怎样推导压杆的临界力和临界应力公式Word格式.docx

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际情况差不多。

结论：

对于钢板尺这样的细长杆件，在承受压力时，一定不要用轴向拉压强度条件来判

断它的安全承载力，这会出大问题的。

需要按弯曲平衡建立力学模型，按梁的理论来分析。

1.2压杆稳定分析概述与强度、刚度分析对比

它们是材料力学的

在材料力学里，分析杆件的强度、刚度和稳定性是十分重要的课题，核心内容。

压杆的稳定性分析，与强度和刚度的分析的侧重面不同。

在强度和刚度分析中，重点在推导工作量的计算公式，如：

轴向拉压杆的拉压应力

应力

厂十算公式，梁的正应力cMy

和剪应力

FqS；

Izb

计算公式；

轴向

拉压杆的伸长量

FnI

计算公式，扭转的扭转角

计算公式，梁的挠度

EIz

和转角

”y=

dx计算公式等，它们都是杆件的实际或预计的

Elz

Fjy

计算公式，连接的挤压应力jy

和剪切应力-j

Ajy

计算公式，扭转的剪

工作量。

而在强度条件

工作应力乞许用应力和刚度条件工作应变乞许用应变表达

式不等号大于端的许用值（用方括号括起来的量），如卜丨、「和冷1、〔门、〔y1、:

等,其中，两种许用应力是由材料试验获得，并由各种规范所确认；

各种许用变形值的大小，则

与结构的功能（性质、用途等）分不开。

然而，在稳定性分析中，重点是推导位于稳定表达式b=-Fn<

tcr］中，位于不等号

大于端昌的许用值—J中的压杆临界应力二cr。

，因为压

而压杆的工作应力的求法与轴向拉压杆的完全一样，即仍旧用公式杆在失稳之前是轴向受压杆。

而压杆的许用临界应力定义为

，式中的压杆临界应力与材料无关,

它是实

际的、具体的“压杆装置”的函数，对每一根压杆都要单独计算才行。

因此，压杆稳定分析的重点是针对各种各样的“压杆装置”，提出几种简化的力学计算

模型，然后从理论上推导出它们的临界压力Fcr计算公式，分析计算出临界压力卩“后，按

轴向拉压杆的应力计算公式二

，用临界压力Fcr代替轴力Fn,即可得到压杆的临界

应力计算公式

Fcr

2压杆临界压力Fcr的计算公式

2.1压杆稳定的力学模型一一弯曲平衡

生活和生产的常识告诉我们：

压杆在承受的压力比较小时，处于直线平衡状态；

当压力逐渐增大到某一值时，压杆会突然变弯，处于微弯曲的平衡状态，称为临界平衡；

当压力超过某一值时，压杆会突然变弯折断，退出工作。

使压杆处于临界平衡的压力称为临界压力。

计算表明，临界压力远远小于按轴向拉压杆

计算得出的许用压力。

如如:

一根长300mm，宽20mm，厚1mm的钢板尺，设其材料的许用应力为160Mpa,

则按轴向拉压杆强度公式计算，二=-»

1,F<

1-201160=3200N,即该钢

板尺可以安全地承受3200N的压力。

然而，常识告诉我们，把钢板尺直立于桌面上，轻轻用手指一压它就会弯曲。

这种现象在力学上称为失稳（丧失稳定性），它可用压杆稳定理论

予以说明。

如果将钢板尺按力学模型：

两端铰支的压杆装置，进行压杆稳定计算，可得到丧失稳定

的压力为Fcr

二200000MPa1.67mm

（300mmf

-36.7N，此值接近于钢板尺变弯

的实际值。

式中的惯性矩

20mm汇（1mmf

=1.67mm4。

得到钢板尺丧失稳定的压力

为36.7N，仅是按强度计算的安全压力的1/87。

差异如此之巨，我们得高度重视。

以上的计算结果表明，对于较长的压杆，按强度计算存在极大的风险。

事实上，生活常识告诉我们，压杆越长越容易变弯而丧失稳定性，因此，对于较长的压杆，按强度计算是违背事实的，必须另辟蹊径，寻找压杆稳定分析的力学模型。

究其原因，在强度计算中，钢板尺处于直线平衡状态，属于轴向拉压变形，应该用杆的轴向拉压理论来分析；

而压杆稳定分析的研究对象是处于微弯平衡状态，属弯曲变形，显然，应该用梁的理论来分析。

下面先谈谈梁的平衡理论，然后，分别就1、两端铰支、2、一端固定一端自由、3、

端固定一端铰支、4、两端固定，这四种压杆力学模型进行力学、数学分析。

2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程

图2-2-1说明梁的挠曲微分方程的来历和相关量的正负号规定。

可一目了然。

分析是从

梁的dx微段的曲率—开始的，其分析推导过程在研究梁的变形的内容中有所表述。

y负。

图示为负曲率。

dx梁段弯曲及挠曲线注2:

