初三数学第10讲 实际问题与二次函数 教师版Word文档格式.docx

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4．已知抛物线y=mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1，无论x取何值，函数y的值都是非负数，求m的取值范围．

【目标导学】

1．认识二次函数与实际问题的联系

2．利用二次函数的图象性质研究实际问题

3．理解最大或最小与二次函数最值的关联

【自主学习】

活动一：

认真阅读课本P49页的内容，时间要求3分钟

学生思考：

（1）小球运动中的最大高度与抛物线的最大值有什么关系？

活动二：

认真阅读课本P50页的内容，时间要求5分钟

（1）题目中出现最大面积和最大利润，我们怎么去理解？

（2）函数的实际问题与一元二次方程的实际问题有什么异同？

认真阅读课本P51页的内容，时间要求3分钟

（1）题中是如何建立直角坐标系的？

（2）还有其他不同的建系么？

【例题剖析】

（1）剖析课本P49的探究1，并根据学生的理解提出对应问题

（2）剖析课本P50的探究2，并根据学生的理解提出对应问题

（3）剖析课本P51的探究3，并根据学生的理解提出对应问题

【习题过关】

请学生在15min中内完成课本P51的复习巩固

【总结反思】

1．在实际问题中，我们通常把最大值或者最小值的问题转化成求二次函数的

2．列二次函数的关系式时，首先找出自变量的，再根据题目中的变量关系列式子

【达标运用】

1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：

单价定为70元时，日均销售60千克；

单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）求出二次函数的顶点形式，并在直角坐标系画出草图；

观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？

问题1

对应知识点：

（1）利润等量关系式

（2）一次函数

（3）二次函数的自变量取值范围

（4）二次函数的顶点形式

（5）二次函数的图象

（6）二次函数的最值

【精准突破1】

学习目标：

用一次函数描述两个变量之间的关系

目标分解：

（1）了解自变量和因变量

（2）理解一次函数中自变量和因变量之间是如何变化的

（3）掌握待定系数法求一次函数的解析式

教学过程：

【课堂引入】

汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．

①请同学们根据题意填写下表：

t/时

1

2

3

4

5

t

s/千米

②在以上这个过程中，变化的量是_____________。

不变化的量是__________。

③试用含t的式子表示s，s=________，t的取值范围是______。

这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程。

老师提问1：

什么是自变量？

什么是因变量？

老师提问2：

一次函数和二次函数都存在自变量和因变量，我们怎么区分两个变量之间是满足什么函数关系呢？

方法一：

通过图象进行比较

方法二：

通过列表进行比较

老师提问3：

总结一次函数变量之间的关系后，请同学们判断题中单价和日均销售之间满足什么函数关系式？

老师提问4：

同学们还记得一次函数待定系数法是怎么运用的？

步骤一：

设一次函数的解析式y=kx+b

步骤二：

找出两个在图象上的点坐标，分别代入解析式

步骤三：

联立方程组，解方程组

步骤四：

将所求的k和b，代入所设解析式，即为所求

老师提问5：

题中只有一个点坐标以及变化关系，我们能求出它们的一次函数关系式么？

在直角坐标系中确定已知点A的位置

根据变量的变化关系，完善图象

根据图象，我们可以确定一次函数与Y轴的交点B的坐标

利用A、B两点坐标，求出一次函数解析式

【精准突破2】

能列表分析题中有关利润变量之间的关系

（1）了解有关于销售的名词

（2）理解销售类名词之间的关系

（3）掌握利润和销售额的等量关系式

（4）运用表格分析法找出题中变量的逻辑关系

假如你是一家拉面馆的小老板，你一个月的能卖出5000碗拉面，每碗拉面5元，成本如下图，请问一碗拉面能赚多少钱？

一个月能赚多少钱？

根据上面的例子中对利润的理解，请同学们标出例题中跟利润有关的量

请找出售价、成本、收入、销售额以及利润之间的关系，并用等式表示出来．

总利润的计算方式有哪几种？

老师根据学生的回答进行补充．

引导学生根据利润相关等量关系式的理解，通过表格的方法找出例题中化工原料的市场价格、销售量、成本、日均收入以及日均利润．

请完善下面表格：

单价

日均销售

日均费用

日均收入

日均利润

没降价前

降1元

降2元

降到x元

【精准突破3】

能求二次函数一般形式中的最值

（1）了解二次函数的一般形式

（2）理解二次函数的顶点坐标

（3）理解二次函数的最值的概念

（4）掌握二次函数的一般形式求顶点坐标的方法

（5）运用二次函数的顶点坐标来求最值

（6）掌握二次函数的自变量取值范围对最值的影响

假如波音飞机着陆后滑行的飞机着陆后滑行的距离S（单位：

m）与滑行的时间t（单位：

S）的函数关系式是

，我们作为机场的设计师，降落的跑道设计多长才合理呢？

二次函数的一般形式是？

顶点形式是？

二次函数的顶点式和一般形式之间有什么联系？

二次函数顶点坐标怎么理解？

处于二次函数图像的什么位置？

二次函数的最值是指？

顶点坐标与最值的关系？

请学生们根据下面的例子总结出最值的特点．

【例1】请画出二次函数y=x2-2x+3的图形并求出顶点坐标，并指出该函数的最大值．

【例2】请画出二次函数y=x2-2x+3（-4＜x＜-2）的图形，并指出该函数的最大值．

【例3】请画出二次函数y=x2-2x+3（-2＜x＜3）的图形，并指出该函数的最大值．

【例4】请画出二次函数y=x2-2x+3（3＜x＜6）的图形，并指出该函数的最大值．

画出问题中化工原料中单价与日均获利之间的函数关系图象的草图，并指出日均获利中的最大值

【参考答案】

解：

（1）设销售单价为x元，

则每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，

日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元．

故y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70）；

（2）∵函数y=-2x2+260x-6500可化为y=-2（x-65）2+1950的形式，

∴顶点坐标为（65，1950），

画出草图：

经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，为1950元；

1．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；

销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；

（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

【查漏补缺】

1．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：

这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：

t=-3x+204．

（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式；

（2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；

最大销售利润为多少？

【举一反三】

1．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？

比装修前客房日租金总收入增加多少元？

【方法总结】

总收入=单价

销售总额

单个利润=售价-进价（购买成本）-费用（其它成本）

总利润=总收入-总支出

总利润=单个利润

销售总额-费用

1．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

X（十万元）

…

y

1．5

1．8

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

第1天作业

1．某体育用品

商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）试确定y与x之间的函数关系式；

（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？

最大利润是多少元？

（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．

第2天作业

1．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：

如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；

若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．

（1）现该销售点每天盈利

600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？

（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？

第7天作业

1．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，

平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

第15天作业

1．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．

（1）设当月该型号汽车的销售量为

辆（

，且

为正整数），实际进价为

万元/辆，求

与

的函数关系式．

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？

第28天作业

1．某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y＝－

x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润＝销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，

），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润＝销售额－成本－附加费）．

（1）当x＝1000时，y＝__________元/件，w内＝__________元；

（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？

若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司作出决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

教

学

反

思