要作相应的修改即可.
一、函数极限的性质
性质1(唯一性)如果x?
a
limf(x)x?
alimf(x)存在,则必定唯一.证法一设?
a,x?
alimf(x)?
b,则
0,?
0,当0?
|x?
a|?
1时,
|f(x)?
(1)
2时,
b|?
.
(2)
取
因而有,则当0?
时
(1)和
(2)同时成立.
b?
(f(x)?
a)?
b)?
f(x)?
(3)
的任意性,(3)式只有当
时,即a?
b时才成立.
b2
证法二反证,如x?
limf(x)
,x?
limf(x)?
b
且a?
b,取
,则?
0,使当
时,
0,f(x)?
即
矛盾.
性质2(局部有界性)若limf(x)存在,则f在x0的某空心邻域内有界.
x0证明取,由,?
0,当0?
时,有f(x)?
1,
,
说明f(x)在u0(x0;
)上有界,就是一个界.
性质3(保序性)设,x?
limg(x)?
c
.
1)若b?
c,则0,当时有f(x)?
g(x);
2)若
,当
时有f(x)?
g(x),则b?
c.(保不等式性)
证明1)取
c2
即得.2)反证,由1)即得.
注若在2)的条件中,改“f(x)?
g(x)”为“f(x)?
g(x)”,未必就有
b.以f(x)?
x,g(x)?
1,x0?
举例说明.
推论(局部保号性)如果x?
号.
且b?
0,则0使当时f(x)与b同
性质4(迫敛性)设limf(x)?
limh(x)?
a,且在某u0(x0;
)内有f(x)?
g(x)?
h(x),
则limh(x)?
a.
证明?
0,由x?
x
,?
0,使得当0?
有f(x)?
,即a?
.又由
2时,有h(x)?
即a?
h(x)?
min(?
2),则当0?
时,有a?
即g(x)?
,故x?
x.
性质6(四则运算法则)若limf(x)和limg(x)都存在,则函数f?
g,fg当x?
x0时极限
也存在,且1)lim?
limg(x);
limg(x).
又若limg(x)?
0,则
fg
当x?
x0时极限也存在,且有3)lim
f(x)g(x)
limg(x)
3)的证明只要证有
1g(x)
1b,令
,由
0使得当时,
,即
仍然由
0,使得当0?
2时,,有
2),则当时,有
1b?
bg(x)b
2b
1b.
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
利用“迫敛性”和“四则运算”,可以从一些“简单函数极限”出发,计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限:
limc?
c,limx?
x0,limsinx?
sinx0,limcosx?
cosx0;
1x
0,limarctgx?
.(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.
在计算一些简单极限时,利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1求limx?
例2求lim?
(xtgx?
1).
例3求lim(
3x3
).
例4lim
5x?
3x?
73x3
2x2
5
注关于x的有理分式当x?
时的极限.参阅[4]p37.7
例5lim
1n
10利用公式x?
.[a?
(a?
1)(a
n?
].
例6lim
x2
例7lim
例8lim
xsin(2x?
10)
2x
例9lim
1.
例10已知lim
16?
a参阅[4]p69.
b.求a和b.作业教材p51—521-7,8
(1)
(2)(4)(5);
2
补充题已知lim
ax?
b7.求a和b.(a?
16x?
x2?
b?
203
.)
例11lim?
0.x?
求a和b.?
2解法一
ax
x1?
1)x2
b,(x?
0,a?
1;
又?
b,?
解法二2?
x?
2?
由x?
且原式极限存在(本文来自麦档网),?
x2x?
0,即a?
1,b?
.?
第四篇:
1);
2);
3);
4);
5);
6)。
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。
定理3.2(唯一性)若极限
证设与、都是当存在,则此极限是唯一的。
时的极限,则对任给的,
分别存在正数,使得当
时有
(1)
当
(2)取,则当时,
(1)式与
(2)式同时成立,故有
由的任意性得。
这就证明了极限是唯一的。
定理3.3(局部有界性)若极限
内有界。
存在,则在某空心邻域
证设
取,则存在,使得对一切
这就证明了在内有界。
定理3.4(局部保号性)若(或
),存在,使得对一切
(或),则对任何正数
(或
证设
,这就证得结论。
对于,对任何
,取
,则存在
)。
,使得对一切
的情形可类似地证明。
定理3.5(保不等式性)设
内有
,则
与
都存在,且在某邻域
(3)
证设,使得当
,时
,则对任给的,分别存在正数与
(4)
(5)
令
,则当
时,不等式
与(4),
(5)式同时成立,于是
有式成立。
,从而
由的任意性得
,即(3)
定理3.6(迫敛性)设==,且在某内有
(6)
证按假设,
对任给的
,分别存在正数
,使得当
时
(7)
(8)
式同时成立,故有
时,不等式(6)、(7)、(8)
,由此得
,所以。
定理3.7(四则运算法则)若极限,
都存在,则函数
时极限也存在,且
=
2)
又若,则当时极限也存在,且有
)
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给读者作为练习。
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。
例1求。
解由第一章§
3习题13,当时有
,而
,故由迫敛性得
另一方面,当时有
,故由迫敛性又可得
综上,我们求得
例2求。
解由
及§
1例4所得的
例3求
解当时有
故所求极限等于
例4证明证任给
(不妨设
),为使
,利用对数函数
(当
时)的严格增性,只要
于是,令
成立,从而证得结论。
,则当时,就有(9)式
第五篇:
函数极限的证明
(一)时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§
2函数极限的性质(3学时)
教学目的:
使学生掌握函数极限的基本性质。
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:
函数极限的性质及其计算。
函数极限性质证明及其应用。
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
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