正曲率曲线凸向

图2-2-1梁的挠曲微分方程

在下面的图2-2-2中，四种压杆装置（两端铰支、一端固定一端自由、一端固定一端铰支和两端固定）的力学模型，及其三种状态（稳定平衡、临界平衡和丧失稳定）可一目了然。

1-2临界平衡1-3丧失稳定

Fcr

F=Fcr|

l=2l

1-1稳定平衡

微弯曲线半个正弦波为卩i=i

模型1两端铰支的压杆装置

2-1稳定平衡2-2临界平衡2-3丧失稳定

微弯曲线半个正弦波为卩l=2l

模型2一端固定一端自由的压杆装置

3-1稳定平衡3-2临界平衡3-3丧失稳定微弯曲线半个正弦波为卩1=0.71

模型3一端固定一端铰支的压杆装置

4-1稳定平衡4-2临界平衡4-3丧失稳定

微弯曲线半个正弦波为卩1=0.51

模型4两端固定的压杆装置

图2-2-2四种典型压杆的力学模型及其三种状态

图2-2-3则是四种压杆模型在临界状态下的支反力种类及其真实方向，亦可一目了然。

模型2一端固定一端自由

F=FcrI

注1:

模型1、2为静定结构

注2:

模型3、4为超静定结构，其支反力种类由支座形式确定；

方向

由变形曲线确定：

弯矩箭头指向挠曲线的凹侧；

剪力可参考悬臂梁受集中力的情况，即剪力指向恰恰与弯矩指向相反。

如下图所示：

MaFqa

模型3一端固定一端铰支

图2-2-3四种典型压杆微弯平衡支反力及其真实方向

上述内容对于分析压杆，正确设置压杆两端支反力的方向和转向，导出临界应力公式十

分重要，否则，压杆两端支反力的方向和转向设定错误，将无法导出正确的临界力公式。

请

读者好好加深理解。

2.3按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力

为了确定长I、两端铰支的细长压杆AB临界力，研究图2-3-1。

设作用在杆上端的压力恰为临界力F=Fcr，杆处于临界平衡状态。

临界平衡状态有两种形式：

直杆平衡和微弯平衡：

即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。

在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向

拉压变形里研究过，并在2.1节什么它不能够解释钢板尺等压杆突然变弯的现象。

），而应该

以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向

拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。

Fn=Fcr

Mx二Fcry2.3-1

2.3.1截面弯矩表达式

临界微弯平衡x截面内力分析

图2-3-1两端铰支压杆临界力分析

两端铰支压杆装置：

下端固定铰支端有2个约束反力（Fna、FqA），上端链杆支座有1

个约束反力（Fqb）,共3个约束反力未知数（Fna、Fqa和Fqb），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。

