浙江省届中考数学第36讲《分类讨论型问题》名师讲练含答案Word格式.docx

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首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；

其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；

再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；

最后进行归纳小结，综合得出结论.

类型一　由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论

　（2016·

南通模拟）矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（　　）

A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2

【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．

1．

（1）若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．

（2）已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为　　　　　　　　cm.

（3）若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝（　　）

A．5或－1B．－5或1C．5或1D．－5或－1

类型二　在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论

　为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.

人均住房面积（平方米）

单价（万元/平方米）

不超过30（平方米）

0.3

超过30平方米不超过m平方米部分（45≤m≤60）

0.5

超过m平方米部分

0.7

根据这个购房方案：

（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；

（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；

（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．

【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×

购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．

2．

（1）在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝的图象有唯一公共点，若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，则b的取值范围是（　　）

A．b>

2B．－2<

b<

2C．b>

2或b<

－2D．b<

－2

（2）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（　　）

3．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

类型三　由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论

　（2017·

湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．

【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标，再进行分类讨论．

4．

（1）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　）　　

A．4B．5C．6D．8

（2）（2016·

北流模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝　　　　　　　　.

（3）（2016·

临淄模拟）如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝CD，若AB＝1，设BM＝x，当x＝　　　　　　　　时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．

类型四　由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论

鄂州模拟）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，∠ABC＝90°

，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？

（2）当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？

（3）四边形PBQD是否能成为菱形？

若能，求出t的值；

若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

【解后感悟】解本题的关键是用方程（组）的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．

5．

（1）（2016·

盐城模拟）在平面直角坐标系中有三点A（1，1），B（1，3），C（3，2），在直角坐标系中再找一个点D，使这四个点构成平行四边形，则D点坐标为　　　　　　　　.

（2）（2016·

江阴模拟）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s），当t＝　　　　　　　　s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

金华模拟）如图，B（6，4）在函数y＝x＋1的图象上，A（5，2），点C在x轴上，点D在函数y＝x＋1上，以A、B、C、D四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D点的坐标　　　　　　　　.

（4）（2016·

萧山模拟）已知在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标依次为（－1，0），（m，n），（－1，10），（－7，p），且p≤n.若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形，则n的值是　　　　　　　　.

类型五　由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论

　如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP＝10cm，射线PN与⊙O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t（s）．

（1）求PQ的长；

（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．

6．（2016·

泗洪模拟）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2－1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为　　　　　　　　.

【压轴把关题】

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（－3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．

（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；

（2）当点C在线段OB上时，求证：

四边形ADEC为平行四边形；

（3）在线段PE上取点F，使PF＝1，过点F作MN⊥PE，截取FM＝2，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S.

①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；

②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．

【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第（3）题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；

当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解；

②当1≤t＜时和当＜t≤5时，分别求出S的取值范围．这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略．

【分类讨论应不重复、不遗漏】

在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°

，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．

参考答案

【例题精析】

例1　∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE，①当AE＝1cm时，AB＝1cm＝CD，AD＝1cm＋3cm＝4cm＝BC，此时矩形的面积是1cm×

4cm＝4cm2；

②当AE＝3cm时，AB＝3cm＝CD，AD＝4cm＝BC，此时矩形的面积是：

3cm×

4cm＝12cm2；

故选D.

　例2　

（1）由题意，得三口之家应缴购房款为：

0.3×

90＋0.5×

30＝42（万元）；

（2）由题意，得①当0≤x≤30时，y＝0.3×

3x＝0.9x；

②当30＜x≤m时，y＝0.9×

30＋0.5×

3×

（x－30）＝1.5x－18；

③当x＞m时，y＝0.9×

3（m－30）＋0.7×

（x－m）＝2.1x－18－0.6m.∴y＝（45≤m≤60）．（3）由题意，得①当50≤m≤60时，y＝1.5×

50－18＝57（舍）．②当45≤m＜50时，y＝2.1×

50－0.6m－18＝87－0.6m.∵57＜y≤60，∴57＜87－0.6m≤60，∴45≤m＜50.综合①②得45≤m＜50.

