欧拉公式临界应力.ppt

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第九章压杆稳定,Chapter9BucklingofColumns,材料力学,MechanicsofMaterials,第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为,例一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为20mm1mm。

钢的许用应力为=196MPa。

按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为,F=A=3.92kN,91压杆稳定的概念（Thebasicconceptsofcolumns）,实际上,其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是与受压时变弯有关。

当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发生明显的弯曲变形,丧失了承载能力.,一、引言（Introduction）,工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。

20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（TheodoreCooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥（QuebecBridge）1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.,失稳破坏案例（Buckingexamples）,1、平衡的稳定性（Stabilityofequilibrium）,二、压杆稳定的基本概念（Theconceptsofcolumns）,随遇平衡,2、弹性压杆的稳定性,稳定的直线平衡状态,微弯的平衡状态,临界状态,稳定平衡状态,临界平衡状态,不稳定平衡状态,确定压杆的临界力Fcr,压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为失稳或屈曲。

压力的极限值称为临界压力或临界力。

记为：

Fcr,9-2两端绞支细长压杆的临界压力（TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns）,m,m,x,y,B,m,x,m,w,B,x,y,l,M（x）=-Fw,Fcr,该截面的弯矩,杆的挠曲线近似微分方程,压杆任一x截面沿y方向的位移,（a）,（b）式的通解为,（A、B为积分常数）,m,m,x,y,B,w,边界条件,由公式（c）,讨论,若舍去则必须,令n=1,得,这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）,m,x,m,B,x,y,F,w,挠曲线方程为,挠曲线为半波正弦曲线,9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力,欧拉公式的统一形式,为压杆的长度系数,l为相当长度,1、两端铰支（Pin-endedcolumn）,2、一端固定,另一端铰支,C为拐点,3、两端固定（Fixed-fixedcolumn）,C，D为拐点,4、一端固定一端自由（Fixed-freecolumn）,C,D,两端铰支,一端固定,另一端铰支,两端固定,一端固定,另一端自由,表91各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式,=1,=0.7,=0.5,=2,5.讨论（Discussion）,为长度因数,l为相当长度,

（1）相当长度l的物理意义,压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度l.l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.,z,y,x,取Iy，Iz中小的一个计算临界力.,若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.,即分别用Iy，Iz计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.,

（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I,若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.,稳定问题与强度问题的区别（Distinguishbetweenstableproblemandstrengthproblem）,平衡状态,应力,平衡方程,极限承载能力,直线平衡状态不变,平衡形式发生变化,达到限值,小于限值ssu,变形前的形状、尺寸,变形后的形状、尺寸,实验确定,理论分析计算,强度问题,稳定问题,压杆,例1：

图示结构，、两杆截面和材料相同，为细长压杆。

确定使载荷F为最大值时的角（设0/2）。

F,F,F,例题2已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.5104mm4,Iy=3.8104mm4，弹性模量E=2.1105MPa.试计算临界力Fcr.,

（1）杆件在两个方向的约束情况不同；,

（2）计算出两个临界压力.最后取小的一个作为压杆的临界压力.,分析思路：

解：

所以连杆的临界压力为134.6kN.,xOy面：

约束情况为两端铰支m=1，I=Iz，l=1m,xOz面：

约束情况为两端固定m=0.5，I=Iy，l=0.88m,压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按=F/A计算。

9-4欧拉公式的应用范围经验公式（ApplicablerangeforEulersformulatheempiricalformula）,一、临界应力（Criticalstress）,欧拉公式临界应力（Eulerscriticalstress）,按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为,i为压杆横截面对中性轴的惯性半径,称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度、杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。

越大，相应的cr越小，压杆越容易失稳。

若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr。

二、欧拉公式的应用范围（ApplicablerangeforEulersformula）,在推导该方程时,应用了胡克定律。

因此，欧拉公式也只有在满足胡克定律时才能适用即：

只有在crP的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力Fcr（临界应力cr）。

或,即1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围。

当1但大于某一数值2的压杆不能应用欧拉公式。

此时需用经验公式,1的大小取决于压杆材料的力学性能。

例如，对于Q235钢，可取E=206GPa，P=200MPa，得,三.常用的经验公式（Theempiricalformula）,式中：

a和b是与材料有关的常数，可查表得出。

2是对应直线公式的最低线。

直线公式,的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式,或,令,抛物线公式,是与材料有关的常数，可查表得出。

1）大柔度杆2）中柔度杆用直线经验公式3）小柔度杆用强度条件

（2）,四.压杆的分类及临界应力总图（ClassificationofColumnsandtheDiagramofcriticalstresscrversusslendernessratio）,1、压杆的分类（ClassificationofColumns）,2、临界应力总图,例题1图示各杆均为圆形截面细长压杆。

已知各杆的材料及直径相等。

问哪个杆先失稳。

B,C,解：

杆A,杆B,杆C,B,C,1.稳定性条件（Thestabilitycondition）,2.计算步骤（Calculationprocedure）,计算最大的柔度系数max

（2）根据max选择公式计算临界应力,根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷,9-5压杆的稳定校核（Checkthestabilityofcolumns）,例题2活塞杆由45号钢制成，S=350MPa，P=280MPaE=210GPa。

长度l=703mm，直径d=45mm。

最大压力Fmax=41.6kN。

规定稳定安全系数为nSt=810。

试校核其稳定性。

活塞杆两端简化成铰支,解：

=1,截面为圆形,不能用欧拉公式计算临界压力。

如用直线公式，需查表得：

a=461MPa,b=2.568MPa,临界压力是,活塞的工作安全系数,所以满足稳定性要求。

例题3油缸活塞直经D=65mm，油压p=1.2MPa。

活塞杆长度L=1250mm，材料为35钢，P=220MPa，E=210GPa，nst=6。

试确定活塞杆的直径。

解：

活塞杆承受的轴向压力应为,活塞杆承受的临界压力应为,把活塞的两端简化为铰支座。

用试算法求直径,

（1）先由欧拉公式求直径,求得d=24.6mm,取d=25mm,

（2）用求得直径计算活塞杆柔度,由于1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的,例题4AB的直径d=40mm，长l=800mm，两端可视为铰支。

材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa。

比例极限P=200MPa，屈服极限S=240MPa，由AB杆的稳定条件求F。

（若用直线公式a=304MPa，b=1.12MPa）。

解：

取BC研究,FN,用直线公式,F=118kN,不能用欧拉公式,第九章结束,