故，两端铰支压杆装置是静定结构，支座反力完全可以用临

界力Fcr表达。

如图2-3-1所示，由图中x长的粱段平衡，可得距原点为x、挠度为y的任意截面上弯

矩为

Mx=Fcry2.3-1

2.3.2压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解

在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力dp,AB杆弯曲后的挠曲线可以

用梁的弯曲变形公式

d2y__Mx__Fcry

dx2-El一El

a来表达。

在如图2-3-1所示坐标系下,

挠曲线的近似微分方程为

d2y=_Mx=_Fc「y

2-——

dxEIEI

宀晋…（b），则式（“可写为

这是一个常系数二阶齐次线性微分方程，其通解是

y=AsinkxBcoskxd

式中，A、B是积分常数，k为待定值。

它们由压杆两端的约束情况而定。

2.3.3利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力Fcr

对于两端铰支的压杆，A端边界条件：

x=0、y=0，将其代入（d）可得B=0，于是通解

（c）改写为y=Asinkxe

再由B端边界条件：

x=l、y=0，将其代入（e）得Asinkl=0]f

若要满足（f），只有两种可能：

A=0或sinkl=0。

从问题的力学意义来看，若A=0，则

通解（e）成为y=0，这表示杆AB没有弯曲，与压杆处于微弯状态的前提条件相矛盾。

因

此，只有sinkl=0g成立。

要（g）成立，必须kl=n二n=0,1,2,3h，即kl=0,二,2二,3二h

由此得

n2二2ei

…（n=0,1,2,3…：

T（j）,即嘉=0,l2

-2EI42EI

从理论上讲，n是任意的整数，故临界力Fcr的数值有很多个。

但是，从工程实际出发，

有意义的是Fcr的最小值，因为荷载一达到此值时，压杆就会丧失稳定性。

取n的最小值时，

不能取n=0,因为此时的Fcr=0，成为没有意义的结果。

故有意义的最小值应取n=1，于是

得到两端铰支压杆装置的临界力为

1二EI

2.3-2

（2.3-2）式亦称，欧拉公式。

值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲

失稳，所以公式中的惯性矩I应该取其横截面的最小惯性矩Imin。

从公式（2.3-2）可以得出，临界力Fcr与杆长I的平方成反比。

这就是说，杆越细长，其临界力越小，即压杆越容易失稳。

现在又得出，两端铰支细长压杆的长度系数卩=1。

长度系数□是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里卩=1表示两端

铰支细长压杆微弯曲线的半个正弦波长恰好等于杆长。

2.3.4将k值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程

从上面的推导，还可以得到压杆处于临界状态时，压杆的微弯挠曲线表达式。

此时，n=1，

（n兀n壬兀»

、

则k，代入微分方程通解y=Asinkx……e式，得

兀X

两端铰支细长压杆失稳时的挠曲线为y=ASinx……2.3-3，即0~1对应一条半

波正弦曲线。

当x=l/2时，y=A，常数A是半波正弦曲线的中点位移。

其值充分小。

但A无

定值，它随干扰力大小而异。

2.3.5两端铰支压杆临界力公式推导的图示小结

FN=Fcr

M（x）

x截面内力分析

Mx二Fcry2.3-1

兀

12"

2.3—2

2.4按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力

为了确定长I一端固定一端自由的细长压杆AB临界力，研究图2-4-1。

设作用在杆上

端的压力恰为临界力F=Fcr，杆处于临界平衡状态。

直杆平衡和微弯平衡，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。

在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里已经研究），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平

衡状态）。

图2-4-1一端固定一端铰支压杆临界力分析

Mx=讥-y2.4-1

一端固定一端自由压杆装置，下端为固定支座有3个约束反力（Fna、Fqa、Ma），上端

自由，没有约束反力，压杆装置共3个约束反力未知数（Fna、Fqa和Ma），而一根杆件只

能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。

故，一端固定一端自由压杆装置是静定结构，支

座反力完全可以用临界力Fcr来表达。

如图2-4-1所示，由图中x长的粱段平衡，可得距原点为x、挠度为y的任意截面上弯

Mx二叽、-y2.4-1

2.4.2压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解

用梁的弯曲变形公式来表达。

在如图2-4-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为

d2y_MxzFcr.dx2_一El_

b，则式（a）可写为

这是一个常系数二阶非齐次线性微分方程（在前面研究过的两端铰支对应的是齐次二阶微分方程）。

其对应的常系数二阶齐次线性微分方程通解是y=AsinkxBcoskx……d

原非齐次线性微分方程的一个特解是y……d，其中S也是待定值。

原常系数二阶非齐次线性微分方程的通解等于

齐次微分方程通解与非齐次特解之和，即

y=yy=AsinkxBcoskx亠心[e

2.4.3利用压杆两端边界条件确定通解中的常数,把一端固定一端自由的压杆下端A（固定端）

和它的一阶导数中，

从而导出压杆临界力Fcr

的边界条件：

x=0、y=0、y'

=0，代入（e）

h，于是

从工程实际出发，有意义的是Fcr的最小值，故取

心2「于是得到

一端固定一端自由压杆装置的临界力为

Fcr4l2

■:

EI■:

一2l2

2.4-2

y°

=B■、；

=0，得B--，代入（e）有

e,B=■■

y=Asinkx-"

coskx亠餐〔f

ifaF，

y=Akcoskx、ksinkx,y0=Ak=0,k20，所以A=0，代入（f）得

y〔1—coskx…g

再把一端固定一端自由的压杆上端B（自由端）的边界条件：

x=l、y=S,代入（g）中,

yi二、1-coskl二'