例3　∵点B是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，解得：

x＝，y＝3，∴点B坐标为，点A是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，解得：

x＝，y＝，∴点A坐标为，∵BD⊥x轴，∴点C横坐标为，纵坐标为＝，∴点C坐标为，∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①AB＝BC，则＝3－，解得：

k＝；

②AC＝BC，则＝3－，解得：

故答案为k＝或.　

例4　

（1）∵∠ABC＝90°

，AP∥BQ，∴当AP＝BQ时，四边形ABQP成为矩形，由运动知，AP＝t，CQ＝3t，∴BQ＝22－3t，∴t＝22－3t，解得t＝.∴当t＝时，四边形ABQP成为矩形；

（2）当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，就是

（1）中的情形，此时t＝.当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD∥QC，∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形．此时，16－t＝3t，t＝4；

当P、Q两点与B、D两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t＝22－3t，t＝3；

当P、Q两点与A、C两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t＝3t，t＝0，不符合题意；

故当t＝或t＝4或t＝3时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．（3）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：

∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形．由PD＝BQ，得16－t＝22－3t，解得t＝3，当t＝3时，PD＝BQ＝13，AP＝AD－PD＝16－13＝3.在Rt△ABP中，AB＝8，根据勾股定理得，BP＝＝＝≠13，∴四边形PBQD不能成为菱形；

如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，由题意得，解得故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．

例5　

（1）连结OQ，∵PN与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥PN，即∠OQP＝90°

.∵OP＝10，OQ＝6，∴PQ＝＝8（cm）．

（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C.∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，∴PA＝5t，PB＝4t.∵PO＝10，PQ＝8，∴＝＝.∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△POQ，∴∠PBA＝∠PQO＝90°

.∵∠BQO＝∠CBQ＝∠OCB＝90°

，∴四边形OCBQ为矩形，∴BQ＝OC.∵⊙O的半径为6，∴BQ＝OC＝6时，直线AB与⊙O相切．①当AB运动到如图1所示的位置时，BQ＝PQ－PB＝8－4t，由BQ＝6，得8－4t＝6，t＝0.5.②当AB运动到如图2所示的位置时，BQ＝PB－PQ＝4t－8，由BQ＝6，得4t－8＝6，t＝3.5.综上，当t＝0.5s或3.5s时，直线AB与⊙O相切．

【变式拓展】

1．

（1）0或－1　

（2）4或2　（3）C　2.

（1）C　

（2）D

3．根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或－8.分类讨论：

①n＝8时，易得A（－6，0），如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，∵AB＝16，且A（－6，0），∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴为直线x＝＝2，要使y1随着x的增大而减小，∵a＜0，∴x≥2；

②n＝－8时，易得A（6，0），如图2，∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB＝16，且A（6，0），∴B（－10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴为直线x＝＝－2，要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x≤－2.

4．

（1）C　

（2）6或12　（3）或　5.

（1）（3，0）或（－1，2）或（3，4）　

（2）2或6　（3）（2，2）或（－6，－2）或（10，6）　（4）2，5，18　6.（，2）或（－，2）

【热点题型】

【分析与解】

（1）∵OB＝6，C是OB的中点，∴BC＝OB＝3.∴2t＝3，即t＝s.∴OE＝＋3＝，E（，0）．

（2）如图1，连结CD交OP于点G，在▱PCOD中，CG＝DG，OG＝PG，∵AO＝PE，∴AG＝EG.∴四边形ADEC是平行四边形．（3）①（Ⅰ）当点C在线段BO上时，第一种情况：

如图2，当点M在CE边上时，∵MF∥OC，∴△EMF∽△ECO.∴＝，即＝，解得t＝1.第二种情况：

如图3，当点N在DE边时，∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD.∴＝即＝，解得t＝.（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，第一种情况：

如图4，当点M在DE边上时，∵MF∥PD，∴EMF∽△EDP.∴＝即＝，解得t＝.第二种情况：

如图5，当点N在CE边上时，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC.∴＝即＝，解得t＝5.综上所述，所有满足条件的t的值为1，，，5.②＜S≤或＜S≤20.

【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°

，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB＝72°

，∴∠ACP＝∠PAC＝36°

，∴∠PCB＝36°

，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：

3.