最全面成考专升本高数公式大全文档格式.docx
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ex
e
e2
lim
x0
双曲正弦
:
shx
1）x
lim（1
2.718281828459045...
双曲余弦
chx
chx
双曲正切
thx
x2
xx
1）
arshx
archx
ln（x1ln1
21
arthx
三角函数公式：
·
诱导公式：
函数
角A
-α
90°
-α
+α
180°
270°
360°
tg
ctg
-sinα
cosαcosαsinα
-cosα
cosα
sinα
-tgα
ctgα
-ctgα
-tgαtgαctgα
tgα
-tgα
-ctgαctgαtgα
α
αα
-sin
-cos
和差角公式：
和差化积公式：
sin（
cos（
）
costg
2sin
2cos
tg（
ctg（
第2页，共14页
倍角公式：
sin2
cos2
2cos
ctg2
2ctg2tg
1tg2
4sin3
3cos
tg3
sin3
cos3
3sin
3
4cos
3tg
ctg2
tg2
半角公式：
coscos
sinA
b
c
sinC
c2
b2
2R
正弦定理：
2abcosC
余弦定理：
sinB
arcsinx
arccosx
arctgx
arcctgx
反三角函数性质：
高阶导数公式——莱布尼兹（
）公式：
Leibniz
（uv）（n）
k
（nk）v（k）
Cu
k0
n（n1）
2!
n（n
（n
k!
（n）
（n1）
（n2）
（nk）（k）
（n）
uv
nu
v
uv
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）
f（a）
F（a）
f（）（b
a）
F（b）
f
F
（
拉格朗日中值定理。
柯西中值定理：
当F（x）
曲率：
x时，柯西中值定理就是
y2dx,其中y
弧微分公式：
ds
平均曲率：
K
从M点到M
点，切线斜率的倾角变
化量；
s：
MM
弧长。
.
s
y
d
M点的曲率：
s0
23
（1
y）
直线：
0;
1.
半径为a的圆：
第3页，共14页
定积分的近似计算：
矩形法：
f（x）
ab
梯形法：
（y0
y1
yn1）
a1
[（y0
yn）
yn
1]
n2
抛物线法：
f（x）
[（y0
2（y2
y4
2）
4（y1
y3
1）]
3n
定积分应用相关公式：
功：
W
水压力：
p
A
m1m2
引力：
k为引力系数
r
函数的平均值：
y
f（x）dx
f2（t）dt
均方根：
空间解析几何和向量代数：
）2
）2
空间2点的距离：
MM
（x
（y
（z
z）
12
向量在轴上的投影：
是AB与u轴的夹角。
PrjuAB
AB
Prju（a1
a2）
bcos
Prja1
axbx
Prja2
ayby
azbz,是一个数量
ab
azbz2
两向量之间的夹角：
ay
az
bx
by
bz
i
j
az,cbz
.例：
线速度：
bsin
w
r.
bxcx
cy
bzcz
向量的混合积：
[abc]
为锐角时，
（a
b）
ccos
代表平行六面体的体积
。
第4页，共14页
平面的方程：
1、点法式：
0，其中
A（x
x0）
By
yb
B（y
Cz
y0）C（z
z0）
{A,B,C},M0（x0,y0,z0）
2、一般方程：
Ax
D
z
3、截距世方程：
Ax0By0Cz0
平面外任意一点到该平
面的距离：
B
yz
x0
y0z0
mt
ntpt
m
yy0
zz0
空间直线的方程：
t,其中s
{m,n,p};
参数方程：
二次曲面：
1、椭球面：
2、抛物面：
x
z（,
p,q同号）
2p
2q
3、双曲面：
单叶双曲面：
双叶双曲面：
（1马鞍面）
多元函数微分法及应用
zdx
zdyy
udx
udy
udzz
全微分：
dz
du
全微分的近似计算：
多元复合函数的求导法
：
dz
fx（x,y）
fy（x,y）
dt
uz
t
f[u（t）,v（t）]
f[u（x,y）,v（x,y）]
当u
u（x,y），v
v（x,y）时，
vdxx
vdyy
dv
隐函数的求导公式：
dy
zx
Fx，
Fy
dy
Fx
Fx）Fy
隐函数F（x,y）
0，
）＋
Fz
zy
隐函数F（x,y,z）
第5页，共14页
uG
vG
F（x,y,u,v）
隐函数方程组：
G（x,y,u,v）
Fu
Gu
Fv
Gv
（F,G）
（u,v）
J
uy
J1
（F,G）
（x,v）
（y,v）
vy
（F,G）
（u,x）
（F,G）
（u,y）
微分法在几何上的应用：
（t）
（t）在点M（x（t）
xx0
（t0）
y0
（t0）
z0
空间曲线
）处的切线方程：
y
z
000
在点M处的法平面方程：
（t0）（x
（t0）（y
y0）
Gy
（t0）（z
Gz
Gy
F（x,y,z）
G（x,y,z）
Gz
若空间曲线方程为：
则切向量
T
{
}
Gx
Gx
曲面F（x,y,z）
0上一点
M（x0,y0,z0），则：
{Fx（x0,y0,z0）,Fy（x0,y0,z0）,Fz（x0,y0,z0）}
1、过此点的法向量：
2、过此点的切平面方程
Fx（x0,y0,z0）（xx0）Fy（x0,y0,z0）（y
Fz（x0,y0,z0）（z
3、过此点的法线方程：
Fx（x0,y0,z0）
Fy（x0,y0,z0）
Fz（x0,y0,z0）
方向导数与梯度：
l
函数z
f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向
l的方向导数为：
其中
为x轴到方向l的转角。
f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）