，得coskl二0

min。

二2El

将公式（2.4-2）与（2.3-2）Fcrr

2.3-2对比，（2.4-2）可以改写为如下

形式

f2.4n\2ei2ei

=I_=—y……（欧拉压杆临界力统一表达式）

2lT

前面已经求得，两端铰支细长压杆的长度系数卩=1，表示两端铰支细长压杆的杆长恰好对应着它的微弯曲线的半个正弦波长。

现在又得出，一端固定一端自由细长压杆的长度系数口=2。

长度系数□是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里卩=2表示一端固定一端自由细长压杆微弯曲线的半个正弦波长为杆长的2倍。

2.4.4将k值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程

将kl=2（j）代入微分方程通解y=6（1-coskx）（g），得一端固定一端铰支

fJI、

细长压杆失稳时的挠曲线为y=§

1_co』xf••…（2.4—3）

、一21丿，/

当x=l时，y=3,常数3是微弯曲线（半个半波余弦）的幅值，压杆自由端（顶端）位

移。

但无定值。

它随干扰力大小而异。

2.4.5一端固定、

一端自由压杆临界力公式推导的图示小结

Fcr3

Fn=Fc

“M（x）

Mx二讥-y2.4-1

d2y_Mx2丁Fcr、-y.

dx2

Fcr二

4l2

2l2

2.5按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力

为了确定长I一端固定一端铰支的细长压杆AB临界力，研究图2-5-1。

Fqa=FQB

Ma=FqbI

yfq（x）

年Fcry

Mx二Fcry-FqaI-x2.5-1

2.5.1截面弯矩表达式

x、挠度为y的任意截面上弯

d2ydxx

图2-5-1一端固定一端铰支压杆临界力分析

一端固定一端铰支压杆装置，下端为固定支座有3个约束反力（Fna、Fqa、Ma），上端

为链杆支座有1个约束反力（Fqb），共4个约束反力未知数（Fna、Fqa、Ma和Fqb），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。

现有4个约束反力未知数和3个平衡方程，还差1个方程，这必须根据变形条件建立1

个补充方程。

故，一端固定一端铰支压杆装置是一次超静定结构。

在它的任意横截面弯矩表达式中,必然存在1个与临界力Fcr不能够直接相关的未知反力（如Fqa）。

如图2-5-1所示，由图中x长的粱段平衡，可得距原点为矩为

Mx二Fcry-FqaI-X2.5-1

2.5.2压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解

由于有1个与临界力Fcr不能够直接相关的未知力，故通过梁的挠曲平衡方程建立的二阶平衡方程式必然是非齐次二阶微分方程，这会给求解临界力造成一点困难（在前面研究过

的两端铰支压杆装置（静定结构）对应的是齐次二阶微分方程，一端固定一端自由压杆装置（静定结构）对应的是非齐次二阶微分方程）。

在如图2-5-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为

M（x）（2z）Fcr〔Fqa（I—x）〉

ElElJFcr丿

令k2音…*）‘则式（a）可写为少+k2y=k2晋…（c）

y无关的项）

这是一个常系数非齐次二阶线性微分方程，因为存在自由项（指与

数学知识告诉我们，（a）式对应的齐次方程通解是y=AsinkxBcoskx……d

它们由压杆两端的约束情况而定（Fqa则无法确定）

（a）式对应的非齐次方程特解是

FqaI-X.

于是，非齐次方程通解为

Fqa\-X

y=yy=AsinkxBcoskx:

■-■:

2.5.3利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力Fcr

把一端固定一端铰支的压杆下端A（固定端）的边界条件：

x=0、y=0、y'

=0，代入（f）

式和它的一阶导数中，可得待定常数A、B的表达式（9）和（i）。

f,x£

FQa\0，

B平g

对（f）

求导，有

y£

Akcoskx—Bksinkx—上……（h）,

FQA

「Ak0，

Fqa

A=・

kFcr

再把一端固定一端铰支的压杆上端B（铰支端）的边界条件：

x=l、y=0，代入（f）式

中,

可得待定常数A和B之间的关系式（k）。

AsinklBcoskl=0，AsinklBcoskl=0,j

f,x±

yl=

最后，把由下端边值条件获得的

FQlA

代入上端边

值条件Asinkl-Bcoskl=0……j，即可求得临界力表达式（2.5）

sinklcoskl=0，sinkl」klcoskl=0,tankl二klk

kFcrFcr

为求得满足（I）式的kl最小值，以便求出压杆的临界力，现用试凑法求解。

经过几次

试凑，取kl=257.453397°

=4.493409448弧度，代入（k）得

tan257.453397'

=4.49340952=4.4934094480.0000004=kl

取kl=4.493409，有

kl21邑2

二4.49340,9Fcr

4.4934092El=二2EI

故,

0.9915573:

0.7'

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