高考数学 专题29 不等式的证明技巧黄金解题模板.docx

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高考数学专题29不等式的证明技巧黄金解题模板

专题29不等式的证明技巧

【高考地位】

证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。

这类问题的求解策略往往是：

通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.

【方法点评】

方法一比较法

使用情景：

一般不等式证明

解题模板：

第一步通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系；

第二步得出结论.

例1设实数满足，求证：

．

【答案】详见解析.

考点：

不等式的证明.

【点评】两个多项式的大小比较常用的两种方法是作差法和作商法.

【变式演练1】设，求证：

.

【答案】详见解析.

考点：

不等式的证明.

方法二分析法

使用情景：

一般不等式证明

解题模板：

第一步从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件；

第二步把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题；

第三步如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.

例3设证明：

。

【答案】原命题等价于，利用分析法。

【变式演练2】已知：

，求证：

.

【答案】应用分析法

【解析】

试题分析：

要使原不等式成立，只要：

只要，

只要，

只要，

只要，

由已知此不等式成立。

考点：

绝对值不等式的证明.

方法三综合法

使用情景：

一般不等式证明

解题模板：

第一步从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件；

第二步根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式；

第三步得出结论.

例4已知，，求证：

【答案】详见解析.

【点评】其证明过程最关键的一步是连续利用两次基本不等式放缩得到所证的结果，但要特别注意的是两次不等式的放缩能否均取得到等号，需进行验证.

【变式演练3】已知且．证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）可根据均值不等式：

进行证明，也可多次利用基本不等式进行证明，即（Ⅱ）可多次利用基本不等式进行证明，即因为所以即

试题解析：

．解：

（Ⅰ）

．

（Ⅱ）因为所以即

考点：

基本不等式证明不等式

方法四放缩法

使用情景：

一般不等式证明

解题模板：

第一步根据已知找出其通项公式；

第二步然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩；

第三步利用数列求和公式即可得出结论.

例5设求证

【答案】详见解析.

【点评】①应注意把握放缩的“度”：

上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里，其中等的各式及其变式公式均可供选用。

例6求证：

.

【答案】见解析.

【变式演练4】求证：

.

【答案】见解析.

考点：

放缩法；不等式的证明.

【变式演练5】设、、是三角形的边长，求证.

【答案】见解析.

考点：

放缩法；不等式的证明.

【变式演练6】已知均为正数，证明：

．

【答案】证明见解析.

【解析】

试题分析：

不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是，因此我们可以用基本不等式，注意对称式的应用，如，对应的有，，这样可得①，同样方法可得，因此有②，①②相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了.

因为a，b，c均为正数，

由均值不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac．

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．同理，

故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋≥6．

所以原不等式成立．

考点：

不等式的证明.

方法五数学归纳法

使用情景：

对于含有的不等式类型

解题模板：

第一步验证当取第一个值时不等式成立；

第二步当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立；

第三步这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立得出结论.

例7若，观察下列不等式：

，，…，请你猜测将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。

【答案】（x1+x2+…+xn）（）≥n2（n≥2），证明见解析

那么，当时，

显然，当时，结论成立。

由,知对于大于的整数，成立。

（12分）

考点：

用数学归纳法证明不等式.

【点评】应用数学归纳法最关键的一步是当假设使不等式在时成立的假设下，如何证明不等式在时也成立.

考点：

放缩法；不等式的证明.

【变式演练7】已知函数，，对于任意的，都有.

（1）求的取值范围

（2）若，证明：

（）

（3）在

（2）的条件下，证明：

【答案】

（1）；

（2）证明见解析；（3）证明见解析.

（3）由，解得，变形得，又，所以，，则在上递增，再通过放缩得，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.

试题解析：

（1）由题得

恒成立

故：

（2）

当时，

有结论：

函数在（1，）上是单调递增函数。

下面用数学归纳法证明：

①当时，由得成立。

②假设当时，结论成立。

即：

那么当时

这表明当时不等式也成立，综合①②可知：

当，时成立

又

左边

考点：

数列与函数的综合；数列与不等式的综合.

方法六换元法

使用情景：

对于一般的不等式证明

解题模板：

第一步恰当的换元，适当的引入参数；

第二步利用已知求出新元的取值范围；

第三步根据现有的不等式放缩法得出结论.

例8求证

【答案】见解析.

【点评】通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用.

例9：

已知，求证：

。

【答案】见解析.

【点评】在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.

【变式演练8】已知：

，求证：

.

【答案】见解析.

考点：

换元法；不等式的证明.

【高考再现】

1.【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（）

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100

【答案】D

考点：

不等式的性质．

【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．

2.【2015高考北京，理6】设是等差数列.下列结论中正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

【答案】C

考点定位：

本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.

3.【2017浙江，22】已知数列{xn}满足：

x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（）．

证明：

当时，

（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；

（Ⅱ）2xn+1−xn≤；

（Ⅲ）≤xn≤．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．

【解析】

因此，所以，因此

（Ⅱ）由得

记函数

函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以=0，

因此，

【考点】不等式证明

【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：

（1）数学归纳法证明不等式；

（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明．

4.【2015高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，证明.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

试题解析：

（Ⅰ）解：

，曲线在点处的切线斜率为.

从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标.

【考点定位】1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.

【名师点睛】数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项，此类问题在2010年、2012年、2013年安徽高考解答题中都曾考过.对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：

一种是能够直接求和（或求积），再放缩；一种是不能直接求和（或求积），需要放缩后才能求和（或求积），求和（或求积）后再进行放缩.在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩.

5.【2015高考重庆，理22】在数列中，

（1）若求数列的通项公式；

（2）若证明：

【答案】

（1）；

（2）证明见解析.

若存在某个，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意,.

从而，即是一个公比的等比数列.

故.

求和得

【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，考查创新意识．

【名师点晴】数列是考查考生创新意识与实践精神的最好素材．从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数（包括三角函数）、不等式以及导数等的综合性试题不断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯通．数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积（幂）等形式．在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力．

本题第

（1）小题通过递推式证明数列是等比数列，从而应用等比数列的通项公式求得通项，第

（2）小题把数列与不等式结合起来，利用数列的递推式证明数列是单调数列，利用放缩法证明不等式，难度很大．

6.【2015高考四川，理16】设数列的前项和，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.

【答案】

（1）；

（2）10.

【解析】

（1）由已知，有，

即.

从而.

【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.

【名师点睛】凡是有与间的关系，都是考虑消去或（多数时候是消去，得与间的递推关系）.在本题中，得到与间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分.

7.【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）

（1）证明：

1（）；

（2）设数列的前项和为，证明（）.

【答案】

（1）详见解析；

（2）详见解析.

试题分析：

（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知

，从而得证；

（2）由和得，

【考点定位】数列与不等式结合综合题.

【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利

用条件中的递推公式作等价变形，即可得到，再结合已知条件即可得证，第二小

8.【2015高考陕西，理21】（本小题满分12分）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．

（I）证明：

函数在内有且仅有一个零点（记为），且；

（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相