它与方向导数的关系是
e，其中e
j，为l方向上的
gradf（x,y）
单位向量。
是gradf（x,y）在l上的投影。
多元函数的极值及其求法：
设fx（x0,y0）
0，令：
fy（x0,y0）
fxx（x0,y0）
A,
fxy（x0,y0）
B,
fyy（x0,y0）
0,（x0,y0）为极大值
0,（x0,y0）为极小值
0时，
AC
则：
0时,
无极
不确定
值
第6页，共14页
重积分及其应用：
f（x,y）dxdy
f（rcos
rsin
）rdrd
曲面z
f（x,y）的面积A
dxdy
（x,y）d
M
平面薄片的重心：
（x,y）d
平面薄片的转动惯量：
对于x轴I
对于
y轴I
平面薄片（位于
xoy平面）对
z轴上质点
0）的引力：
{Fx,Fy,Fz}，其中：
M（0,0,a）,（a
（x,y）yd
（x,y）xd
fa
a2）2
（x2
y2
y2
柱面坐标和球面坐标：
xrcos
yrsin
柱面坐标：
f（x,y,z）dxdydz
F（r,
z）rdrd
dz,
z）
其中：
rsin
rsin
r2sin
球面坐标：
rd
dr
drd
rcos
r（
）
f（x,y,z）dxdydz
F（r,
）rsin
dv，
重心：
zdv，
dv,
转动惯量：
I
（x
Iz
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧
长的曲线积分）：
（t）
设f
（x,y）在L上连续，
L的参数方程为：
）,则：
2（t）
2（t）dt
特殊情况：
f（x,y）ds
f[
（t）,
（t）]
L
第7页，共14页
第二类曲线积分（对坐
标的曲线积分）：
设L的参数方程为
，则：
P（x,y）dx
Q（x,y）dy
{P[
Q[
（t）]
（t）}dt
两类曲线积分之间的关
系：
Pdx
的方向角。
）ds，其中
和分别为
Qdy
（Pcos
Qcos
L上积分起止点处切向量
Q
P
）dxdy
格林公式：
Qdy格林公式：
x，即：
Q
2L
当P
2时，得到D的面积：
A
y,Q
xdy
ydx
平面上曲线积分与路径
无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
Q＝
P。
注意奇点，如
2、P（x,y），Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数
，且
（0,0），应
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
二元函数的全微分求积
P时，Pdxy
（x,y）
P（x,y）dx
（x0,y0）
在
Qdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：
Q（x,y）dy，通常设x0
0。
u（x,y）
曲面积分：
对面积的曲面积分：
f（x,y,z）ds
f[x,y,z（x,y）]
zx（x,y）
zy（x,y）dxdy
Dxy
对坐标的曲面积分：
R（x,y,z）dxdy，其中：
P（x,y,z）dydz
Q（x,y,z）dzdx
R[x,y,z（x,y）]dxdy，取曲面的上侧时取正
号；
R（x,y,z）dxdy
P[x（y,z）,y,z]dydz，取曲面的前侧时取正
P（x,y,z）dydz
Dyz
Q[x,y（z,x）,z]dzdx，取曲面的右侧时取正
号。
Dzx
两类曲面积分之间的关
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
Rcos
）ds
高斯公式：
第8页，共14页
R
）dv
Pdydz
（Pcos
Qcos
Rcos
）ds
高斯公式的物理意义
—
Ands
—通量与散度：
R,即：
单位体积内所产生z
散度：
的流体质量，若
0,则为消失
div
...
通量：
）ds，
nds
因此，高斯公式又可写
成：
divAdv
Ands
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
Q）dydzz
R）dzdxx
P）dxdyy
Rdz
dydz
dzdx
上式左端又可写成：
PP
R，
关的条件：
R
Q，
空间曲线积分与路径无
旋度：
rotA
的环流量：
Pdx
向量场A沿有向闭曲线
tds
常数项级数：
1q
q2
qn1
等比数列：
q
1）n2
（n
等差数列：
1是发散的
调和级数：
级数审敛法：
第9页，共14页
1、正项级数的审敛法
——根植审敛法（柯西判
1时，级数收敛
1时，级数发散
1时，不确定
别法）：
设：
un，则
2、比值审敛法：
Un
1，则
U
3、定义法：
un;
limsn存在，则收敛；
否则发
散。
sn
u1
交错级数u1
（或
0）的审敛法——莱布尼兹定理：
u3u4
un
u3
un
如果交错级数满足
，那么级数收敛且其和
u1,其余项rn的绝对值
1。
rn
limun
绝对收敛与条件收敛：
，其中un为任意实数；
（1）u1
（2）u1
如果
（2）收敛，则
如果
（2）发散，而
（1）肯定收敛，且称为绝对
收敛级数；
（1）收敛，则称
（1）为条件收敛级数。
1发散，而
（1）
收敛；
级数：
ｐ
１时发散
1时收敛
p级数：
幂级数：
第10页，共14页
1时，收敛于
1时，发散
对于级数
，如果它不是仅在原点
R时收敛
收敛，也不是在全
（3）a0
a1x
a2x
anx
数轴上都收敛，则必存
在R，使
R时发散，其中R称为收敛半径。
R时不定
0时，R
an
求收敛半径的方法：
设
，其中
an，an
是（3）的系数，则
时，R
函数展开成幂级数：
f（x0）
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